В двух сосудах содержатся растворы кислоты в первом сосуде 70
20% раствор. Если вместо чистой воды добавить 5 литров 80% раствора, то
получился бы 70%) раствор поваренной соли. Сколько было 40% и 60%
Растворов?
Составляем систему 2 уравнений:
ì40х + 60у + 5 * 0 = 20 ( х + у + 5 )
í
î40х + 60у + 400 = 70 ( х + у + 5 )
Ответ: х = 1; у = 2.
ЕГЭ 2003г. Уровень – В
В двух сосудах содержится раствор кислоты в первом -70%, во втором – 46%. Из первого сосуда 1 л раствора перелили во второй и жидкость перемешали, затем из 2 сосуда 1л раствора перелили в 1 и также перемешали, после чего концентрация в 1 сосуде стала 68%.Сколько жидкости было во 2 сосуде, если в1 сосуде ее было 10л.
Аналогично решается система уравнений
Ответ: х = 5, у = 50
ЕГЭ 2003г. Уровень – В
Имеются 2слитка, представляющие собой сплавы цинка и меди. Масса 1 слитка 2 кг, 2-Зкг. Эти два слитка сплавили вместе с 5 кг сплава цинка и меди, в котором цинка было 45% и получили сплав, в котором цинка стало 50%, если бы процентное содержание цинка в 1 слитке было бы такое же как во 2, а во втором такое же как в 1, то сплавив эти 2 слитка с 5 кг сплава цинка с медью в котором 60% цинка получили бы сплав, в котором содержится 55% цинка. Найдите процентное содержание цинка в 1 и 2 слитках.
Составляем систему уравнений:
ì2х + Зу + 225 = 500
í
î2у + 3х + 300 = 550
Ответ: 40%, 65%.
ЕГЭ-2005 г. Уровень С
На овощной базе имелся крыжовник. Влажность, которого составляла 99%.3а время хранения его влажность уменьшилась на 1%. На сколько процентов уменьшилась масса хранившегося крыжовника?
Составляем уравнение:
99 х – 100 у = 98 ( х – у)
х = 2 у
(х – у) / х = (2у-у) / 2
у = у / 2
у =1 / 2
Ответ: масса уменьшилась вдвое, значит на 50%.
ЕГЭ-2005 г. В -7
Имеются 2 слитка сплава серебра и олова. Первый слиток содержит 380г серебра и 40 г олова, а второй слиток 450 г серебра и 150 г олова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 200 г сплава, в котором оказался 81 % серебра. Определите массу в граммах куска , взятого от второго слитка.
Составляем систему уравнений:
ìа + b = 200
êа х + b х = 81 * 200
í
ï36 000 = 400 х
î 45 000 = 600 у
Ответ: 120 г.
ЕГЭ-2005 г. Уровень С
В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных 20 %. На сколько % уменьшилась масса яблок при сушке?
80 х – 100 у = 20 х – 20 у
60 х = 80 у
х = 80 у / 60 = 4 у / 3
Ответ:75%
ЕГЭ-2005 г. Уровень С
На 1 поле 65 % площади засеяно овсом, на 2 поле под овсом занято 45%площади. Известно, что на 1 и 2 полях вместе под овсом занято 53% общей площади. Какую часть всей площади составляет 1 поле?
Ответ: 40%.
ЕГЭ-2005 г. Уровень С
Имеется два разных сплава меди со свинцом. Если взять 1 кг 1 сплава и 1 кг 2сплава и перемешать их, то получится сплав с содержанием 65% меди . Известно, что если взять кусок номер 1 первого сплава и кусок номер 2второго сплава, имеющих суммарную массу 7 кг и перемешать их, то получится сплав с содержанием меди 60%. Какова масса меди ,содержащаяся в сплаве, если переплавить кусок 1 сплава равного по массе 2куска и 2 сплава равного по массе куску 1 сплава.
Составляем систему уравнений:
ìх + у = 130
ïа х + b у = 420
í
ïb х + а у = 7 z
î а + b = 7
1) х + у = 130
b x + b y = 130 b
b x = 130 b – b y
2) x + y = 130
a x + a y = 130 a
a y = 130 a – a x
b x + a y = 130 b – b y + 130 a – a x = 130 ( b+ a ) – ( a x + b y ) = 130 * 7 – 420 = 490
7 * z = 490
z = 70
7* 0, 7 = 4,9 кг
Ответ: 4,9 кг.
Источник
При решении задач на сплавы и смеси считают, что сумма масс сплавляемых веществ равна массе получаемого сплава, что сумма масс вещества, входящего в сплавы равна массе этого вещества в полученном сплаве. Аналогичное допущение принимаем и для сумм масс (объёмов) при смешивании жидкостей.
Рассмотрим подготовительную задачу.
