В цилиндрическом сосуде с площадью дна s с помощью нити

Комбинированные задачи по механике

Особенность задания № 29 заключается в том, что в нем требуется использование материалов не менее чем из двух-трех разделов механики. Актуальные сведения, необходимые для решения задания, приведены в разделе теории. Законы сохранения, силы, действующие в макромире, и другая нужная информация содержится в разделах теории соответствующих типовых заданий по механике.

Теория к заданию №29 ЕГЭ по физике

Проекции сил, скорости, ускорения

При решении расчетных задач векторные величины требуется представлять в их скалярных (числовых) значениях. Для этого их выражают в виде проекций на оси выбранной инерционной с-мы координат, например: Fx, vY. Система координат может быть представлена единственной осью (Ox или Oy), если речь идет о движении по горизонтальной плоскости, о свободном падении тела и т.п. При перемещении тела под углом к горизонту и в других более или менее сложных случаях требуется прямоугольная система (Oxy).

Если направление вектора физ.величины совпадает с направлением координатной оси (или одной из осей, когда задача решается в рамках прямоугольной с-мы координат), то величина проекции совпадает с величиной ее модуля. К примеру, если тело бросают вертикально вниз с ускорением

, то представив схему движения в системе Ox, ось которой направлена тоже вертикально вниз, получим для расчетов: .

Если векторная величина направлена по отношению к осям под углом, то вектор вместе со своими проекциями на оси прямоугольной системы координат образует прямоугольный треугольник, в котором вектор – гипотенуза, а проекции – катеты. Приняв угол между вектором и осью Оx равным α (на рисунке представлен пример для вектора ускорения),

величины проекций определяют таким образом:

;

.

Закон Архимеда

На помещенное в жидкость тело действует выталкивающая его сила. Эта сила традиционно обозначается как FA и вычисляется по формуле:

,

где ρ – плотность жидкости, в которую помещено тело,

– ускорение свободного падения, V – объем погруженного тела. Относительно объема нужно отметить важный момент: если тело погружено полностью, то для расчета должен браться полный его объем; если тело погружено частично, то следует использовать объем части тела, находящейся в толще жидкости.

Разбор типовых вариантов №29 по физике

Демонстрационный вариант 2018

Алгоритм решения:

1. Переводим числовые данные, приведенные в условии, в СИ. Записываем необходимое для решения табличное значение для плотности жидкости (воды).
2. Анализируем начальную ситуацию (шар на нити). Определяем силы, действующие на шар.
3. Анализируем ситуацию после перерезания нити. Определяем силы, действующие на шар. Составляем уравнение для вычисления объема вытесненной части шара.
4. Применяя 3-й з-н Ньютона, составляем уравнения силы для начальной ситуации (1) и последующей (2). Из этой системы выражаем Т. Используя формулу з-на Архимеда и выражение для объема вытесненной части шара, находим Т.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Переведем S и h в СИ: , . Плотность воды ρ равна:. 2. Поскольку шар полностью погружен в воду, то он вытесняет объем воду, равный собственному объему. Обозначим его V1. На погруженный шар действуют: сила тяжести mg, сила Архимеда FA1, сила натяжения Т.

3. После перерезания нити уровень воды в сосуде понизился, поскольку шар всплыл и теперь занимает в толще воды только часть своего объема, вытесняя меньше воды. Обозначим этот объем через V2. Объем части шара, оказавшегося над поверхностью воды, составляет

. Силы, действующие на шар: сила тяжести mg, сила Архимеда FT2.

4. В обеих ситуациях шар находится в равновесии. Поэтому по 3-му з-у Ньютона:

(1) – (2) :

.

Отсюда:

.

Ответ: 5 Н.

Первый вариант (Демидова, № 5)

Алгоритм решения:

1. Определяем для каждого из грузов инерциальную с-му отсчета, в которой, применив 2-й з-н Ньютона, записываем уравнения в соответствующих проекциях.
2. Определяем вид ускорения и записываем формулы для его вычисления. Из предыдущих формул формируем уравнения для определения сил, действующих на грузы.
3. Анализируем соотношения между входящими в уравнения величинами и после преобразований выводим формулу для вычисления искомой длины.
4. Переводим в СИ несоответствующие ей значения из условия. Подставляем данные в результирующее уравнение, вычисляем длину нити.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Выбираем системы отсчета для каждого из грузов так, чтобы их оси были направлены горизонтально (вдоль штанги) от края штанги к оси вращения:

Т1 и Т2 на рисунке – силы, действующие соответственно на левый и правый грузы.

