В герметически закрытом сосуде с водой плавает

Лицейская олимпиада (2003-2004
учебный год)
Городская олимпиада (2003-2004
учебный год)

Символом “*” отмечены задачи, не вошедшие в окончательный
вариант заданий

8 класс

1. В закрытом сосуде находится жидкость плотности ρ.
В небольшое отверстие сечением S0 вставили поршень, на
который действует сила F (трения нет). Каково давление в точках А
и В, если атмосферное давление Р0 и h1
и h2 известны?

Решение:

Давление в
сосуде складывается из двух компонент: гидростатического давления, вызываемого
силой тяжести, и фонового давления, создаваемого атмосферным давлением и силой F
и не зависящего от глубины. Гидростатическое давление в точке А равно
нулю, значит фоновое давление равно давлению РА в точке А.

Из условия
равновесия поршня:

Тогда

Ответ:

2. В герметически
закрытом сосуде в воде плавает кусок льда массой М=0,1 кг, в который
вмерзла дробинка массой m=5 г. Какое количество тепла нужно затратить,
чтобы льдинка начала тонуть? Плотность свинца 11300 кг/м3, плотность
воды 1000 кг/м3, плотность льда 900 кг/м3, теплота плавления
льда 3,3·105 Дж/кг. Температура воды в сосуде первоначально равна
0°С.

Решение:

Льдинка
начнет тонуть, когда ее средняя плотность будет равна плотности воды.

, ρ1 — плотность воды, М1
— масса не растаявшего льда, V — объем этого льда и дробинки,

, ρ2 — плотность льда, ρ3
— плотность свинца.

,

,

19,5·103 Дж.

Ответ: 19,5·103
Дж.

3. Пуля попадает в
стопку досок, толщина которых уменьшается так, что время пролета каждой
следующей доски в 2 раза меньше, чем предыдущей, а скорость пули при пролете
одной любой доски уменьшается в  раз. Какой
вид будет иметь график зависимости температуры пули от времени ее полета, если
известно, что она не расплавилась?

Решение:

,   N1, N2
— мощности пошедшие на нагрев пули при пролете двух рядом стоящих досок,

, ,  — время пролета этих досок,

ΔE1,
ΔE2 — соответствующие изменения кинетической энергии
пули.

.

.

,

,

,

т.е.
мощность, идущая на нагрев, постоянна ().

,

.

Видим, что
зависимость линейная, т.е. график — прямая.

Ответ: прямая.

4. Из блоков и рычага собрана система, как показано на
рисунке. Масса груза m=2 кг, плечи рычага l1=20 см., l2=50
см. Система находится в равновесии. Определить величину силы F. Нити
невесомы и нерастяжимы, трения в осях блоков нет.

Решение:

,

,

,

2 Н.

Ответ: 2
Н.

5. В вертикально
расположенный цилиндрический сосуд, площадь дна которого S, налита
жидкость с плотностью ρ. На сколько изменится уровень жидкости в
сосуде, если в него опустить тело массой m произвольной формы, имеющее
внутренние неоднородности и пустоты и не тонущее?

Решение:

Т.к. тело
плавает то:

, V — объем вытесненной воды,

,

.

Ответ:

*6.[1] Имеются два теплоизолированных сосуда. В первом из них
находится 5 л. воды при температуре t1=60°С, во втором — 1 л.
воды при температуре t2=20°С. Вначале часть воды перелили из
первого сосуда во второй. Затем, когда во втором сосуде установилось тепловое
равновесие, из него в первый сосуд отлили столько воды, чтобы ее объемы в
сосудах стали равны первоначальным. После этих операций температура воды в
первом сосуде стала равна =59°С.
Сколько воды переливали из первого сосуда во второй и обратно?

Решение:

После всех переливаний вода из первого сосуда
отдала количество теплоты .

,  —
температура во втором сосуде после переливаний,

.

Уравнение теплового баланса для первого
переливания:

,

0,143 кг.

Ответ: 0,143 кг.

9 класс

1.
Состав, состоящий из локомотива и 100 вагонов, движется со скоростью 72 км/ч. В
некоторый момент времени от него начинают отцеплять вагоны с интервалом в
полминуты, Каждый из отцепленных вагонов двигается равнозамедленно с а=0,1
м/с2. Каким станет расстояние между первым отцепленным вагоном и
локомотивом к моменту остановки последнего отцепленного вагона, если локомотив
движется с постоянной скоростью?

Решение:

, S — искомое расстояние,

S1 — расстояние, пройденное
локомотивом с момента отцепления первого вагона до момента остановки
последнего,

S2 — тормозной путь первого
отцепленного вагона.

, t1 — время, прошедшее с момента
отцепления первого вагона до момента отцепления последнего,

t2 — время торможения
последнего отцепленного вагона.

.

61400 км.

Ответ: 61400 км.

