В двух сосудах содержится раствор борной кислоты

Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчёты.

Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m. Тогда:

–  концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина c = m/M;

–  процентным содержанием данного вещества называется величина с× 100%;

Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.

Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:

1.  Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2 или c(m1+m2), тогда получаем уравнение: c1m1+c2m2 = c(m1+m2).

2.  Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.

При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.

Задача №1.

Из сосуда ёмкостью 54 литра, наполненного кислотой, вылили несколько литров и доли сосуд водой. Потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 литра чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение.

Пусть x литров кислоты вылили в первый раз. Тогда в сосуде осталось (54-x) литров. Долив сосуд водой, получим 54 литра смеси, в которой растворилось (54 – х) литров кислоты. Значит, в одном литре смеси содержится литров кислоты. Всего за два раза вылили= 30 литров кислоты. В результате получили уравнение: x + x× = 30.

 Решив это уравнение, найдём два корня: х=90 и х=18. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: в первый раз было вылито 18 литров кислоты.

При решении задач на смеси считается, что рассматриваемые смеси однородны: не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости. Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве).

Задача №2.

В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?

Решение.

1 способ

Пусть х г – масса 50%-й кислоты, y г – масса 70%-й кислоты, 0,5х г – масса чистой кислоты в первом растворе, (x+y)г – масса смеси, 0,65(x+y)г  – масса чистой кислоты в смеси. Составим уравнение:

0,5x+0,7y=0,65(x+y)

Получаем соотношение 1:3.

Ответ: растворы необходимо смешать в отношении 1:3.

Уравнение к подобным задачам легко составить, если заполнить табличную модель условия задачи:

Существует и другой способ решения этой задачи. Он называется арифметическим (или старинным) способом.

2 способ

Обоснуем старинный способ решения задач «на смеси».

Пусть требуется смешать растворы а%-й и b%-й кислот, чтобы получить

с%-й раствор.

Пусть х г – масса а%-го раствора, y г – масса b%-го раствора, г – масса чистой кислоты в первом растворе, а  г – масса чистой кислоты во втором растворе, г – масса чистой кислоты в смеси, тогда можно составить равенство: + = ,при упрощении, которого станет ясно, что x:y=(b-c):(c-a).

С помощью составления таблиц можно решить следующие задачи:

Задача № 3.

При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы.

Решение.

Составим уравнение по массе вещества:

0,2x + 0,5y = 0,3(x+y).

Решив уравнение получим .

Ответ: первый и второй растворы были взяты в отношении 1 : 2.

Задача № 4.

Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35% золота, а во втором – 60%. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?

Решение.

Составим уравнение по массе вещества:

0,35x + 0,6y = 0,4(x+y).

Решив уравнение получим .

Ответ: первый и второй сплавы были взяты в отношении 4 : 1.

Задача № 5.

При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого 48%, получился раствор с концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение.

Составим уравнение по массе вещества:

0,4x + 0,48y = 0,42(x + y)

Решив уравнение получим .

Ответ: первый и второй растворы были взяты в отношении 3 : 1.

Задача № 6.

Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, а во втором – 40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 50% меди?

Решение.

Составим уравнение по массе вещества:

0,7x + 0,4y = 0,5(x + y).

Решив уравнение получим .

Ответ: первый и второй сплавы были взяты в отношении 1 : 2.

С помощью составления таблиц легче решаются и задачи другого типа:

Задача № 7.

В ёмкость, содержащую 100 граммов 2% раствора соли, добавили 175 граммов воды, некоторое количество соли и тщательно перемешали полученную смесь. Определите, сколько граммов солибыло добавлено, если известно, что после перемешивания получился раствор, содержащий 2,5% соли.

Решение.

Составим уравнение по массе вещества:

2 + х = 0,025(x + 275),

х = 5.

Ответ: 5 грамм.

Задача №8.

Для приготовления коктейля используют молоко, жирностью 2%, и мороженое, жирность которого 10%. Сколько грамм мороженого нужно взять, чтобы получить 500 грамм коктейля жирность которого 4%?

Решение.

Составим уравнение по массе вещества:

0,02×(500 – х) + 0,1х = 20,

х = 125.

Ответ: 125 грамм.

Задача №9.

Имеются два сплава, состоящие из олова и железа. В первом сплаве содержится 55% железа и 45% олова, а во втором – 80% железа и 20% олова. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы переплавив их, получить новый сплав, в котором масса железа больше массы олова ровно в три раза?

Решение.