На основании 2-го з-на Ньютона запишем уравнения силы в проекции на оси с-м отсчета:

;

.

2. Т.к. в данном случае имеет место вращательное движение, то грузы испытывают центростремительное ускорение. Для их вычисления используем формулу:

, где w – угловая скорость их вращательного движения, R – радиусы окружностей их вращения. Поскольку , то применив эту и предыдущую формулы для каждого груза, получим: , . Подставим формулы для и в (1) и (2). Получим:

;

.

3. Если l – длина нити между грузами, то

. Выразим радиус вращения одного из грузов (например, правого) через радиус другого: .Поскольку грузы связаны в единую систему, то . Отсюда: (3)=(4) → . Учтя при этом (5), имеем: (6).

Приравняем Т к одной из сил, например:

. Приняв при этом во внимание (6), получаем: . Тогда: .

4. Переводим данные из условия в СИ:

; ; . Найдем l:

Ответ: 0,21 м.

Второй вариант (Демидова, № 11)

Алгоритм решения:

1. На основании условия чертим схему движения описанных объектов.
2. Используя з-н сохранения импульса, записываем уравнение для импульсов снаряда и осколков в проекции на ось Ох. Из него выразим модуль скорости для 2-го осколка (1).
3. Приняв во внимание, что кинет.энергия осколков (по условию) увеличилась на ∆Е, запишем уравнение, описывающее соотношение энергий снаряда и осколков. Отсюда выразим массу осколка (2).
4. Подставив (1) в (2) получим результирующее выражение для массы m.
5. Записываем ответ.

Решение:

1. Схема движения снаряд и его осколков выглядит так:

На схеме масса снаряда обозначена как 2m. Это следует из условия, что снаряд разорвался на равные части. Поскольку масса каждого из них составляет m, то их суммарная масса, являющаяся массой неразорвавшегося заряда, как раз и равна 2m. Обозначение на схеме «

» – это скорость второго осколка, движущегося в противоположную снаряду сторону. Обозначения вида mv – импульсы, соответствующие снаряду и паре осколков.

2. По з-ну сохранения импульса в момент разрыва снаряда

. Отсюда: .

3. Выразим взаимосвязь энергий до и после разрыва снаряда:

. Выполним преобразования и выразим m:

4. (1) → (2) :

.

Ответ:

.

Даниил Романович | ???? Скачать PDF |

Статика

1. (ВсОШ, 1999, ОЭ, 9 ) Из лёгких нитей и одинаковых блоков массой M каждый собрана полубесконечная система (рис.). Найдите силу F, которую показывает динамометр Д. Ответ: Mg.

2. (ВсОШ, РЭ 2014) Опасная затея Доска массой т лежит, выступая на 3/7 своей длины, на краю обрыва. Длина одной седьмой части доски L = 1 м. К свисающе­му краю доски с помощью невесомых бло­ков и нитей прикреплен противовес, имеющий массу 4m. На каком расстоянии от края обрыва на доске может стоять человек массой 3m, чтобы доска оставалась горизон­тальной? Ответ: 2,5 м влево и 1,5 м вправо от края обрыва.

3. (ВсОШ, РЭ 2015) Постоянная планка В системе найдите величины сил, с которыми грузы действуют на однородную планку. При каких значениях массы M возможно равновесие грузов на планке? Нити и блоки невесомы. Трения нет. Масса m известна. Ответ: .

