В два различных сосуда налиты растворы соли
При решении задач на сплавы и смеси считают, что сумма масс сплавляемых веществ равна массе получаемого сплава, что сумма масс вещества, входящего в сплавы равна массе этого вещества в полученном сплаве. Аналогичное допущение принимаем и для сумм масс (объёмов) при смешивании жидкостей.
Рассмотрим подготовительную задачу.
Задача 1. Имеется уксусный раствор массой 1,5 кг, содержащий 40 % уксуса. Сколько килограммов воды нужно добавить в раствор, чтобы новый раствор содержал 10 % уксуса?
Решение. I способ.
1) 40 : 10 = 4 (раза) — во столько раз уменьшилась концентрация уксуса в растворе и увеличилась масса раствора,
2) 1,5 * 4 = 6 (кг) — масса нового раствора,
3) 6 – 1,5 = 4,5 (кг) — воды надо добавить.
II способ. 1) 0,4 * 1,5 = 0,6 (кг) — масса уксуса в первом растворе.
2) Пусть добавили x кг воды. Составим уравнение:
0,1(1,5 + x) = 0,6.
Оно имеет единственный корень 4,5. Значит, надо добавить 4,5 кг воды.
Ответ. 4,5 кг.
Рассмотрим способы решения задач на смеси и сплавы из сборников вариантов для подготовки к ЕГЭ.
Задача 2. (2017) В сосуд, содержащий 7 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 8 литров воды. Определите процентную концентрацию того же вещества в новом растворе.
Задача 3. (2018) Имеется два сплава. Первый содержит 25 % никеля, второй — 30 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 28 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение. Пусть масса первого сплава x кг, второго (150 – x) кг, третьего — 150 кг. Найдём массу никеля в каждом из трёх сплавов. Никеля было
в первом сплаве 0,25x кг,
во втором — 0,3(150 – x) кг,
в третьем — 0,28 *150 = 42 (кг).
Составим уравнение:
0,25x + 0,3(150 – x) = 42.
Решив уравнение, получим его единственный корень x = 60. Теперь ответим на вопрос задачи. Масса первого сплава 60 кг, масса второго сплава 90 кг, первая меньше второй на 30 кг.
Ответ. На 30 кг.
Задача 4. (2019) Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 14 % меди. Масса второго сплава больше массы первого сплава на 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % меди. Найдите массу третьего сплава.
Решение. Пусть масса первого сплава x кг, второго (x + 7) кг, третьего — (2x + 7) кг. Меди было в первом сплаве 0,05x кг, во втором — 0,14(x + 7) кг, в третьем — 0,1(2x + 7) кг. Составим уравнение:
0,05x + 0,14(x + 7) = 0,1(2x + 7).
Решив уравнение, получим его единственный корень x = 28. При x = 28 масса третьего сплава 2x + 7 равна 63 кг.
Ответ. 63 кг.
Задача 5. (2017) Смешав 70 %-й и 60 %-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 %-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 %-го раствора той же кислоты, то получили бы 70 %-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 %-го раствора кислоты использовали для получения смеси?
Решение. Пусть масса первого раствора x кг, второго y кг. Приравняв массы кислоты до смешивания и после смешивания, составим два уравнения:
0,7x + 0,6y = 0,5(x + y + 2),
0,7x + 0,6y + 0,9*2 = 0,7(x + y + 2).
Решив систему этих двух уравнений, получим её единственное решение:
x = 3, y = 4. Использовали 3 кг 70 %-го раствора кислоты.
Ответ. 3 кг.
Задача 6. (2017) Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 50 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 28 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Для второго смешивания возьмём 1 кг первого раствора и 1 кг второго, получим 2 кг смеси. Составим первое уравнение:
Решив систему уравнений (1) и (2), получим её единственное решение: x = 12, y = 60. В первом сосуде содержится x * 100 / 100 = 12 (кг) кислоты. Ответ. 12 кг.
Для самостоятельного решения
7. Имеется 400 г морской воды, содержащей 4 % соли. Сколько граммов чистой воды нужно добавить в эту морскую воду, чтобы новый раствор содержал 2 % соли?
8. (2016) В сосуд, содержащий 10 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Определите процентную концентрацию того же вещества в новом растворе.
9. (2009) В бидон налили 4 литра молока трёхпроцентной жирности и 6 литров молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?
10. (2017) Имеется два сплава. Первый содержит 5 % никеля, второй — 20 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 15 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
11. (2017) Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 11 % меди. Масса второго сплава больше массы первого сплава на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % меди. Найдите массу третьего сплава.
