В длинном вертикальном сосуде находится газ

Распределение Больцмана. Барометрическая формула.

Задача. Каково давление воздуха в шахте на глубине 1 км, если считать, что температура по всей высоте постоянная и равна 22 °С, а ускорение свободного падения не зависит от высоты? Давление воздуха у поверхности Земли равно p0. Решение задачи.

Задача 4.8 Пылинки массой m = 10-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на δ= 1%. Температура воздуха во всем объеме постоянна и равна Т = 300 К. Выталкивающей силой Архимеда пренебречь.

Решение При равновесном распределении пылинок их концентрация зависит только от вертикальной координаты z и описывается функцией распределения Больцмана

Задача 4.9 Определить силу, действующую на частицу, находящуюся во внешнем однородном поле тяготения, если отношение концентраций частиц n1/n2 на двух уровнях, отстоящих друг от друга на z = 1 м, равно е. Температуру считать постоянной и равной Т = 300 К.

Задача 4.10 Идеальный газ находится в бесконечно высоком вертикальном цилиндрическом сосуде при температуре Т. Считая 83 поле сил тяжести однородным, найти: 1) среднее значение потенциальной энергии U молекул газа; 2) как изменится давление газа на дно сосуда, если температуру газа увеличить в раз.

Задача 4.11 Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью . Используя функцию распределения Больцмана, установить распределение концентрации n для частиц массой m, находящихся на расстоянии r от оси вращения.

4.82 Пылинки массой m = 10-18 г взвешены в воздухе. Определить, на сколько различается относительная величина концентрации частиц в пределах толщины слоя воздуха h = 4,23 мм. Температура воздуха во всем объеме одинакова и равна Т = 300 К.

4.83 Найти силу, действующую на частицу со стороны однородного поля, если концентрация этих частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на расстоянии z = 30 см (вдоль поля), отличаются в = 2 раза. Температура системы Т = 280 К.

4.84 Пусть η0 отношение концентрации молекул водорода к концентрации молекул азота вблизи поверхности Земли, а соответствующее отношение на высоте h = 3000 м. Найти отношение 0 при температуре Т = 280 К, полагая, что температура и ускорение свободного падения не зависят от высоты. Молярная масса водорода μ= 2 *10-3 кг/моль, молярная масса азота μ= 28 *10-3 кг/моль.

4.85 Найти изменение высоты h, соответствующее изменению давления на Р = 100 Па, в двух случаях: 1) вблизи поверхности Земли при температуре Т1 = 290 К и давлении Р1 = 100 кПа; 2) на некоторой высоте, где температура Т2 = 220 К и давление Р2 = 25 кПа. Молярная масса воздуха μ= 29 *10-3 кг/моль.

4.86 На какой высоте h над уровнем моря плотность воздуха уменьшится: а) в 2 раза; б) в е раз? Считать, что температура воздуха 92 Т и ускорение свободного падения g не зависят от высоты h. Молярная масса воздуха = 29 *10-3 кг/моль, температура Т = 273 К.

4.87 Пассажирский самолет совершает полет на высоте h = 8300 м. В кабине поддерживается постоянное давление, соответствующее высоте h0 = 2700 м. Найти разность давлений внутри и снаружи кабины. Среднюю температуру наружного воздуха считать t = 0 0C. Молярная масса воздуха = 29 10-3 кг/моль.

4.88 Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление Р 79 103 Па, благодаря чему летчик считает высоту полета неизменной. Однако, температура воздуха за бортом изменилась с t1 = 5 0C до t2 = 1 0C. Какую ошибку h в определении высоты допустил летчик? Давление Р0 у поверхности Земли считать нормальным, молярная масса воздуха = 29 *10-3 кг/моль.

4.89 В длинном вертикальном сосуде в однородном поле силы тяжести находится идеальный газ, состоящий из двух сортов молекул с массами m1 и m2, причем m2 > m1. Концентрации этих молекул у дна сосуда соответственно равны n1 и n2, причем n2 > n1. Считая, что во всем сосуде поддерживается одна и та же температура Т, найти высоту h, на которой концентрации этих сортов молекул будут одинаковы.

4.90 Идеальный газ находится в бесконечно высоком сосуде в однородном поле силы тяжести при температуре Т. Температуру увеличивают в раз. На какой высоте концентрация молекул останется прежней? Молярная масса газа .

4.91 Определить массу m газа, заключенного в вертикальном цилиндрическом сосуде. Площадь основания сосуда S, высота h. Давление на уровне нижнего основания сосуда Р0. Температура газа Т, молярная масса . Считать, что температура газа и ускорение свободного падения не зависят от высоты.

4.92 Определить число молекул N газа, заключенного в вертикальном цилиндрическом сосуде. Площадь основания сосуда S, высота h. Давление на уровне нижнего основания сосуда Р0. Температура газа Т. Считать, что температура газа и ускорение свободного падения не зависят от высоты. Молярная масса газа .

4.93 В центрифуге с ротором радиусом r = 0,5 м при температуре Т = 300 К находится в газообразном состоянии вещество с молярной массой μ= 0,1 кг/моль. Определить отношение n/n0 концентраций молекул у стенок ротора и в центре его, если ротор вращается с частотой n = 30 с-1 .

4.94 Ротор центрифуги, заполненной радоном, вращается с частотой n = 50 с-1 . Радиус ротора r = 0,5 м. Определить давление газа Р на стенки ротора, если давление в его центре Р0 = 1 атм. 93 Температуру по всему объему считать одинаковой и равной Т = 300 К. Молярная масса радона = 222 *10-3 кг/моль.

4.95 Горизонтально расположенную трубку с закрытыми торцами вращают с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее торцов. В трубке находится углекислый газ при температуре Т = 300 К. Длина трубки b = 100 см. Найти значение , при котором отношение концентраций молекул у противоположных торцов трубки = 2. Молярная масса углекислого газа = 44 10-3 кг/моль.

4.96 В центрифуге находится некоторый газ при температуре Т = 271 К. Ротор центрифуги радиусом r = 0,4 м вращается с угловой скоростью = 500 рад/c. Определить молярную массу газа, если давление Р у стенки ротора в = 2,1 раза больше давления Р0 в его центре.

4.97 Потенциальная энергия молекул газа в некотором центральном поле зависит от расстояния от центра поля r как U(r) r 2 , где положительная величина. Температура газа Т, концентрация молекул в центре поля n0. Найти: а) число молекул, имеющих потенциальную энергию в пределах (U; U + dU); б) наиболее вероятное значение потенциальной энергии.