2.
На рисунке показан график зависимости v(t) имеющий вид
полуокружности. Найти среднюю скорость на всем пути.

Решение:

.

Пройденный путь l численно равен
площади под графиком v(t).

.

Из соображений размерности представим  как .

3,93 м/с.

Ответ: 3,93 м/с.

3.
(см. №1 из 8 класса).

4.
Две льдины движутся с одинаковыми по модулю скоростями, одна на север, другая
на запад. Оказалось, что в любой момент времени на обеих льдинах можно так
расположить часы, что скорости концов секундных стрелок относительно Земли
будут одинаковы, причем для каждого момента времени может быть лишь одно такое
расположение. Найти, на какое расстояние перемещаются льдины за сутки, если
длина каждой секундной стрелки — 1 см. Циферблат часов расположен
горизонтально.

Решение:

ГМТ концов вектора скорости конца секундной стрелки
относительно льдины  — окружность. Т.к. скорость
конца стрелки относительно Земли , где  — скорость льдины, то точки пересечения окружностей
(см. рисунок) являются концами возможных векторов , но
т.к. по условию такой вектор только один, то окружности касаются, значит

,

128 м.

Ответ: 128 м.

5.
Электрическая цепь, состоящая из резисторов R1, R2
и R3, подключена к двум источникам постоянного напряжения U1
и U2. При каком отношении U1/U2
сила тока через резистор R1 будет равна нулю?

Решение:

Т.к. ток через R1 равен
нулю, то напряжение U3 на резисторе R3
равно U1.

,

,

.

Ответ:

10 класс

1.
(см. №5 из 9 класса)

2.
В спутнике объемом V=1000 м3, наполненном воздухом,
находящимся при нормальных условиях, метеорит пробивает отверстие, площадь которого
S=1см2. Оценить время, через которое давление внутри спутника
изменится на 1%. Температуру газа считать постоянной.

Решение:

, N — число вылетевших молекул за время t,

n
— концентрация молекул воздуха,

 — средняя скорость молекул в направлении,
перпендикулярном плоскости отверстия.

,

.

Давление пропорционально концентрации, значит
изменение давления пропорционально изменению концентрации.

.

,

,

, i — количество степеней свободы.

Т.к. на поступательное движение приходится
3 степени свободы, то

,

714 с.

Ответ: 714 с.

3.
(см. №4 из 9 класса)

4.
На нагреватель поставили открытый сосуд с водой. Через 40 минут после начала
кипения в сосуд добавили воду, масса которой равна массе выкипевшей за это
время воды. При неизменных условиях нагревания вода в сосуде снова закипела
спустя 3 минуты. Какова была первоначальная температура добавленной воды?
Атмосферное давление нормальное. Удельная теплота парообразования воды 2,3·106Дж/кг,
удельная теплоемкость воды 4,2·103Дж/кг·К.

Решение:

Пусть N — мощность идущая на нагрев
воды.

,  —
мощность, получаемая от нагревателя,

 — мощность, отдаваемая в окружающую среду.

Так как условия нагревания неизменны, то и
мощности , и  постоянны,
тогда и N — постоянна.

, m — масса выкипевшей воды,

, t — температура кипения воды,

t0 — начальная температура
добавленной воды.

,

.

Ответ:.

5.
На теннисный мяч с высоты 1 м падает кирпич и подскакивает почти на 1 м. На
какую высоту подскакивает мяч?

Решение:

, v — скорость кирпича в момент отрыва от мяча,

М
— масса кирпича,

.

Скорость центра масс мяча — .

, m — масса мяча,

0,25 м.

Ответ: 0,25 м.

*6.
Найти поверхностное натяжение жидкости, если петля из резиновой нити длины l
и жесткости k , положенная на пленку этой жидкости, растянулась по
окружности радиуса R, после того, как пленка была проколота внутри
петли.

Решение:

.

.

.

.

Пренебрегая, изменением длины петли имеем:

.

Ответ: .

*7.
Коэффициент жесткости резинового жгута, длина которого l и масса m,
равен k. Кольцо, изготовленное из этого жгута, вращается с угловой
скоростью ω в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси,
проходящей через центр кольца. Определить радиус вращающегося кольца.

Решение:

Разобьем жгут на n равных частей. В
неподвижной системе отсчета на каждую из этих частей действуют две силы
упругости со стороны остального жгута, сумма нормальных компонент которых
является центростремительной силой F.

Sin.

В виду малости угла α, Sin.

.

,

,

,

.

Ответ: .

11 класс

1.
Дана схема, изображенная на рисунке. Сопротивления R1R2
и R известны. Известна также ЭДС источника тока ε и его
внутреннее сопротивление r. Найдите силу тока в общей части цепи.