12. В первом сплаве отношение массы олова к массе свинца 2 : 3, во втором 1 : 5. В каком отношении надо взять массы этих сплавов, чтобы получить третий сплав с отношением массы олова к массе свинца 1 : 2?
13. В первом сплаве отношение массы олова к массе свинца 2 : 3, во втором 1 : 5. В каком отношении надо взять массы этих сплавов, чтобы получить третий сплав с отношением массы олова к массе свинца 1 : 2?
Ответы. 7. 400 г. 8. 16 %. 9. 4,8 %. 10. На 75 кг. 11. 6 кг. 12. 5 : 2. 13. 5 : 2.
Для работы с задачами в классе можно использовать вариант заметки в виде презентации: Сплавы и смеси. Задачи 11 из ЕГЭ.
Источник
Процентное (относительное) содержание металла В в сплаве равно
f= 0,35 – 0,04y.
Минимум этой функции на отрезке 0 < у < 5/3 достигается при у = 5/3. Соответственно,
х = 25/3 , z = 0.
Ответ: 25/3, 5/3 и 0 кг.
Дадим другое решение задачи 6.
Понятно, что для получения нового сплава с 25% содержанием металла А в основном надо использовать первый сплав (только в этом сплаве процентное содержание металла А меньше 25), добавляя к нему. некоторое количество второго или третьего сплава. Однако добавление третьего сплава увеличивает концентрацию металла В, а добавление второго сплава ее уменьшает. Следовательно, надо добавлять к первому сплаву только второй.
В терминах приведенного выше решения это означает
х> 0, у> 0, z= 0,
x+y=10,
0,2x+0,5y=2,5.
Единственное решение этой системы x=25/3, y=5/3, z= 0.
Задачи для самостоятельного решения
1.(Геологический факультет, 1997, май, № 5.) В свежих грибах влага составляет 9/10 от общей массы, а в сушеных — 1/10 . Сколько нужно собрать грибов, чтобы заготовить 1 пуд сушеных грибов?
2.(Факультет почвоведения, 1999, июль, № 5.) Какое количество воды надо добавить в один литр 10%-го водного раствора спирта, чтобы получить 6% – й раствор?
3.(Филологический факультет, 2000, июль, № 1.) Имеется 40 л 0,5%-го раствора и 50 л 2%-го раствора уксусной кислоты. Сколько нужно взять первого и сколько второго раствора, чтобы получить 30 литров 1,5%-го раствора уксусной кислоты?
4.(Экономический факультет, 1965, № 1.) Один сплав содержит медь и олово в отношении 2:1, а другой — в отношении 3:2. По скольку частей нужно взять каждого из этих сплавов, чтобы получить третий сплав, в котором медь и олово содержатся в отношении 27:17?
5.(Факультет ВМК, 1996, № 2.) Первый раствор содержит 20% азотной кислоты и 80% воды, второй — 60% азотной кислоты и 40% воды. Первая смесь была получена из 15 л первого раствора и некоторого количества второго раствора. Смешав то же самое количество второго раствора с 5 л первого, получили вторую смесь. Сколько литров второго раствора было использовано для приготовления первой смеси, если известно, что процентное содержание воды во второй смеси в два раза больше процентного содержания кислоты в первой.
6.(Факультет почвоведения, 1978, № 3.) Имеется два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом слитке в два с половиной раза больше, чем процентное содержание золота во втором слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40% золота. Найдите, во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплавке равных по весу частей первого и второго слитков получается слиток, в котором содержится 35% золота.
7.(Экономический факультет (политической экономии), 1980, № 4.) Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.
8.(Геологический факультет, 2001, май, №6.) При проведении опыта раствор А был получен растворением ненулевого объема кислоты в воде. Раствор В был получен из раствора А добавлением некоторого объема воды, при этом концентрация раствора (отношение объема кислоты к общему объему раствора) уменьшилась на 40%. Раствор С получен из раствора В добавлением нового количества воды, в два раза большего по объему, чем было добавлено к раствору А при получении В. Во сколько раз концентрация раствора В больше концентрации раствора С?
9.(Географический факультет, 1981,№ 3.) Имеется два раствора серной кислоты в воде: первый —40%-й, второй — 60%-й. Эти два раствора смешали после чего добавили 5 кг чистой воды и получили 20% – й раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг 80% – го раствора, то получился бы 70% – й раствор. Сколько было 40% – го и 60% – го растворов?
10.(Факультет наук о материалах, 2004, апрель, № 1.) Для приготовления водного раствора кислоты взяли 4 л 40%-го и 6 л 60%-го растворов кислоты. Затем часть полученной смеси вылили и добавили такое же количество чистой воды, в результате чего получился 39%-й раствор кислоты. Сколько литров воды было добавлено?
11.(Геологический факультет (геофиз.), 1981, № 5.) Для составления смеси из двух жидкостей А и В были взяты два сосуда: первый емкостью 10 л, второй — 20 л. Сначала в оба сосуда было налито всего 15 л жидкости А. Затем первый сосуд был дополнен доверху жидкостью В и было произведено перемешивание. После этого второй сосуд был дополнен доверху смесью из первого сосуда. После того как в первый сосуд было добавлено жидкости А столько, сколько было в него ее налито сначала, отношения количества жидкости А ко всему объему имеющейся жидкости в сосуде для первого и второго сосудов стали равными. Сколько литров жидкости А было налито первоначально в первый сосуд?
12.(ВМК, 2000, июль, № 2.) Имеется некоторое количество раствора соли в воде. После испарения из раствора 1 л воды концентрация соли возросла на 0,05, а после разведения получившегося раствора 39 л воды концентрация соли стала в три раза меньше первоначальной. Найдите концентрацию соли в исходном растворе, считая массу 1 л воды равной 1 кг.
13.(Биологический факультет, 1966, № 1.) Имеются два раствора одной и той же соли в воде. Для получения смеси, содержащей 10 г соли и 90 г воды, берут первого раствора вдвое больше по весу, чем второго. Через неделю из каждого килограмма первого и второго растворов испарилось по 200 г воды, и для получения такой же смеси, как и раньше, требуется первого раствора уже вчетверо больше по весу, чем второго. Сколько граммов соли содержалось первоначально в 100 г каждого раствора?
14.(Геологический факультет, 1996, май, № 5.) В одном декалитре кислотного раствора 96% объема составляет кислота. Сколько воды можно долить, чтобы концентрация кислоты в полученном растворе была не больше 40% ?
15.(Биологический факультет, 1976, № 3.) Имеются две смеси N1 и N2, составленные из одних и тех же веществ А, Б, В, но взятых в различных весовых соотношениях. В смеси N1 вещества В в 9 раз меньше, чем вещества А, и в 2 раза меньше, чем вещества Б. Соединив 6 кг смеси N1 с 3 кг смеси N2 и добавив 1 кг вещества А, получили новую смесь, в которой вещества А в 6 раз больше, чем вещества Б, а вещества В столько же, сколько вещества Б. Требуется определить весовое соотношение веществ А, Б, В в смеси N2.
16.(Психологический факультет, 1986, № 4.) В три сосуда налито по 1 кг различных растворов поваренной соли. Если смешать 200 г первого раствора и 100 г второго раствора, то в полученной смеси будет содержаться столько же соли, сколько ее содержится в 100 г третьего раствора. Количества соли в трех растворах, взятых в порядке номеров растворов, образуют геометрическую прогрессию. Сколько граммов второго раствора нужно взять, чтобы в них содержалось столько же соли, сколько ее содержится в 100 г третьего раствора?
17.(Филологический факультет, 1990, № 4.) От двух сплавов массой 7 кг и 3 кг с различным процентным содержанием магния отрезали по куску одинаковой массы. Затем кусок, отрезанный от первого сплава, сплавили с остатком второго сплава. Кусок, отрезанный от второго сплава, сплавили с остатком первого сплава. Определите массу каждого из отрезанных кусков, если новые сплавы получились с одинаковым процентным содержанием магния.
18.(Факультет почвоведения, 1997, № 4.) В сосуде находится 10% – й раствор спирта. Из сосуда отлили 1/3 содержимого, а оставшуюся часть долили водой так, что сосуд оказался заполненным на 5/6 первоначального объема. Какое процентное содержание спирта оказалось в воде?
19.(Геологический факультет, 1989, №5.) В баке находилось 100 л смеси кислоты с водой. Из бака отлили часть смеси и добавили равное по объему количество воды, которое на 10 л превышает первоначальное количество кислоты в смеси. Затем снова отлили такое же количество смеси, как в первый раз, в результате чего количество кислоты в баке уменьшилось в четыре раза по сравнению с количеством ее в исходной смеси. Определите количество воды в исходной смеси.
