В двух цилиндрических сосудах находится ртуть

Абитуриенту

Окончание. См. № 4, 8/09

Задача 16

Лестница опирается на гладкую вертикальную стенку, образуя с ней угол α = 30°. Нижний конец лестницы находится на шероховатом полу. При каком коэффициенте трения между лестницей и полом человек, взбирающийся вверх по лестнице, сможет достичь её вершины? Масса человека в n = 3 раза больше массы лестницы.

Решение

Используем два условия равновесия: сумма сил равна нулю:

m1g + m2g + N1 + N2 + F = 0.       (1)

и сумма моментов сил относительно верхнего конца лестницы равна нулю:

Здесь m1 – масса лестницы, m2 – масса человека, l – длина лестницы.

Чтобы человек мог подняться по лестнице, сила трения покоя должна быть не больше силы трения скольжения (Fтр ≤ µN1).

Проецируя уравнение (1) на ось Y с учётом m2 = nm1 и Fтр ≤ µN1 и преобразуя уравнение (2), получим:

Задача 17

Кубик массой m = 1 кг движется по наклонной плоскости, расположенной под углом α = 30° к горизонту, на двух небольших выступах. Определите силы, действующие в местах контакта кубика с плоскостью. Коэффициент трения µ = 0,05.

Решение

Так как в условии задачи одновременно заданы угол α и коэффициент трения µ, то кубик движется равноускоренно. Следовательно, для использования при решении условий равновесия сумму моментов сил находим относительно центра масс кубика, и сумму сил рассматриваем в проекции на ось Y системы отсчёта, связанной с кубиком. Этим самым мы исключаем при решении инерциальную силу, которая приложена к центру масс и направлена против оси Х, т.е. решаем задачу в неинерциальной системе отсчёта:

Задача 18

В двух сообщающихся цилиндрических сосудах с одинаковым поперечным сечением S = 1 · 10-2 м2 находится ртуть. В один из сосудов поверх ртути наливают воду массой m1 = 25 кг и в неё опускают плавать груз массой m2 = 2,2 кг. На какую высоту h переместится уровень ртути во втором сосуде? Плотность ртути ρрт = 13,6 · 103 кг/м3.

Решение

По закону Паскаля, давление на ртуть в сечении II будет в обоих коленах одинаковым. Давление в левом колене в правом Pпрρртg · 2h, где h – высота перемещения уровня ртути в правом колене, сечение I – первоначальный уровень ртути.

Тогда Окончательно получим:

Задача 19

Плавающий куб погружён в ртуть на 1/3 своего объёма. Какая часть куба будет погружена в ртуть, если поверх ртути налить слой воды, полностью закрывающий куб? Плотность ртути ρрт = 13,6 · 103 кг/м3, плотность воды ρв = 1,0 · 103 кг/м3.

Решение

По условию плавания, mg = FA1 + FA2, где FA1 – сила Архимеда, действующая на куб со стороны ртути, FA2 – со стороны воды.

FA1 = ρртgV1 = ρртgxa2;

FA2 = ρвgV2 = ρвga2(a – x).

Здесь V1 – часть объёма куба со стороной а, находящейся в ртути, V2 – часть объёма, находящаяся в воде, x – глубина погружения в ртуть.

После подстановки получим

m = ρртxa2 + ρв(a – x)a2.       (1)

При отсутствии воды mg = ρртgV. Так как V = 1/3a3, то

m = 1/3ρртa3.       (2)

Из (1) и (2) получим

Задача 20

В озере плавает плоская льдина массой m = 36 кг и площадью S = 0,2 м2. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы полностью утопить льдину? Плотность льдины ρл = 900 кг/м3, плотность воды ρв = 1,0 · 103 кг/м3.

Решение

Исходя из условия плавания льдины:

FA + F + mg = 0,

где FA – сила Архимеда, F – сила, которую прикладывают, топя льдину, модуль силы F меняется от нуля до максимального значения, когда льдина будет полностью утоплена. В проекции на ось Х получим FA – F – mg = 0, или

F = FA – mg = ρвgS(H – x) – mg,       (1)

где H – толщина льдины.

Из условия плавания льдины при отсутствии силы F следует, что

mg = ρвgS(H – h ),       (2)

где в этом случае x = h – расстояние от верхней плоскости льдины до воды.

Из уравнений (1) и (2) получим

F = ρвgS(h – x).       (3)

При x = 0 Fmax = ρвgSh.

Зависимость модуля силы F от расстояния x, как видно из уравнения (1), является линейной. Тогда работу, которую надо совершить, чтобы утопить льдину, можно рассчитать как

Из уравнения (2), подставив
получим

Подставив h в формулу для работы, окончательно найдём: