В длинном вертикальном сосуде находится газ состоящий из двух

2.1. В сосуде объемом 1 л находится кислород массой 1 г. Определить концентрацию молекул.

Решение. p=nkT, Þ . , Þ , подставляем в правую часть выражения в рамке: . Ответ: n=1,88×1025м-3.

2.2 Найти среднюю скорость молекул идеального газа, плотность которого при давлении 35 кПа равна 0,3 кг/ м-3.

Решение. Запишем основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа в виде , где mo – масса отдельной молекулы. Средняя скорость равна , а среднеквадратичная , Þ . , Þ , Þ . Подставим в выражение в рамке:

. Ответ: м/с.

2.3. На какой высоте давление составляет 60 % от давления на уровне моря? Считать температуру равной 10 оС, независимо от высоты.

Решение. Из барометрической формулы следует, что отношение давлений на высоте h и на уровне моря равно , Þ . Обратите внимание: чтобы избавиться от минуса, мы перевернули дробь. Осталось выразить h из последней формулы: . Ответ: h=4220 м.

2.4. Считая температуру равной 273 К и не зависящей от высоты, определить, на какой высоте над уровнем моря плотность воздуха уменьшится в е раз.

Решение. Из уравнения Клапейрона-Менделеева выразим давление через протность: = , и подставим в барометрическую формулу: , Þ , Þ , Þ 1= . Отсюда выразим искомую высоту: =8000 м. Ответ: h=8 км.

2.5. В длинном вертикальном сосуде находится смесь из двух газов, у которых массы молекул соответственно равны m1 и m2. Концентрации молекул газов у дна сосуда равны соответственно n01 и n02. Найти высоту, на которой концентрации газов будут одинаковы. Считать температуру одинаковой по всей высоте.

Решение. Запишем барометрическую формулу для каждой компоненты смеси: ; . При n1=n2 после несложных преобразований имеем . Логарифмируем последнее выражение, а затем выразим искомую высоту: . Ответ: .

2.6. Четыре моля кислорода находятся при температуре 27 оС. Найти его внутреннюю энергию.

Решение. Внутренняя энергия идеального газа не зависит от вида газа, а определяется только количеством молей и абсолютной температурой:

, где для двухатомной жесткой молекулы кислорода число степеней свободы i=5. Отсюда = 25×103Дж. Ответ: U = 25×103Дж.

2.7. Определить плотность смеси водорода массой m1 =8 г и кислорода массой m2 = 64 г при температуре Т=290 К и давлении 0,1 МПа.

Решение. r= (1), m= m1+ m2 (2), (3), Þ (4). Подставляя (2) и (4) в (1), получим искомое выражение для плотности смеси газов: (кг/м3).

Ответ: r = 0,498 кг/м3.

2.8. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на DТ = 72 К, сообщив ему количество теплоты Q=1,6 кДж. Найти приращение его внутренней энергии и показатель адиабаты .

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля газа, равно

, откуда , откуда, раскрывая скобки, выражаем γ:

. Приращение внутренней энергии равно = , где мы подставили ранее найденное γ: .

Ответ: DU=1 кДж, γ=1.6

2.9. Идеальный газ с показателем адиабаты γ расширяют так, что сообщаемое ему тепло равно убыли его внутренней энергии. Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе и уравнение процесса в параметрах TV.

Решение. По условию , поэтому молярная теплоемкость равна , . Это процесс с постоянной теплоемкостью, т.е. политропический. Показатель политропы , где мы подставили найденную выше теплоемкость С. В уравнение политропы в форме =const, подставим n:

. Ответ: ; .

2.10. Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в η=1,5 раза?

Решение. Обозначим искомое отношение объемов: . По условию , где слева отношение начальной и конечной среднеквадратичных скоростей, каждая из которых пропорциональна корню квадратному из температуры. Следовательно, . При адиабатическом процессе =const, Þ = , Þ = , Þ . Осталось подставить показатель адиабаты: , Þ β= .

Ответ: .

2.11. Водород совершает цикл Карно. Найти кпд цикла, если при адиабатическом расширении объем газа увеличивается в n=2 раза.

Решение. При адиабатическом процессе =const, Þ = , Þ , Þ кпд цикла равен η= = . Ответ: 0,25.

2.12. Водород совершает цикл Карно. Найти кпд цикла, если при адиабатическом расширении давление газа уменьшается в n=2 раза.

Решение. Уравнение адиабаты =const, Þ = , Þ . По условию , Þ . Из уравнения Клапейрона-Менделеева ( ) следует, что ; , Þ , что подставляем в формулу для кпд: η= = . Ответ: =0,18.

2.13. Найти приращение энтропии 1 моля углекислого газа при увеличении его температуры в n=2 раза при изобарическом процессе.

Решение. Энтропия 1 моля идеального газа равна . Следовательно, изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2 равно , где . Жесткая молекула углекислого газа линейна и поэтому имеет 5 степеней свободы, Þ γ= 7/5. Окончательно получаем (Дж/К). Ответ: Дж/К.

2.14. Один моль кислорода изохорически нагревается от температуры T1 до температуры T2=4T1. Найти приращение энтропии.

Решение. Запишем энтропию 1 моля идеального газа в фирме . Тогда изменение энтропии при переходе из состояния 1 в состояние 2 равно = . Поскольку молекула кислорода линейная, то если считать ее жесткой, то γ= 7/5, т.к. число степеней свободы =5. Отсюда Ответ: Дж/К.

2.15. Азот массой 28 г адиабатно расширили в n=2 раза, а затем изобарно сжали до исходного объема. Определить изменение энтропии в ходе указанных процессов.

Решение. Обозначим адиабатный переход 1®2, а изобарный 2®3. Полное изменение энтропии равно сумме: = + . Изменение энтропии на участке 1®2: =0, так как адиабатный процесс идет без теплообмена, Þ , Þ =0. Изменение энтропии на участке 2®3 равно = . При р=const ; . Подставляя в формулу = , получим: = = . Ответ: Дж/К.

2.16. Считая процесс образования мыльного пузыря изотермическим, определить работу А, которую надо совершить, чтобы увеличить его диаметр от d1=6 мм до d2=60 мм. Поверхностное натяжение мыльного раствора принять равным s=40 мН/м.

Решение. Величину поверхностного натяжения можно выразить двумя способами: либо как силу натяжения, приходящуюся на единицу длины контура, либо как поверхностную энергию, приходящуюся на единицу площади поверхности: . В последнем случае, искомую работу следует приравнять изменению энергии в результате раздувания пузыря, а -полагать изменением площади поверхности с учетом того, что у пузыря две поверхности: внешняя и внутренняя. Таким образом, , где . При Т=const,Þ s=const. Таким образом, = . Ответ: А=896×10-6Дж.

2.17. Капилляр, имеющий внутренний радиус r=0,5 мм, опущен в жидкость. Определить массу жидкости, поднявшейся в капилляре, если ее поверхностное натяжение равно 60 мН/м.

Решение. Сила тяжести столба жидкости в капилляре уравновешена силами поверхностного натяжения в связи со смачиванием внутренних стенок капилляра жидкостью: , где l=2pr – длина границы. Отсюда .

Ответ: m=1,92×10-5 кг.

Распределение Больцмана. Барометрическая формула.

Задача. Каково давление воздуха в шахте на глубине 1 км, если
считать, что температура по всей высоте постоянная и равна 22 °С, а
ускорение свободного падения не зависит от высоты? Давление воздуха у
поверхности Земли равно p0.

Решение задачи.

Задача 4.8 Пылинки массой m = 10–18 г взвешены в воздухе.
Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого
концентрация пылинок различается не более чем на δ= 1%.
Температура воздуха во всем объеме постоянна и равна Т = 300 К.
Выталкивающей силой Архимеда пренебречь.

Решение
При равновесном распределении пылинок их концентрация
зависит только от вертикальной координаты z и описывается
функцией распределения Больцмана

Задача 4.9 Определить силу, действующую на частицу,
находящуюся во внешнем однородном поле тяготения, если
отношение концентраций частиц n1/n2 на двух уровнях, отстоящих
друг от друга на z = 1 м, равно е. Температуру считать постоянной и
равной Т = 300 К.

Задача 4.10 Идеальный газ находится в бесконечно высоком
вертикальном цилиндрическом сосуде при температуре Т. Считая 83
поле сил тяжести однородным, найти: 1) среднее значение
потенциальной энергии U молекул газа; 2) как изменится давление
газа на дно сосуда, если температуру газа увеличить в раз.

Задача 4.11 Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью . Используя
функцию распределения Больцмана, установить распределение концентрации
n для частиц массой m, находящихся на расстоянии r от оси вращения.

4.82 Пылинки массой m = 10–18 г взвешены в воздухе. Определить,
на сколько различается относительная величина концентрации
частиц в пределах толщины слоя воздуха h = 4,23 мм. Температура
воздуха во всем объеме одинакова и равна Т = 300 К.

4.83 Найти силу, действующую на частицу со стороны
однородного поля, если концентрация этих частиц на двух уровнях,
отстоящих друг от друга на расстоянии z = 30 см (вдоль поля),
отличаются в = 2 раза. Температура системы Т = 280 К.