20.(Экономический факультет (политической экономии), 1979, № 3.) Из сосуда, до краев наполненного чистым глицерином, отлили 2 л глицерина, а к оставшемуся глицерину долили 2 л воды. После перемешивания снова отлили 2 л смеси и долили 2 л воды. Наконец, опять перемешали, отлили 2 л смеси и долили 2 л воды. В результате этих операций объем воды в сосуде стал на 3 литра больше объема оставшегося в нем глицерина. Сколько литров глицерина и воды оказалось в сосуде в результате проделанных операций?
21.(Факультет почвоведения, 1988, № 4.) Два вида удобрений А и В отличаются весовым содержанием азота, калия и фосфора. В удобрении А азота содержится в три раза, а фосфора в два раза больше по весу, чем калия. В удобрении В соответственно
азота в 5/3 раза больше, а фосфора в 1,5 раза меньше, чем калия. Можно ли за счет смешивания удобрений А и В приготовить удобрение, в котором азота в два раза, а фосфора в три раза больше, чем калия?
22.(Химический факультет, 1997, май, № 4.) Из 1 сосуда, содержащего чистый спирт, отлили 1/3 часть и добавили такое же количество воды. Потом отлили 1/3 часть смеси и добавили такое же количество воды. Так проделали k раз (включая первое переливание). Каково наименьшее значение k, при котором процентное содержание спирта в сосуде после сделанных переливаний станет меньше 10%?
23.(Механико-математический факультет, 1981, № 3.) В. два различных сосуда налиты растворы соли, причем в первый сосуд налито 5 кг, а во второй — 20 кг. При испарении воды процентное содержание соли в первом сосуде увеличилось в р раз, а во втором сосуде — в q раз. О числах р и q известно только, что pq = 9. Какое наибольшее количество воды могло при этом испариться из обоих сосудов вместе?
24.(Экономический факультет (кибернетика), 1978, № 4.) Имеются три сплава. Первый сплав. содержит 30% никеля и 70% меди, второй — 10% меди и 90% марганца, третий — 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий 40% марганца. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное содержание меди может быть в этом новом сплаве?
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 |
Источник
Текст этой задачи можно найти на сотнях сайтах (см., например, https://slovo.ws/urok/algebra/07/008/148.html). Причем и дававшиеся на этих сайтах решения, и ответ в задачнике неправильные. Вот текст задачи. “Два сосуда были наполнены растворами соли, причём в первом сосуде содержалось на 1 л меньше раствора, чем во втором. Концентрация раствора в первом сосуде составляла 10%, а во втором – 20%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация которого составила 16%. Сколько раствора было в каждом сосуде первоначально?”. Предполагается, что соль – поваренная (хлорид натрия), а проценты массовые (масса соли, содержащаяся в 100 г раствора). Ответ “2 л и 3 л” неправильный, так как неявно предполагается, что плотность раствора соли такая же, как у дистиллированной воды. Такое можно предположить, если растворы сильно разбавленные. Но тут – 10 и 20% – это настоящий рассол! Какой же правильный ответ у этой задачи? Rafail 4 года назад Правило креста никто не отменял, поэтому проще всего решать задачу по правилу креста. 20-16=4, 16-10=6, и соотношение МАСС 20 %-ного и 10 %-ного растворов равно 6:4 или 1,5. Итак, для получения 16 %-ного раствора, масса 20 %-ного раствора должна быть в 1,5 раза больше массы 10 %-ного раствора. Если объем 10 %-ного раствора V л, то объём 20 %-ного раствора (V+1) л. Используя приведённые пользователем Алекс-89 плотности, получаем 1,0707*V*1,5=1,1478*(V+1). Отсюда V=1,1478/(1,0707*1,5-1,1478)=2,505 л. Значит объём 10 %-ного раствора 2,505 л, 20 %-ного 3,505 л. У Алекс-89 принципиальная ошибка, он считает, что объём полученного 16 %-ного раствора равен сумме объёмов исходных растворов. На самом деле это не так, объём 16 %-ного раствора равен 6,0066 л, в то время как сумма объемов исходных растворов равна 6,0095 л. Что же касается решения Ольген, то она составив правильное уравнение (правда записав его неправильно), где-то ошиблась в вычислениях. Я, решив составленное ею уравнение получил естественно, тот же самый объём 2,505 л, тот же, что и у меня. Что же касается задач из алгебры, то если заменить литры килограммами, то правильными нужно считать те же числа, т.