В двух разных сосудах нагревают один

Абитуриенту

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики
и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2008 г.

Продолжение. См. № 02,
05,
08/09

II. Молекулярная физика
и термодинамика (окончание)

6 Металлический шарик, нагретый до температуры t = 60 °C, положили в стакан с водой, имеющей температуру t0 = 20 °C. После достижения теплового равновесия температура воды в стакане стала равной t1 = 30 °C. Затем шарик переложили в другой стакан с таким же количеством воды, имеющей температуру t0. Какая температура t2 установится в этом стакане? Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Решение

Пусть сш – теплоёмкость шарика, а св – теплоёмкость стакана с водой. Уравнения теплового баланса имеют вид:

сш(t – t1) = св(t1 – t0) (когда шарик положили в первый стакан),

сш(t1 – t2) = св(t2 – t0) (когда шарик переложили во второй стакан).

Из этих выражений следует равенство:

Выражая из него t2, находим ответ:

7 Два сообщающихся сосуда разного поперечного сечения заполнены жидкостью при температуре t0 = 0 °C до высоты h. Площадь поперечного сечения правого сосуда S. Левый сосуд до высоты h имеет сечение площадью 2S, а выше этого уровня – сечение площадью S. В правом сосуде температуру жидкости поддерживают неизменной и равной t0, а в левом сосуде жидкость нагревают до температуры t1. На какую величину Dhпр поднимется при этом уровень жидкости в правом сосуде? Температурный коэффициент объёмного расширения жидкости равен b. Тепловым расширением сосудов и объёмом соединительной трубки пренебречь.

Решение

Пусть ρ0 – плотность жидкости при температуре t0. Тогда при температуре t1 плотность жидкости будет

Поскольку полная масса жидкости в сосудах не изменяется, справедливо равенство:

ρ0(2S + S)h = ρ1(2Sh + SΔhл) + ρ0S(h + Δhпр),

где Δhл и Δhпр – перемещения уровней жидкости в левом и правом сосудах. Условие равновесия жидкости имеет вид:

ρ1g(h + Δhл) = ρ0g(h + Δhпр).

Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

III. Электродинамика

1 Два конденсатора, заряженные до одного и того же напряжения, имеют энергии W1 и W2. Разноимённо заряженные обкладки конденсаторов соединили с помощью двух проводников. Какая энергия Q выделилась в проводниках при разрядке конденсаторов?

Решение

Пусть С1 и С2 – ёмкости конденсаторов, U0 – напряжение, до которого они заряжены. Тогда заряды на конденсаторах q1 = С1U0, q2 = С2U0, а их энергии

После соединения разноимённо заряженных пластин модуль заряда на каждой паре пластин будет q = |q1 – q2| = = |С1 – С2|U0. Следовательно, энергия конденсаторов после перезарядки

Изменение энергии конденсаторов в процессе перезарядки равно энергии, выделившейся в проводниках: Q = W1 + W2 – W′. После несложных преобразований находим, что

2 Два одинаковых конденсатора ёмкостью C каждый соединены последовательно и постоянно подключены к источнику с ЭДС и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением. В некоторый момент времени параллельно одному из конденсаторов подсоединили резистор. Какое количество теплоты Q выделится в этом резисторе в процессе перераспределения зарядов в конденсаторах, если перед подключением резистора заряды на конденсаторах были одинаковы?

Решение

В начальном состоянии заряд на каждом конденсаторе энергия системы

При подключении резистора к одному из конденсаторов этот конденсатор полностью разрядится, а второй зарядится до напряжения . Поэтому конечная энергия системы

При перезарядке конденсаторов источник переместит по цепи заряд q, совершив работу

Из закона изменения энергии следует, что A + W1 = W2 + Q.

Ответ.

3 Плоский конденсатор, подключённый к источнику с ЭДС , состоит из двух квадратных обкладок площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга. Между обкладками расположена диэлектрическая пластинка с диэлекрической проницаемостью ε, заполняющая весь объём конденсатора. Пластинку начинают медленно выдвигать вдоль одной из сторон конденсатора с постоянной скоростью υ0. Какой по величине и направлению ток I будет течь в цепи источника при этом? Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

Решение

Пусть пластинка выдвинута из конденсатора на расстояние x. Ёмкость конденсатора и заряд на нём при этом будут:

где За малое время Δt пластинка переместится на расстояние Δx = υ0Δt, а заряд конденсатора уменьшится на величину

Ток внутри источника направлен от его положительной клеммы к отрицательной.

4 В цепи, изображённой на рисунке, ключ в течение длительного времени находился в положении 1, а конденсатор С2 был полностью разряжен. В некоторый момент ключ перевели из положения 1 в положение 2. Найдите заряды q1 и q2, которые по истечении достаточно длительного времени накопятся на конденсаторах С1 и С2 соответственно. Ёмкости конденсаторов С1 = 1 мкФ, С2 = 2 мкФ, ЭДС каждого из источников = 30 В.

Решение

Когда ключ находился в положении 1, на конденсаторе С1 накопился заряд q0 = С1. При переводе ключа в положение 2 заряд –q, находившийся первоначально на правой обкладке конденсатора С1, перераспределился между ней и левой обкладкой конденсатора С2. По закону сохранения заряда, на этой системе обкладок имеем: –С1= –q1 – q2. При обходе контура по часовой стрелке приходим к соотношению:

Из записанной системы уравнений находим ответ:

Продолжение

следует

>>> Перейти на мобильную версию сайта >>>

Учебник для 10 класса

Физика
Термодинамика

При решении задач по этой теме надо иметь в виду, что давление и плотность насыщенного пара не зависят от объема, а зависят только от температуры.

Давление насыщенного пара считается известной величиной (сообщается в условии задачи или находится в соответствующих таблицах).

Уравнение состояния идеального газа вдали от критической температуры приближенно применимо для описания насыщенного пара. Но при сжатии или нагревании насыщенного пара его масса изменяется.

Задача 1

В замкнутом сосуде объемом V = 1 м3 находится вода массой m = 12 г и насыщенный пар; плотность и давление пара при данной температуре равны соответственно р = 8 • 10-3 кг/м3 и р = 1,1 кПа. Какое давление установится при увеличении объема в k = 5 раз? Считать, что температура при увеличении объема не изменяется.

Решение. В сосуде первоначально содержался насыщенный пар массой m1 = ρV = 8 • 10-3 кг (объемом, занимаемым водой, можно пренебречь).

Масса воды и пара была равна m + m1 = 2 • 10-2 кг. Для насыщения объема, равного kV, необходим пар массой m2 = ρkV = 4 • 10-2 кг. Так как m + m1 < m2, то после увеличения объема пар станет ненасыщенным. Его плотность .

Давление пара при данной температуре прямо пропорционально плотности. Поэтому

Задача 2

В закрытом сосуде объемом V1 = 0,5 м3 находится вода массой m = 0,5 кг. Сосуд нагрели до температуры t = 147 °С. На какую величину AV следует изменить объем сосуда, чтобы в нем содержался только насыщенный пар? Давление насыщенного пара при температуре t = 147 °С равно р0 = 4,7 • 105 Па.

Решение. Насыщенный пар при давлении р0 занимает объем

где М = 0,018 кг/моль — молярная масса воды. Объем сосуда V1 > V и пар не является насыщенным. Чтобы пар стал насыщенным, объем сосуда следует изменить на

Объем сосуда должен быть уменьшен на 0,3 м3.

Задача 3

Кусок алюминия массой m1 = 537 г, нагретый до температуры t1 = 200 °С, опустили в воду массой m2 = 400 г при температуре t2 = 16 °С. Вода нагрелась до температуры t = 50 °С и частично испарилась. Определите массу испарившейся воды. Удельная теплоемкость алюминия с1 = 920 Дж/(кг • К). Удельная теплоемкость воды с1 = 4200 Дж/(кг • К), а удельная теплота парообразования воды при температуре кипения (tK = 100 °С) равна г = 2,26 МДж/кг. Тепловыми потерями пренебречь.

Решение. Количество теплоты, отданное куском алюминия:

Количество теплоты, полученное водой, складывается из количества теплоты, полученного всей водой при нагревании от t2 до t:

и количества теплоты, израсходованного для нагревания части воды массой m3 от t до tK и ее испарения при этой температуре:

Пренебрегая тепловыми потерями, запишем уравнение теплового баланса:

или

Откуда

Задача 4

Пористое тело было помещено для просушки под колокол вакуумного насоса. Давление под колоколом держалось на уровне 6,5 мм рт. ст. в течение 1 ч, после чего резко упало. Подача насоса 60 л/мин. Установившаяся под колоколом насоса температура t = 5 °С. Сколько воды содержало тело?

Решение. Давление р = 6,5 мм рт. ст. — это давление насыщенных водяных паров при t = 5 °С. Резкое падение давления свидетельствует о том, что вся вода превратилась в пар. Объем пара, откачанного насосом до полного испарения воды, V = 3600 л. Пользуясь уравнением состояния Менделеева— Клапейрона, находим искомую массу воды

Задача 5

В сосуде находится воздух, относительная влажность которого при температуре t1 = 10 °С равна (φ1 = 60%. Какой будет относительная влажность φ2 после уменьшения объема сосуда в n раз (n = 3) и нагревания газа до температуры t2 = 100 °С? Плотность насыщенных водяных паров при температуре t1 равна ρ = 9,4 • 10-3 кг/м3.

Решение. При температуре t1 абсолютная влажность (до сжатия) равна ρ1 = φ1ρ. После сжатия масса влаги, приходящаяся на единицу объема сосуда (не только в виде паров, но и в виде сконденсировавшейся жидкости, если возникли условия для конденсации), будет равна ρ2 = nφ1ρ = 1,69 • 10-2 кг/м3.