Задача 1. Имеется уксусный раствор массой 1,5 кг, содержащий 40 % уксуса. Сколько килограммов воды нужно добавить в раствор, чтобы новый раствор содержал 10 % уксуса?
Решение. I способ.
1) 40 : 10 = 4 (раза) — во столько раз уменьшилась концентрация уксуса в растворе и увеличилась масса раствора,
2) 1,5 * 4 = 6 (кг) — масса нового раствора,
3) 6 – 1,5 = 4,5 (кг) — воды надо добавить.
II способ. 1) 0,4 * 1,5 = 0,6 (кг) — масса уксуса в первом растворе.
2) Пусть добавили x кг воды. Составим уравнение:
0,1(1,5 + x) = 0,6.
Оно имеет единственный корень 4,5. Значит, надо добавить 4,5 кг воды.
Ответ. 4,5 кг.
Рассмотрим способы решения задач на смеси и сплавы из сборников вариантов для подготовки к ЕГЭ.
Задача 2. (2017) В сосуд, содержащий 7 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 8 литров воды. Определите процентную концентрацию того же вещества в новом растворе.
Задача 3. (2018) Имеется два сплава. Первый содержит 25 % никеля, второй — 30 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 28 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение. Пусть масса первого сплава x кг, второго (150 – x) кг, третьего — 150 кг. Найдём массу никеля в каждом из трёх сплавов. Никеля было
в первом сплаве 0,25x кг,
во втором — 0,3(150 – x) кг,
в третьем — 0,28 *150 = 42 (кг).
Составим уравнение:
0,25x + 0,3(150 – x) = 42.
Решив уравнение, получим его единственный корень x = 60. Теперь ответим на вопрос задачи. Масса первого сплава 60 кг, масса второго сплава 90 кг, первая меньше второй на 30 кг.
Ответ. На 30 кг.
Задача 4. (2019) Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 14 % меди. Масса второго сплава больше массы первого сплава на 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % меди. Найдите массу третьего сплава.
Решение. Пусть масса первого сплава x кг, второго (x + 7) кг, третьего — (2x + 7) кг. Меди было в первом сплаве 0,05x кг, во втором — 0,14(x + 7) кг, в третьем — 0,1(2x + 7) кг. Составим уравнение:
0,05x + 0,14(x + 7) = 0,1(2x + 7).
Решив уравнение, получим его единственный корень x = 28. При x = 28 масса третьего сплава 2x + 7 равна 63 кг.
Ответ. 63 кг.
Задача 5. (2017) Смешав 70 %-й и 60 %-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 %-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 %-го раствора той же кислоты, то получили бы 70 %-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 %-го раствора кислоты использовали для получения смеси?
Решение. Пусть масса первого раствора x кг, второго y кг. Приравняв массы кислоты до смешивания и после смешивания, составим два уравнения:
0,7x + 0,6y = 0,5(x + y + 2),
0,7x + 0,6y + 0,9*2 = 0,7(x + y + 2).
Решив систему этих двух уравнений, получим её единственное решение:
x = 3, y = 4. Использовали 3 кг 70 %-го раствора кислоты.
Ответ. 3 кг.
Задача 6. (2017) Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 50 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 28 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Для второго смешивания возьмём 1 кг первого раствора и 1 кг второго, получим 2 кг смеси. Составим первое уравнение:
Решив систему уравнений (1) и (2), получим её единственное решение: x = 12, y = 60. В первом сосуде содержится x * 100 / 100 = 12 (кг) кислоты. Ответ. 12 кг.
Для самостоятельного решения
7. Имеется 400 г морской воды, содержащей 4 % соли. Сколько граммов чистой воды нужно добавить в эту морскую воду, чтобы новый раствор содержал 2 % соли?
8. (2016) В сосуд, содержащий 10 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Определите процентную концентрацию того же вещества в новом растворе.
9. (2009) В бидон налили 4 литра молока трёхпроцентной жирности и 6 литров молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?
10. (2017) Имеется два сплава. Первый содержит 5 % никеля, второй — 20 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 15 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
11. (2017) Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 11 % меди. Масса второго сплава больше массы первого сплава на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % меди. Найдите массу третьего сплава.
12. В первом сплаве отношение массы олова к массе свинца 2 : 3, во втором 1 : 5. В каком отношении надо взять массы этих сплавов, чтобы получить третий сплав с отношением массы олова к массе свинца 1 : 2?
13. В первом сплаве отношение массы олова к массе свинца 2 : 3, во втором 1 : 5. В каком отношении надо взять массы этих сплавов, чтобы получить третий сплав с отношением массы олова к массе свинца 1 : 2?
Ответы. 7. 400 г. 8. 16 %. 9. 4,8 %. 10. На 75 кг. 11. 6 кг. 12. 5 : 2. 13. 5 : 2.
Для работы с задачами в классе можно использовать вариант заметки в виде презентации: Сплавы и смеси. Задачи 11 из ЕГЭ.
Источник