е. 2 и 3 но не литра а килограмма. Простим уж математикам их незнание химии, их задачи не предусматривают такие тонкости, т.е они полагают, как и большинство населения, что 1 литр и 1 килограмм – это всегда одно и то же. Кстати, многие химики тоже не понимают этой разницы. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Алекс-89 4 года назад Обозначим объём раствора в первом сосуде в литрах переменной x (V1 = x). Очевидно, что объём раствора во втором сосуде будет равен x + 1 (V2 = x + 1). По таблице плотностей растворов поваренной соли при температуре 20 °C находим следующие данные: 1) плотность 10%-ного раствора NaCl (обозначу эту величину как ro1) равняется 1,0707 г/мл; 2) плотность 20%-ного раствора NaCl: ro2 = 1,1478 г/мл; 3) плотность 16%-ного раствора NaCl: ro3 = 1,1162 г/мл. Ясно, что сумма масс вещества поваренной соли в изначальных двух растворах равна массе поваренной соли в конечном растворе, получившемся после сливания (ну не могла эта величина измениться). Естественно, мы помним несложные формулы: m(р-ра) = ro(р-ра) * V(р-ра); m(в-ва) = m(р-ра)*w/100 (w — массовая доля растворённого вещества). Попробуем составить уравнение: 0,1*1,0707*1000x + 0,2*1,1478*1000(x + 1) = 0,16*1,1162*1000(2x + 1) 107,07x + 229,56(x + 1) = 178,592(2x + 1) 178,592(2x + 1) = 107,07x + 229,56(x + 1) 357,184x + 178,592 = 336,63x + 229,56 357,184x – 336,63x = 229,56 – 178,592 20,554x = 50,968 x = 50,968 : 20,554 x = 2,4797 л (или 2479,7 мл) — объём раствора, бывшего в первом сосуде. Отсюда x + 1 = 2,4797 л + 1 л = 3,4797 л (или 3479,7 мл) — объём раствора, бывшего во втором сосуде. Если не требуется такой высокой точности, то можно округлить ответы и записать их в виде: V1 = 2,48 л; V2 = 3,48 л. Поскольку возникли разногласия, в том числе относительно ответа (они оказались разными), приведу свое очень простое решение. Прежде всего, я должен признать, что ответ Алекса более точный, чем мой. Я неправильно округлил, и когда исправил ошибку, у меня получилось то же самое: 2,48 и 3,48 л! Ошибка на 1 в последнем знаке – это 0,3 – 0,4%. Разница между 6,0095 л и 6,0066 л (эти объемы были у Рафаила) составляет всего лишь 0,05% – на порядок меньше! Но я в своем решении не складывал объемы, а только массы! Объемы складывать не нужно. Итак, решение такое. Сосуд 1: объем Х л, масса 1071 Х г, соли 107,1 Х г. Сосуд 2: объем (Х + 1) л, масса 1148(Х + 1) г, соли 229,6(Х + 1) г. После сливания двух растворов: масса нового раствора (2219Х + 1148) г, соли в нем (336,5Х + 229,7) г. Учитывая, что соли 16% (по массе!), получаем уравнение: 1854Х = 4602, откуда Х = 2,48. Вот и всё решение. Еще раз: объемы складывать не нужно. И ошибки в ответе у Алекса нет. Вот если бы были объемные %% – другое дело (например, как это учитывается при сливании абсолютного спирта и воды). ольген 4 года назад Примем объем V1 первого раствора за Х, то объем второго раствора V2 равен (1+Х). В условии задачи не даны значения плотностей растворов, но находим из из справочных данных. При сливании двух растворов получается третий раствор С массовой долей растворенного вещества Wз = 16% или О.16. Для решения задачи воспользуемся опорной формулой: W(р.в.) = m (р.в.)/m(р-ра), где w (р.в.) – массовая для растворенного вещества (р.в); m(р.в.) – масса растворенного вещества,г; m(масса раствора),г. Wз = V1*p1*W1 +V2*p2*W2/ V1p1+ V2*p2, где р1 = 1,0707 г/смз и р2 = 1,1478 гсмз – плотности первых двух растворов. Подставим значения в уравнение и определим значение Х. х*1,0707*0,1 + (Х+1)*1,1478*0,2 / 1,0707Х + (Х+1)*1,1478 = 0,16 Решая уравнение с одним неизвестным, получаем уравнение вида: 0,152982Х = 0,1254, отсюда Х = 0.82 л = 820 мл. Следовательно, V1 = 0,82 л, а V2 = 1,00+0,82 = 1,82 л. Подобные задачи имеются в материалах ЕГЭ по химии и по математике, но как такую задачу решают математики без значений плотности растворов не знаю и у них другой алгоритм. Знаете ответ? |
Источник