Решение:

Т.к. оба сопротивления нижней ветви вдвое больше
соответствующих сопротивлений верхней ветви, то ток в каждом сопротивлении
нижней ветви будет вдвое меньше тока в каждом сопротивлении верхней ветви.

,

.

,

.

Видим, что потенциалы точек a и b
равны, значит, ток через сопротивление R не идет и его можно исключить
из схемы.

,  — общее
сопротивление цепи.

,

.

Ответ:

2.
(см. №5 из 10 класса)

3.
Громкоговоритель имеет диффузор с лобовой площадью S=300 см2
и массой m=5г. Резонансная частота диффузора ν0=50
Гц. Какой станет резонансная частота, если поместить громкоговоритель на стенке
закрытого ящика объема V0=40л., как показано на рисунке?
Температура воздуха внутри ящика не изменяется при колебании диффузора.

Решение:

, F — сила действующая на диффузор со стороны
атмосферы,

P0 — атмосферное давление,

Р
— давление в ящике при смещении диффузора на х.

Т.к. t=const, то

,

,

.

В виду малости амплитуды колебаний .

.

 — коэффициент квазиупругой силы.

Мембрана диффузора и воздух в ящике подобны
двум параллельным пружинам, тогда

,

,

.

53,6 Гц.

Ответ: 53,6 Гц.

4.
В камеру сгорания реактивного двигателя поступает в секунду масса m
водорода и необходимое для его полного сгорания количество кислорода. Площадь
сечения выходного отверстия сопла двигателя S, Давление в этом сечении P,
абсолютная температура T. Найти силу тяги.

Решение:

Из каждого моля водорода в процессе сгорания
образуется один моль водяных паров.

, m1 — масса водяных паров,
образовавшихся за время  ([m]=кг/с),

 — молярная масса водорода,

 — молярная масса воды.

, V — объем истекших за время  водяных паров,

v
— скорость истечения водяных паров.

,

,

.

Т.к. начальная скорость продуктов сгорания
относительно центра масс равна нулю, то из второго закона Ньютона:

,

.

Ответ: .

5.
Герметически закрытый бак заполнен жидкостью так, что на дне его имеется
пузырек воздуха. Давление на дне бака P0. Каким оно станет,
если пузырек воздуха всплывет? Высота бака H, плотность жидкости ρ.

Решение:

Давление в пузырьке, вследствие несжимаемости
жидкости и постоянства температуры системы, постоянно и равно P0.
Давление в сосуде складывается из двух компонент: гидростатического давления,
вызываемого силой тяжести, и фонового давления, создаваемого неким воздействием
(например, силой упругости стенок сосуда) и не зависящего от глубины.

После всплытия давление на пузырек со стороны
жидкости должно быть равно давлению в пузырьке, т.е. P0. А
т.к. вверху сосуда действует только фоновое давление, то теперь оно будет равно
P0, и давление на дно станет .

Ответ: .

1. Катер, движущийся со скоростью V1=30
км/ч, буксирует спортсмена на водных лыжах. Трос, за который держится
спортсмен, составляет с направлением движения катера угол α=150°.
Направление движения спортсмена образует с тросом угол β=60°. Чему
равна скорость спортсмена V2 в этот момент времени?

Решение:

В силу
нерастяжимости троса, проекции скоростей обоих его концов на ось, направленную
вдоль троса, одинаковы.

,

14,4 м/с.

Ответ: 14,4
м/с.

2. В калориметре
находится лед. Определите теплоемкость калориметра, если для нагревания его
вместе с содержимым от t1=-3°С до t2=-1°С
требуется количество теплоты Q1=2,1 кДж, а от t2=-1°С
до t3=1°С — Q2=69,7 кДж.

Решение:

, С — теплоемкость калориметра,

m — масса льда в
калориметре,

с1=2100 Дж/кг·°С —
теплоемкость льда.

.

, t/=0°C — температура плавления
льда,

λ=3,4·105
Дж/кг — удельная теплоемкость плавления льда

с2=4200 Дж/кг·°С —
теплоемкость воды,

,

,

635 Дж/°С.

Ответ: 635
Дж/°С.

3. Во время ремонта дно
лодки-плоскодонки оклеили слоем пластика толщиной d=3 см. После этого
высота надводной части лодки уменьшилась на h=1,8 см. Определите
плотность ρ пластика.

Решение:

После
наклеивания пластика объем подводной части лодки увеличился на , где S — площадь дна лодки. В силу равновесия лодки,
выталкивающая сила, действующая на этот объем, скомпенсируется силой тяжести,
действующей на слой пластика.

, ρ/ — плотность воды,

,

1600 кг/м3.

Ответ: 1600
кг/м3.

4. Центр сферического
источника света диаметром D=20 см расположен на расстоянии L=2,0
м от экрана. На каком наименьшем расстоянии x от экрана нужно поместить
мячик диаметра d=8,0 см, чтобы он не отбрасывал тени на экран, а давал
только полутень? Прямая, проходящая через центры источника света и мячика,
перпендикулярна плоскости экрана.