Составим уравнение по массе вещества:

0,55х + 0,8у = 3(0,45х + 0,2у),

Откуда получаем .

Ответ: первый и второй сплавы надо взять в отношении 1 : 4.

Задача №10.

Сплав золота и серебра, содержащий 80% золота, сплавили с некоторым количеством серебра, в результате чего было получено 20 кг нового сплава, содержащего 70% серебра. Определите, сколько килограммов серебра было добавлено?

Решение.

Составим уравнение по массе вещества:

0,2(20 – x) + х = 14,

х = 12,5.

Ответ: 12,5 кг.

Задача №11.

Определите, сколько нужно взять литров пресной воды, не содержащей солей, чтобы, смешав эту воду с некоторым количеством морской воды, содержащей 3% солей, получить в результате 60 литров воды, содержащей 1% солей?

Решение.

Составим уравнение по массе вещества:

0,03(60 – x) = 0,6,

х = 40.

Ответ: 40 литров.

Задача №12.

В химической лаборатории в двух сосудах содержится раствор борной кислоты различной концентрации. В первом сосуде содержится 3 литра раствора, а во втором – 5 литров. Если растворы, находящиеся в этих сосудах, смешать, то получится 44% раствор кислоты. А если смешать равные объёмы этих растворов, то получится 40% раствор. Какова концентрация раствора в первом сосуде?

Решение.

Из таблицы получаем первое уравнение: 3х + 5у = 3,52.

Из второй таблицы получаем второе уравнение: х + у = 0,8.

Имеем систему уравнений:

3х + 5у = 3,52,

х + у = 0,8.

Решив систему, получим х = 0,24 = 24%.

Ответ: концентрация раствора в первом сосуде 24%.

Задача №13.

В двух бочках содержится сахарный сироп различной концентрации. В первой бочке содержится 150 кг сиропа, а во второй – 250 кг. Если весь сироп перемешать, то получится сироп, в котором 30% сахара. А если смешать равные массы сиропа из каждой бочки, то полученный сироп будет содержать 28% сахара. Какова масса сахара, содержащегося во второй бочке?

Решение.

Из таблицы получаем первое уравнение: х + у = 120.

Смешаем равные массы сиропа, а именно, возьмём по 1 кг сиропа из каждой бочки. Составим вторую таблицу:

Получаем второе уравнение:

+ = 0,56.

Решим систему уравнений: х + у = 120,

+ = 0,56; из которой получим у = 90.

Ответ: 90 кг сиропа во второй бочке.

Задача №14.

Имеется два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого  сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.

Решение.

Пусть х кг – количество олова в новом сплаве. Так как новый сплав весит 400 кг и в нём находится 30 %= 0,3 цинка, то он содержит 400×0,3=120 кг, а во втором сплаве (120-y) кг цинка. По условию задачи процентное содержание цинка в двух сплавах равно, следовательно, можно составить уравнение:

.

Из этого уравнения находим, что у=45. Поскольку первый сплав содержит 40% олова, то в 150 кг первого сплава олова будет  150*40/100=60 кг, а во втором сплаве олова будет (х-60) кг. Поскольку второй сплав содержит 26% меди, то во втором сплаве меди будет 250*26/100=65 кг. Во втором сплаве олова содержится (х-60) кг, цинка 120-45=75 (кг), меди 65 кг и, так как весь сплав весит 250 кг, то имеем:

х-60+75+65=250, откуда х=170 кг

Ответ: 170 кг.

Задача №15.

В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%. Определите, какое количество железа осталось ещё в руде?

Решение.

Сначала составим таблицу, которая помогает зрительно воспринимать данные задачи:

Пусть х кг – масса железа в руде. Так как масса всей руды равна 500 кг, то концентрация железа в ней равна .

Так как масса железа в 200 кг примесей равна 0,125×200=25 (кг), то его масса в руде после удаления примесей равна (х-25) кг. Из того, что масса оставшейся руды равна 500-200=300 кг следует, что концентрация железа в ней равна .

По условию, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=0,2. Составим уравнение:

– 0,2=,

5(x-25)-300=3x,

x=212,5.

Найдём, что х=212,5 кг – масса железа в руде.

Найдём остаток железа в руде после удаления примесей:

212,5-25=187,5 (кг)

Ответ: 187,5 кг.

Задачи «на смеси и сплавы» решаются множеством способов, но в них всегда присутствует концентрация (доля содержания одного вещества в другом), и они всегда решаются путём составления уравнений.