4. (МОШ, 2006, 9 ) Цилиндр массой M поместили на рельсы, наклонённые под углом α к горизонту (вид сбоку показан на рисунке). Груз какой минимальной массы m нужно прикрепить к намотанной на цилиндр нити, чтобы он покатился вверх? Проскальзывание отсутствует. Ответ:

5. (МОШ, 2006, 9 ) В системе, изображённой на рисунке, нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трения нет. Массы грузов на концах нити равны m1 и m2, однородная доска массой m3 лежит на горизонтальном столе так, что вертикальные участки нити, переброшенной через закреплённые на доске блоки, проходят вдоль её торцов. При каком условии доска при движении грузов будет оставаться в горизонтальном положении? Ответ: .

6. (МОШ, 2012, 9 ) Детская игрушка «неваляшка» состоит из двух пластмассовых шаров радиусами r1 = 9 см и r2 = 6 см (см. рисунок), полых внутри. Игрушка стоит на горизонтальном столе. В нижней точке нижнего шара закреплён маленький груз массой M = 250 г. «Неваляшка» обладает следующим свойством: если её положить набок так, чтобы оба шара касались стола, и отпустить, то она «встанет» и вновь примет вертикальное положение. При каких массах m1 и m2 нижнего и верхнего шаров соответственно игрушка обладает этим свойством? Считать, что центры масс шаров совпадают с их геометрическими центрами. Ответ: .

7. (МОШ, 2010, 9 ) Лёгкая тонкостенная чаша в виде прямоугольного параллелепипеда с длинами рёбер a, b и c свободно подвешена на горизонтальной оси так, что нижняя грань чаши с размерами a × c горизонтальна, а верхняя открыта (то есть отсутствует — см. рисунок). Ось проходит перпендикулярно граням параллелепипеда c размерами a×b в плоскости их симметрии на расстоянии h < b/2 от нижней грани a×c. Чаша начинает наполняться водой со скоростью v м 3/с. Через какое время чаша опрокинется, повернувшись вокруг оси? Что с ней будет происходить в дальнейшем, если скорость наполнения не меняется? Ответ: .

8. (МОШ, 2007, 9) На неподвижно закреплённом цилиндре радиусом R лежит тонкая линейка длиной l = 2πR и массой M. Линейка расположена горизонтально, перпендикулярно к оси цилиндра и опирается на него своей серединой. На середине линейки сидит жук массой 0,2M, который начинает медленно ползти к одному из концов линейки, прочно цепляясь за её шероховатости; линейка при этом меняет угол своего наклона к горизонту, перекатываясь по цилиндру без проскальзывания. На каком расстоянии x0 от середины линейки будет расположена точка соприкосновения линейки и цилиндра, когда жук доползет до конца линейки? Под каким углом α0 к горизонту будет при этом наклонена линейка? При каких значениях коэффициента трения µ между цилиндром и линейкой возможно такое её перекатывание без проскальзывания? Ответ: .

Гидростатика

1. (ВсОШ, РЭ 2018) Масса поршня. Цилиндрический сосуд с поршнем соединен коническим переходником с трубкой постоянного сечения. Разность уровней воды в правом и левом колене h = 20 см. В трубку медленно наливают воду, измеряя объём V добавленной воды и подъём уровня y в правом колене.

С помощью графика зависимости V от y найдите массу поршня и объём конической части сосуда. Трение между поршнем и цилиндром не учитывайте. Плотность воды r =1,0 г/см3 , g =10 м/с2. Ответ: , .

2. (ВсОШ, РЭ 2018) Жидкое равновесие. Прямоугольный легкий сосуд с жидкостью массой m помещен на однородный рычаг массой 4m. В жидкость опущено тело массой 2m (с плотностью меньшей, чем плотность жидкости), удерживаемое нитью, перекинутой через блок (см. рисунок). Какой массы mx груз необходимо прикрепить к противоположному концу нити и разместить на краю рычага, чтобы система осталась в равновесии? Трения в осях рычага и блока нет. Необходимые расстояния можно взять из рисунка. Ответ: .

3. (ВсОШ, РЭ 2017) Два шарика на нитях. Легкий цилиндрический сосуд с жидкостью стоит на двух симметричных опорах. Над одной из них внутри сосуда привязан к дну полностью погруженный в жидкость поплавок объемом V = 10 см3 и плотностью ρ = 500 кг/м3. Над другой опорой висит привязанный снаружи шарик такого же объема V и плотностью 3ρ. Плотность жидкости в сосуде равна r0 = 1 200 кг/м3 . Найдите модуль разности сил реакции опор. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2. Ответ: .