При температуре t2 = 100 °С давление насыщенных водяных паров равно нормальному атмосферному давлению р0 = 105 Па, и их плотность

Так как ρ3 > ρ2. то в сосуде будет ненасыщенный пар с относительной влажностью

Упражнение 5

1. Почему капельки воды на разогретой сковородке «крутятся» на ней более минуты, прежде чем исчезнуть?
2. В колбе кипятят воду. Затем колбу снимают с огня и закупоривают резиновой пробкой. Если теперь охладить колбу, облив ее холодной водой, то вода в колбе закипает. Почему?
3. Два полых, герметически запаянных шара, в одном из которых вода, соединены трубкой (рис. 6.20). Воздух из шаров откачан. Если пустой шар поместить в сосуд с жидким воздухом, то вода в другом шаре быстро замерзнет. Объясните явление.

   

   Рис. 6.20

4. На улице целый день моросит холодный осенний дождь. В комнате развешено выстиранное белье. Высохнет ли белье быстрее, если открыть форточку?
5. На рисунке 6.21 изображен прибор, называемый кипятильником Франклина. Этот прибор состоит из двух полых стеклянных шаров, соединенных трубкой. В прибор налито некоторое количество спирта и откачан воздух. Если прибор слегка наклонить, то спирт соберется в одном (левом) шаре (см. рисунок). Обхватив этот шар ладонью, мы увидим, что спирт быстро перейдет в другой (правый) шар, хотя он расположен немного выше, и будет в нем бурлить, подобно кипящей воде. Объясните явление.

   

   Рис. 6.21

6. Можно ли газ, имеющий температуру ниже критической, перевести непрерывным путем (минуя состояние равновесия между жидкостью и газом) в жидкость той же температуры?
7. Два сосуда, соединенных трубками с кранами, наполнены водой до разных уровней (рис. 6.22). Воздух из сосудов откачан. Что произойдет, если соединить сосуды, открыв кран: 1) в нижней трубке; 2) в верхней трубке?

   

   Рис. 6.22

8. Опишите, что будет происходить с веществом, если его нагревать при постоянных объемах сосудов VQ, VK и V1 (рис. 6.23).

   

   Рис. 6.23

9. Сравните качественно температуру кипения и удельную теплоту парообразования воды в глубокой шахте и на поверхности Земли.
10. Почему в момент выключения газовой горелки из кипящего чайника сразу же вырывается струя пара, хотя до этого пара не было видно?
11. В котел объемом V = 5 м3 накачали воду массой m1 = 20 кг и нагрели содержимое котла до температуры t = 180 °С. Найдите массу m2 и давление р пара в котле. Плотность насыщенного водяного пара при температуре Т = 453 К равна р = 5,05 кг/м3. Молярная масса воды М = 0,018 кг/моль.
12. В цилиндре под поршнем в объеме V1 = 1 м3 при температуре t = 30 °С находится смесь азота и насыщенного пара воды. Масса смеси m0 = 286 г. Какая масса пара сконденсируется, если объем уменьшить в n раз (n = 3) при постоянной температуре? Какое давление р было у смеси до сжатия? Давление насыщенного водяного пара при температуре 30 °С равно р1 = 4,2 кПа. Молярные массы воды и азота равны соответственно М1 = 0,018 кг/моль и М2 = 0,028 кг/моль.
13. До какой температуры нагреется вода объемом 0,8 л, находящаяся в медном калориметре массой 0,7 кг и имеющая температуру 285 К, если ввести в калориметр пар массой 0,05 кг при температуре 373 К? Удельная теплоемкость воды 4,2 кДж/(кг • К); удельная теплоемкость меди 0,38 кДж/(кг • К); удельная теплота парообразования воды 2,26 МДж/кг.

    1

14. Через змеевик нагревателя, содержащего 12 л воды при температуре 12 °С, пропускают стоградусный водяной пар. Вытекающая из змеевика вода (конденсат) имеет температуру 60 °С. Какое количество пара нужно пропустить через змеевик, чтобы температура воды в нагревателе повысилась до 50 °С?
15. Определите абсолютную влажность воздуха, если парциальное давление пара в нем р = 14 кПа, а температура t = 60 °С.
16. В комнате, объем которой V = 100 м3, температура воздуха понизилась от t1 = 25 °С до t2 = 15 °С. Сколько водяных паров при этом сконденсировалось из воздуха, первоначально находившегося в комнате, если плотность насыщенного водяного пара при 25 °С равна р1 = 23 г/м3, а при 15 °С — р2 = 12,8 г/м3? Относительная влажность воздуха вначале была равна φ = 90%.
17. В здание необходимо подать 100 000 м3 воздуха при температуре 20 °С и относительной влажности 70%. Воздух забирают с улицы, где он имеет температуру -5 °С и относительную влажность 90%. Давление насыщенных водяных паров при -5 °С равно 400 Па, а при 20 °С — 2,33 кПа. Сколько воды надо дополнительно испарить в подаваемый воздух?
18. После понижения температуры от 27 до 10 °С оказалось, что из каждого кубического метра воздуха выделилось 8 г воды. Какова была относительная влажность воздуха при 27 °С? Давление насыщенного водяного пара при 27 °С равно 3,56 кПа, а при 10 °С — 1,23 кПа.