4.84 Пусть η0 отношение концентрации молекул водорода к
концентрации молекул азота вблизи поверхности Земли, а
соответствующее отношение на высоте h = 3000 м. Найти отношение
0 при температуре Т = 280 К, полагая, что температура и ускорение
свободного падения не зависят от высоты. Молярная масса водорода μ= 2 *10–3
кг/моль, молярная масса азота  μ= 28 *10–3
кг/моль.

4.85 Найти изменение высоты h, соответствующее изменению
давления на Р = 100 Па, в двух случаях: 1) вблизи поверхности
Земли при температуре Т1 = 290 К и давлении Р1 = 100 кПа; 2) на
некоторой высоте, где температура Т2 = 220 К и давление Р2 = 25 кПа.
Молярная масса воздуха μ= 29 *10–3
кг/моль.

4.86 На какой высоте h над уровнем моря плотность воздуха
уменьшится: а) в 2 раза; б) в е раз? Считать, что температура воздуха 92
Т и ускорение свободного падения g не зависят от высоты h.
Молярная масса воздуха = 29 *10–3
кг/моль, температура Т = 273 К.

4.87 Пассажирский самолет совершает полет на высоте
h = 8300 м. В кабине поддерживается постоянное давление,
соответствующее высоте h0 = 2700 м. Найти разность давлений
внутри и снаружи кабины. Среднюю температуру наружного воздуха
считать t = 0
0C. Молярная масса воздуха = 29 10–3
кг/моль.

4.88 Барометр в кабине летящего самолета все время показывает
одинаковое давление Р 79 103 Па, благодаря чему летчик считает
высоту полета неизменной. Однако, температура воздуха за бортом
изменилась с t1 = 5
0C до t2 = 1
0C. Какую ошибку h в определении
высоты допустил летчик? Давление Р0 у поверхности Земли считать
нормальным, молярная масса воздуха = 29 *10–3
кг/моль.

4.89 В длинном вертикальном сосуде в однородном поле силы
тяжести находится идеальный газ, состоящий из двух сортов молекул
с массами m1 и m2, причем m2 > m1. Концентрации этих молекул у дна
сосуда соответственно равны n1 и n2, причем n2 > n1. Считая, что во
всем сосуде поддерживается одна и та же температура Т, найти
высоту h, на которой концентрации этих сортов молекул будут
одинаковы.

4.90 Идеальный газ находится в бесконечно высоком сосуде в
однородном поле силы тяжести при температуре Т. Температуру
увеличивают в раз. На какой высоте концентрация молекул
останется прежней? Молярная масса газа .

4.91 Определить массу m газа, заключенного в вертикальном
цилиндрическом сосуде. Площадь основания сосуда S, высота h.
Давление на уровне нижнего основания сосуда Р0. Температура газа
Т, молярная масса . Считать, что температура газа и ускорение
свободного падения не зависят от высоты.

4.92 Определить число молекул N газа, заключенного в
вертикальном цилиндрическом сосуде. Площадь основания сосуда S,
высота h. Давление на уровне нижнего основания сосуда Р0.
Температура газа Т. Считать, что температура газа и ускорение
свободного падения не зависят от высоты. Молярная масса газа .

4.93 В центрифуге с ротором радиусом r = 0,5 м при температуре
Т = 300 К находится в газообразном состоянии вещество с молярной
массой μ= 0,1 кг/моль. Определить отношение n/n0 концентраций
молекул у стенок ротора и в центре его, если ротор вращается с
частотой n = 30 с–1
.

4.94 Ротор центрифуги, заполненной радоном, вращается с
частотой n = 50 с–1
. Радиус ротора r = 0,5 м. Определить давление
газа Р на стенки ротора, если давление в его центре Р0 = 1 атм. 93
Температуру по всему объему считать одинаковой и равной Т = 300 К.
Молярная масса радона = 222 *10–3
кг/моль.

4.95 Горизонтально расположенную трубку с закрытыми торцами
вращают с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси,
проходящей через один из ее торцов. В трубке находится углекислый
газ при температуре Т = 300 К. Длина трубки b = 100 см. Найти
значение , при котором отношение концентраций молекул у
противоположных торцов трубки = 2. Молярная масса углекислого
газа = 44 10–3
кг/моль.

4.96 В центрифуге находится некоторый газ при температуре
Т = 271 К. Ротор центрифуги радиусом r = 0,4 м вращается с угловой
скоростью = 500 рад/c. Определить молярную массу газа, если
давление Р у стенки ротора в = 2,1 раза больше давления Р0 в его центре.

4.97 Потенциальная энергия молекул газа в некотором
центральном поле зависит от расстояния от центра поля r как
U(r) r
2
, где положительная величина. Температура газа Т,
концентрация молекул в центре поля n0. Найти: а) число молекул,
имеющих потенциальную энергию в пределах (U; U + dU);
б) наиболее вероятное значение потенциальной энергии.