4. (ВсОШ, РЭ 2016) Трехцилиндровый Тело, склеенное из трех соосных цилиндров разного поперечного сечения и разной высоты, погружают в некоторую жидкость и снимают зависимость силы Архимеда F, действующей на тело, от глубины h его погружения. Известно, что площадь сечения самого узкого (не факт, что самого нижнего) цилиндра S = 10 см2 . Постройте график зависимости F(h) и с его помощью определите высоту каждого из цилиндров, площади сечения двух других цилиндров и плотность жидкости. В процессе эксперимента ось вращения цилиндров оставалась вертикальной, g = 10 м/с2. Ответ: длины 10 см, 7 см, 7 см; площади 10 см2,30 см2, 60 см2; r=1000 кг/м3.

5. (ВсОШ, РЭ 2014) Вода и ртуть В тонкой U-образной трубке постоянного сечения находится вода и ртуть одинаковых объемов. Дли­на горизонтальной части трубки l = 40 см. Трубку раскрутили вокруг колена с водой, и оказа­лось, что уровни жидкостей в трубке одинаковы и равны h = 25 см. Пренебрегая эффектом смачива­ния, определите период Т вращения трубки. Справочные данные: ускорение свободного паде­ния g = 9,8 м/с2; плотности воды и ртути равны рв = 1,0 г/см3 и рр = 13,5 г/см3 соответственно. Ответ: .

6. (ВсОШ, РЭ 2013) Скорость погружения стакана В цилиндрическом сосуде, внутренний диаметр кото­рого D = 10 см, плавает в вертикальном положении уз­кий, длинный, тонкостенный цилиндрический стакан диа­метром d = 8 см. В стакан через распылитель наливают воду. Её массовый расход µ = 14 г/с. Какова ско­рость V стакана относительно дна цилиндра? Плотность воды r = 1000 кг/м3. Ответ:

7. (ВсОШ, РЭ 2012) В цилиндрическом сосуде с площадью дна S с помо­щью нити удерживают под водой кусок льда, внутри ко­торого имеется воздушная полость. Объем льда вместе с полостью равен V, плотность льда rл. После того, как лёд растаял, уровень воды в сосуде уменьшил­ся на h. Найдите: А) объем Vn воздушной полости; Б) силу Т натяжения нити в начале опыта. Примечание. Плотность воды рв и ускорение свобод­ного падения g считайте известными. Ответ: А) ; Б) .

8. (ВсОШ, РЭ 2011) Для стирки белья в квадратном долевом поддоне с разме­ром стороны а = 80 см и высотой бортика h = 20 см хозяйка ис­пользует находящийся в поддоне частично заполненный водой и бельём квадратный тазик с размером стороны а/2, высотой бортика h и общей массой т = 2,4 кг. Для полоскания белья хозяйка использует находящийся в том же поддоне круглый цилиндрический тазик, полностью заполненный водой. Радиус дна тазика R = а/4 и высота его бортика h. Каким будет уровень H воды в поддоне, если вылить в него всю воду из круглого тазика? После выливания воды круглый тазик убирают из поддона. Сливное отверстие поддона закрыто пробкой. Ответ: .

9. (ВсОШ, РЭ 2009) Два стакана высотой 4H заполнены до уровня 3H водой и маслом соответственно (рис. 3). Плот­ность воды rв = 103 кг/м3, а плотность масла rм = 0,8× 103 кг/м3. Сверху стаканы соединены запол­ненной водой топкой трубочкой с крапом. Открытые концы трубки погружены па 2H в каждую из жидко­стей. Какие уровни установятся в стаканах, если кран открыть? Ответ:

10. (ВсОШ, 1992, ОЭ, 9) «Вечерело. Уставший за нелёгкий день бедный рыбак Абдулла присел на берегу реки отдохнуть. Вдруг видит — плывёт по волнам какой-то предмет, почти полностью погружённый в воду, только самый краешек виден на поверхности воды. Абдулла бросился в реку и вытащил его. Смотрит, а это старинный глиняный кувшин, с горлышком, плотно закрытым пробкой и залитым сургучной печатью. Распечатал Абдулла кувшин и обомлел: из кувшина высыпалось 147 одинаковых золотых монет. Монеты Абдулла спрятал, а кувшин закрыл, залил горлышко сургучом и бросил кувшин обратно в реку. И поплыл кувшин дальше, примерно на треть выступая над водой» — так говорится в одной из восточных сказок. Полагая, что кувшин был двухлитровым, оцените массу одной золотой монеты. Ответ: .

