В геометрически закрытом сосуде в воде плавает кусок льда

Задачи, тесты

Окончание. См. № 5,
8/2010

18. Прямоугольная коробочка из жести массой m = 76 г с дном площадью S = 38 см2 и высотой H = 6 см плавает в воде. Определите высоту h надводной части коробочки.

Решение. Коробочка плавает, если действующая на неё сила тяжести равна по модулю действующей на неё силе Архимеда: mg = FА, причём FА = Vпчgρв, где – объём погружённой части коробочки. Подставляя числовые данные, получаем

Отсюда глубина погружения коробочки равна

Значит h = H – x = 4 см.

19. Льдина плавает на поверхности пресной воды. Какую часть составляет объём подводной части от объёма всей льдины? Если задача не решается в общем виде, то, для упрощения, примите объём льдины равным 100 м3. Плотность льда 900 кг/м3.

Решение. Раз льдина плавает, то её сила тяжести равна по модулю силе Архимеда: mg = FА, т. е.:

20. На поверхности широкого озера лёд имеет толщину 2 м. Какой минимальной длины надо взять верёвку, чтобы зачерпнуть кружкой воды из проруби?

Решение. Так как озеро широкое, то лёд на его поверхности может только плавать, а не держаться за берега за счёт примерзания к ним. Согласно решению задачи № 19, в проруби под поверхностью воды окажется 0,9 толщи льда, т. е. 0,9 · 2 м = 1,8 м, а над поверхностью воды 0,2 м = 20 см. Для зачерпывания воды с такой глубины верёвка не нужна.

21. В стакане с пресной водой плавает кусок льда. Изменится ли уровень воды, когда лёд растает? Рассмотрите дополнительно случаи: когда в лёд вмёрзла дробинка; когда в лёд вмёрз пузырёк воздуха.

Решение. Лёд плавает, если его вес равен весу жидкости в объёме погружённой части. Образовавшаяся изо льда пресная вода имеет тот же вес, что и лёд, и, следовательно, точно заполнит объём, который вытеснял плавающий лёд. Значит, уровень воды не изменится.

Если во льду была дробинка, лёд вытеснял больше воды, чтобы поддерживать на плаву дробинку. Когда лёд растаял, дробинка утонула (её вес больше веса вытесненной ею воды), уровень воды понизился.

В случае вмёрзшего пузырька уровень воды после таяния льдины практически не изменится. Хотя, если подсчитать точно, уровень воды несколько понизится, т. к. масса воздуха в пузырьке хоть и мала, но не равна нулю.

22. В прямоугольный сосуд с водой пустили плавать модель судна массой m = 4 кг. На сколько при этом повысился уровень воды, если площадь дна сосуда S = 2000 см2?

Решение. Вес сосуда при опускании в него модели увеличится на вес модели mg. Это увеличение веса можно интерпретировать как следствие подъёма уровня воды на ∆h и, следовательно, увеличения силы давления воды ∆Fд = ρвg∆hS. Отсюда:

23. Кусок парафина массой m = 200 г плавает на границе раздела воды и бензина. Определите объём V1 надводной части бруска. Плотность парафина 900 кг/м3, бензина 700 кг/м3.

Решение. Если парафин плавает, то сила тяжести равна сумме сил Архимеда в обеих жидкостях: mg = Vвρвg + V1ρб g, где Vв – объём, погружённый в воду, V1 – искомый надводный объём (в бензине). Общий объём парафина

Решая совместно оба уравнения, получаем:

24. Кусок льда, внутрь которого вморожен шарик из свинца, плавает в цилиндрическом сосуде с водой. Площадь дна сосуда S. Какова масса шарика, если после полного таяния льда уровень воды в сосуде понизился на H? Плотность свинца ρ1, плотность воды ρ2.

Решение. На плавающую льдину со свинцовым шариком действует бóльшая сила Архимеда, чем на такую же льдину без шарика, т. к. она тяжелее на силу тяжести шарика mg. Следовательно, объём вытесняемой в первом случае воды больше, чем во втором, на Но когда льдина растает, шарик упадёт на дно и займёт объём V1 = m/ρ1. Общее уменьшение объёма воды в конечном счёте ∆V = ∆Vп – V1. Так как ∆V = SH (по условию), то приходим к уравнению:

25. Корона царя Гиерона в воздухе весит P1 = 20 Н, а в воде P2 = 18,75 Н. Вычислите плотность вещества короны. Была ли она из чистого золота? Дополнение: найдите, сколько золота и сколько серебра было в короне. Плотность золота округлённо принять 20 000 кг/м3, а серебра 10 000 кг/м3.

Решение. Для оценки добросовестности мастера найдём плотность короны по формуле полученной при решении задачи 9 (см. № 5/2010):

– корона не из чистого золота.

Чтобы найти состав короны, используем два факта: 1) общая масса короны m = mз + mс; 2) общий объём короны V = Vз + Vс (индексы «з» и «с» относятся к золоту и серебру соответственно). Заменяя объёмы их выражениями через массы и плотности, получаем систему из двух уравнений:

Решение

Опуская громоздкие промежуточные вычисления, запишем ответ:

26. Какую силу надо приложить к пробковому телу массой 400 кг, чтобы удерживать его, когда оно целиком погружено в воду? ρп = 200 кг/м3; g = 10 м/с2.

Решение. Сила тяжести тела mg = 4000 Н направлена вниз, сила Архимеда направлена вверх и равна

Чтобы удержать тело в воде, надо приложить направленную вниз силу F = FА – mg = 16 кН.

27. Чугунная плита толщиной 0,5 м, длиной 10 м и шириной 4 м лежит на глинистом дне, выдавив из-под себя воду. Глубина водоёма 2,5 м. Какую силу необходимо приложить, чтобы начать подъём плиты?

Решение. Объём плиты V = 0,5 м · 10 м · 4 м = 20 м3.

Её масса m = Vρч = 20 м3 · 7000 кг/м3 = 140 000 кг.

Сила тяжести mg = 1 400 000 Н.

Поскольку под плитой нет воды, сила Архимеда на неё не действует. Вниз на плиту, кроме силы тяжести, действуют сила давления воды на глубине 2,5 – 0,5 = 2 (м) и сила давления атмосферы, которую передаёт вода по закону Паскаля. При нормальном атмосферном давлении общее давление на плиту:

p = pв + pа =  1,2 · 105 Па.

Горизонтальная площадь поверхности плиты
S = 40 м2. Сила давления на плиту F = pS = 4,8 · 106 Н.

Полная сила, прижимающая плиту к грунту:

F = mg + Fа = 1,4 · 106 Н + 4,8 · 106 Н = 6,2 ·106 Н.

Для отрыва от грунта нужна сила F > 6,2 МН.