В два цилиндрических сообщающихся сосуда наливают
Продолжаем подготовку к олимпиадам. Тема сегодняшней статьи – сообщающиеся сосуды и сила Архимеда. Начнем, как обычно, со стартовых, более простых задач, и потом перейдем к тем, что посложнее. Интересное будет дальше…
Задача 1. В цилиндрических сообщающихся сосудах находится вода. Площадь поперечного сечения широкого сосуда в 4 раза больше площади поперечного сечения узкого сосуда. В узкий сосуд наливают керосин, который образует столб высотой 20 см. На сколько повысится уровень воды в широком сосуде и опустится в узком?
Рисунок 1
Сначала запишем условие несжимаемости:
На уровне однородной жидкости можно записать условие равенства давлений:
Тогда
Ответ: 3,2 см, 12,8 см.
Задача 2. Три одинаковых сообщающихся цилиндра частично заполнены водой. Когда в левый цилиндр налили слой керосина высотой см, а в правый высотой см, то уровень воды в среднем сосуде повысился. На сколько?
Рисунок 2
Рисунок 3
Условие несжимаемости:
Откуда
Теперь условие равновесия:
Откуда
Тогда можно подставить все в первое уравнение:
Или
Ответ: 12 см.
Задача 3. В сосуде с водой плавает деревянная дощечка с приклеенным сверху железным шариком. Изменится ли уровень воды в сосуде, если дощечку перевернуть шариком вниз?
Здесь мы познакомимся с методом решения задач такого типа через силы, действующие на дно. Метод заключается в том, чтобы записать условие равновесия сил, действующих на дно сосуда до изменений и после них. Например, пусть в сосуде плавает кусок льда. Во-первых, полезно знать, что его масса равна массе воды, которую он вытеснил:
Рисунок 4
Сила, действующая на дно, с одной стороны:
Где – масса всего содержимого стакана (воды и льда).
С другой стороны,
Теперь лед растаял. Запишем новое условие равновесия сил, действующих на дно:
Масса содержимого не изменилась, поэтому
И
Теперь вернемся к задаче. Рассуждая таким же способом, заключаем, что после перевороте дощечки массы содержимых до переворота и после одинаковые, следовательно, уровень воды не изменится.
Задача 4. В стакане плавает кусок льда с вмороженной в него свинцовой дробинкой. Как изменится уровень воды, когда весь лед растает?
Запишем силу на дно в первом случае:
Когда лед растает, дробинка утонет, и будет давить на дно с силой
Для второго случая (масса содержимого не изменилась)
Но изменилась сила, действующая на дно:
Тогда
Так как правая часть, очевидно, положительное число, то , то есть уровень понизился.
Задача 5. В стакане с пресной водой плавает кусок дерева, к которому приклеен кусочек сахара. Как изменится уровень воды в стакане, когда сахар растворится?
Записываем силу на дно в первом случае:
Во втором случае
Масса содержимого не изменилась, следовательно,
Или
И плотность после растворения сахара стала больше, значит, уровень понизится.
Задача 6. Цилиндрическую гирю, подвешенную к динамометру, опускают в воду, пока показание динамометра не изменится на Н. На сколько изменится уровень воды в сосуде, если сечение сосуда S = 25 см?
Показания динамометра изменятся ровно на силу Архимеда:
Записываем силы на дно сначала:
После погружения гири сила давления на дно изменилась:
Тогда
Откуда
Ответ: на 4 см.
Источник