11. (ВсОШ, 1993, ОЭ, 9 ) Для участия в Технической Олимпиаде по подводному плаванию в Баренцевом море Чебурашка изготовил модель крокодила Гены. Однако модель оказалась слишком тяжёлой и тонула в воде. Чебурашка прикрепил к ней несколько герметичных полиэтиленовых пакетов с воздухом. Оказалось, что в Баренцевом море, где плотность воды ρс = 1050 кг/м3 , при погружении на глубину, не превышающую критической величины hс = 7 м, модель всплывает, а при погружении на большую глубину тонет. В устье реки Печоры, где плотность воды равна ρп = 1000 кг/м3 , критическая глубина погружения модели крокодила составила всего hп = 1 м. Найдите плотность модели крокодила Гены. Примечание. Для воздуха применим закон Бойля — Мариотта: для постоянного количества газа при неизменной температуре произведение давления p газа на занимаемый им объём V постоянно: pV = const. Ответ: .

12. (ВсОШ, 1994, ОЭ, 9 ) При плавании порожней рыболовной шхуны в одном из морей ватерлиния (уровень максимального погружения шхуны) находится на высоте hп = 0,5 м от поверхности воды, а в другом (более солёном) — на высоте hс = 0,6 м. При этом максимальная загрузка рыбой в первом море составляет mп = 50 т, а во втором — mс = 63 т. Найдите массу m0 корабля без груза. Борта шхуны в рассматриваемом диапазоне погружений можно считать вертикальными. Ответ: .

13. (ВсОШ, 1996, ОЭ, 9 ) В кастрюле плавает пористый кусок льда. Ровно половина по объёму этого «айсберга» находится над водой. Лёд вынули из воды, при этом её уровень понизился на ∆h = 6 см. Найдите суммарный объём воздушных полостей в куске льда, если поперечное сечение кастрюли S = 200 см2 , а плотность льда ρл = 917 кг/м3. Ответ: .

14. (ВсОШ, 1999, ОЭ, 9) В вертикально расположенных цилиндрах, площади сечений которых S1 и S2, находятся два невесомых поршня, соединённых невесомой пружиной жёсткостью k. Пространство между поршнями заполнено водой. Нижний поршень (площадью S2) в начальном состоянии поддерживается так, что пружина не напряжена, её длина при этом равна l0 (рис. а). Затем поршень площадью S2 отпускают, и оба поршня опускаются (рис. б ). На какое расстояние x сместится поршень площадью S1? Изобразите графически зависимость x от жёсткости k пружины. Оба цилиндра сообщаются с атмосферой. Ответ:

15. (ВсОШ, 2002, ОЭ, 9 ) Система состоит из лёгкого неподвижного блока, длинной нерастяжимой нити, груза цилиндрической формы и длинной трубы с поршнем, опущенной в глубокий водоём. Плотность воды ρ0, плотность материала груза ρ1, высота цилиндра H, площади основания цилиндра и внутреннего сечения трубы одинаковы. Вначале нить удерживают так, что поршень и груз касаются воды, при этом нить натянута (рис.). В некоторый момент времени нить отпускают. Определите расстояние h, на которое груз опустится в воду после установления равновесия, в следующих случаях: 1) ρ1 = ρ0, H = 1 м; 2) ρ1 = 3ρ0, H = 4 м; 3) ρ1 = 1,5ρ0, H = 16 м. Трением в системе пренебречь, нить и поршень считать лёгкими. Ответ: .