Решение:

В силу
подобия треугольников АСО и АВО/:

,

.

Ответ: .

5. Определите сопротивление R между точками A
и B представленной на рисунке цепи. Сопротивления резисторов одинаковы и
равны r.

Решение:

Данную схему
можно представить в виде:

Тогда

.

Ответ: .

6. К коромыслу
равноплечих весов подвешены два сплошных однородных шарика, сделанных из разных
материалов, но имеющих одинаковые массы. Если теперь один из шариков поместить
в жидкость плотностью 103 кг/м3, а другой — в жидкость
плотностью 0,8·103 кг/м3, то равновесие сохранится.
Считая, что плотности шариков больше плотностей жидкостей, найдите отношение
плотностей шариков.

Решение:

Т.к. после
погружения шариков в жидкости равновесие сохранилось, а массы шариков равны, то
выталкивающие силы, действующие на них, равны между собой.

, ,  — плотности жидкостей,

,  — объемы
шариков.

, , m —
масса шариков, ,  —
плотности шариков.

,

0,8.

Ответ: 0,8.

7. Плоское зеркало
движется со скоростью V=1,5 см/с, направленной по нормали к плоскости
зеркала. С какой по модулю и направлению скоростью u должен двигаться
точечный источник, чтобы его отражение в зеркале оставалось неподвижным?

Решение:

Для того
чтобы изображение источника в зеркале оставалось неподвижным, источник должен
оставаться неподвижным относительно зеркала. Т.е. u=V=0,015 м/с.

Ответ: u=0,015 м/с.

8. В момент, когда
пассажир вбежал на платформу, мимо него за время t1 прошел
предпоследний вагон поезда. Последний вагон прошел мимо пассажира за время t2.
На сколько времени пассажир опоздал к отходу поезда? Поезд движется
равноускоренно, длина вагонов одинакова.

Решение:

l — расстояние
пройденное поездом к моменту, когда пассажир вбежал на платформу,

Δl
— длина вагона,

a — ускорение поезда,

t — искомое время,

,

,

.

Ответ: .

9. В свинцовом шаре радиуса R сделана сферическая
полость радиуса R/2, поверхность которой касается шара. Масса сплошного
шара равна M. С какой силой свинцовый шар будет притягивать маленький
шарик массы m, находящийся на расстоянии d от центра свинцового
шара на продолжении прямой, соединяющей центр свинцового шара с центром
полости?

Решение:

, F — искомая сила,

m1 — масса шара с
полостью,

m2 — масса вырезанной
части шара.

.

.

.

.

.

Ответ: .

10. Один конец каната
удерживают на высоте h от земли. В момент времени t=0 канат
отпускают (без толчка). Он начинает свободно падать на землю. Получите
аналитическую зависимость силы F, с которой канат будет давить на землю,
от времени. Масса единицы длины каната равна ρ.

Решение:

, F1 — сила давления со стороны уже
упавшей части каната,

F2 — сила давления со
стороны падающей части каната.

, m — масса упавшей на землю части каната за
время t,

x — путь, пройденный
канатом за время t.

Рассмотрим
малый промежуток времени Δt, в течение которого скорость каната v
будем считать постоянной.

,  —
изменение импульса упавшей за время Δt части каната.

,  — масса
упавшей за время Δt части каната.

.

,

.

.

Ответ: .

11. Тепловая машина с
максимально возможным КПД имеет в качестве нагревателя резервуар с кипящей
водой при температуре t1=100°С, а в качестве холодильника —
сосуд со льдом при t2=0°С. Какая масса льда растает при
совершении машиной работы A=106 Дж? Удельная теплота
плавления льда λ=334кДж/кг.

Решение:

,  —
количество теплоты, полученной от нагревателя,

 — количество теплоты, отданной холодильнику,

.

Т.к.
максимально возможный КПД имеет машина Карно, то

.

.

, m — масса растаявшего льда.

8,2кг.

Ответ: 8,2кг.

12. Электрон влетел в
однородное электростатическое поле с напряженностью 104 В/м со
скоростью 8Мм/с перпендикулярно силовым линиям поля. Найдите величину и
направление его скорости через 2нс.

Решение:

, u — искомая скорость электрона,

v — начальная скорость
электрона,

v/ — компонента искомой
скорости, направленная вдоль силовых линий.

, a — ускорение электрона,

E — напряженность
поля,

t — время полета
электрона,

m — масса электрона,

e — заряд электрона.

8,7·106 м/с.

Ответ: 8,7·106
м/с.

Распределение задач по классам

9 класс — №№ 1, 2, 3, 4, 5.
10 класс — №№ 1, 2, 5, 6, 7.
11 класс — №№ 8, 9, 10, 11, 12.