16. (ВсОШ, 2004, ОЭ, 9 ) В дне сосуда имеется сужающееся отверстие, плотно закрытое конической пробкой (рис.). Площадь основания пробки S, высота — L. Уровень дна сосуда пересекает конус на половине его высоты. Плотности пробки и жидкости составляют ρ0 и ρ соответственно. Какой должна быть высота уровня жидкости H > 0 над основанием конуса, чтобы пробка не всплывала? Какую минимальную внешнюю силу F, направленную вверх, нужно в этом случае приложить к пробке, чтобы её вытащить? Примечание. Объём конуса V = LS/3. Ответ: .

17. (МОШ, 2016, 9 ) Какой максимальный объём масла плотностью 0,8ρ можно налить в L−образную трубку с открытыми концами, частично заполненную водой плотностью ρ? Площадь сечения вертикальных колен трубки S. Объёмом горизонтальной соединительной трубочки можно пренебречь. Размеры L-образной трубки и высота столба воды указаны на рисунке. Пунктирные метки сделаны на одинаковых расстояниях h друг от друга. Затыкать открытые концы, наклонять трубку и выливать из неё воду нельзя. Ответ: .

18. (МОШ, 2006, 9 ) В два сообщающихся цилиндра налита вода. Один из цилиндров с площадью поперечного сечения S1 открыт, а другой закрыт сверху поршнем, к которому прикреплена пружина (см. рис.) Система находится в равновесии. Если точку подвеса пружины сместить вниз на расстояние a, то свободная поверхность воды в первом цилиндре поднимется на расстояние α1a, а поршень опустится на расстояние α2a (α1 и α2 — положительные коэффициенты). Чему равна площадь поперечного сечения S2 закрытого цилиндра? На какое расстояние b2 сместился бы поршень, если бы в открытый цилиндр долили объём V воды, не смещая точку подвеса пружины? Чему равна жёсткость пружины k? Ускорение свободного падения равно g, плотность воды равна ρ. Ответ:

19. (МОШ, 2009, 9 ) Малый сосуд удерживают внутри большого так, как показано на рисунке. В дне малого сосуда есть отверстие со втулкой, в которое вставлен цилиндр. Высота цилиндра h = 21 см, он может перемещаться относительно втулки без трения и только по вертикали. В малом сосуде находится вода, в большом — спирт, и при этом цилиндр покоится. На какой глубине под водой находится верхнее основание цилиндра? Плотность воды ρв = 1000 кг/м3 , плотность спирта ρс = 790 кг/м3 , плотность цилиндра ρ = 600 кг/м3. Ответ:

20. (МОШ, 2011, 9) В цилиндрическом сосуде высотой h = 20 см находится смесь воды и мелких кусочков льда (см. рисунок). На поверхности плавает круглая стальная крышка толщиной d = 2 мм, нижний край которой находится точно на поверхности воды. Найдите среднюю плотность смеси воды и льда. Плотность воды ρв = 1000 кг/м3 , плотность льда ρл = 1000 кг/м3 , плотность стали ρс = 7800 кг/м3 . Трением льда о стенки сосуда пренебречь. Ответ: .

21. (МОШ, 2015, 9) Длинный однородный брусок с поперечным сечением в виде прямоугольника со сторонами a 6= b подвешен на двух вертикальных нитях, прикреплённых к одному из рёбер, над сосудом, в который наливают воду. Когда в сосуд налили некоторое количество воды, два ребра бруска оказались точно на поверхности воды (вид сбоку со стороны вышеупомянутого поперечного сечения показан на рисунке). Найдите плотность материала, из которого сделан брусок. Плотность воды равна ρ = 1 г/см3 . Примечание: центр масс однородного треугольника расположен на пересечении его медиан. Ответ:

22. (МОШ, 2008, 9 ) Тонкий карандаш, подвешенный на нитке за один из концов, начинают погружать в воду, медленно опуская точку подвеса (см. рисунок). Определите максимальную глубину h погружения нижнего конца карандаша, если длина карандаша l = 18 см, а его средняя плотность в n = 2 раза меньше плотности воды. Ответ:

Читайте также:

Рекомендуемые страницы:

©2015-2020 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-03-16
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Поиск по сайту: