В кубический сосуд емкостью

Продолжим подготовку к олимпиадам. Сегодня будем решать задачи на тему “плотность”. При смешивании двух веществ сумма их масс дает массу смеси, а вот с объемами все не так очевидно. Если вы в плотно набитое сухим песком ведро попытаетесь налить воды, то в промежутки между песчинками проникнет достаточное ее количество, таким образом, сумма объемов песка и воды  – по-прежнему все то же ведро. О том, что сумма объемов не равна объему смеси, может быть сказано в задаче, или об этом придется догадаться.

Задача 1. Определите плотность сплава, состоящего из золота и   серебра. Плотности металлов известны.

Средняя плотность равна

В данном случае можно считать

Тогда

Ответ: .

Задача 2. Определите плотность сплава, состоящего из  золота и   серебра. Плотности металлов известны.

Средняя плотность равна

Определим массу:

Объем сплава в данном случае равен сумме объемов компонентов.

Ответ: .

Задача 3. Известно, что после того, как из канистры объемом 7 л вылили всю воду, там осталось 1,4 мл воды в виде капель на стенках. Затем канистру плотно закрыли пробкой и поставили на солнце. В результате вся вода внутри канистры испарилась. Определите плотность получившегося газа, если первоначальная плотность воздуха равна 1,3 кг/м.

Пренебрежем объемом капель по сравнению с объемом канистры. Тогда вначале плотность воздуха равна

Где – масса воздуха.

После того, как капли испарились, плотность можно определить как

Где – масса воды.

Разделим  почленно:

Ответ: кг/м.

Задача 4. Однородный кубик со стороной a и плотностью  поместили внутрь куска глины плотностью , которой придали форму куба со стороной . Получившийся куб облепили пластилином плотностью , в результате чего получился куб со стороной  (см. рисунок). Определите среднюю плотность получившейся системы.

Объем получившегося слепка, очевидно, равен .

Определим массу. Масса внутреннего кубика равна

Определим массу глины. Ее объем равен . Тогда

И, наконец, масса пластилина. Объем его будет равен , масса

Тогда плотность всего куска

Ответ: .

Задача 5. В ведро, доверху заполненное сухим песком массой 8 кг, добавили 4 л воды. В результате вода вся впиталась и не выступила на поверхность песка. Определите среднюю плотность получившегося сырого песка. Объем ведра 8 литров.

Вот тот случай, когда при смешивании компонентов .

Плотность будет равна ( – масса песка, – масса воды).

Ответ: 1,5 кг/л, или 1500 кг/м.

Задача 6. Смешали 1 кг воды плотностью 1000 кг/м и 2 кг спирта плотностью 800 кг/м. Известно, что суммарный объем смеси составляет 95% от объема исходных компонент. Определите плотность получившейся смеси.

Тут  прямо в условии нам показано, что .

Плотность будет равна ( – масса воды, – масса спирта).

Ответ: 902,25  кг/м.

Задача 7. В прямоугольном сосуде квадратного сечения (расстояние между стенками сосуда  см) плавает в вертикальном положении тонкостенный стакан квадратного сечения с толстым дном (длина внешней стороны квадрата  см). В пространство между стенками сосуда и стакана тонкой струйкой начинают наливать воду так, что за каждую секунду в сосуд поступает граммов. С какой скоростью  будет всплывать стакан? Плотность воды ρ=1000 кг/м.

Сколько воды поступит в стакан за время ? . Она растекается по стакану слоем толщины . Для удобства можно представлять, что вся эта вода располагается у дна. Определим объем этой воды как . С другой стороны,

Приравняем объемы:

Скорость подъема стакана равна

Ответ: 0,075 см/c.

Задача 8. Однородная деталь из сплава с плотностью 2000 кг/м имеет массу  кг. А её точная копия, но в 3 раза меньших размеров, сделанная из сплава с плотностью 4000 кг/м, оказалась массой  кг. Есть подозрение, что внутри копии существует скрытая полость. Какой у неё объём? Ответ дать в см.

Объем маленькой детали равен , тогда, поскольку большая втрое больше, то ее объем больше в 27 раз  – . Тогда плотность большой детали равна

Следовательно, ее объем равен

Плотность малой детали равна

Где – объем полости.

Тогда

Ответ: 500 см.

Задача 9. Для определения качества древесины были экспериментально определены массы досок различной длины. Их ширина равнялась 20 см, толщина 3 см. Зависимость массы досок m от их длины представлена в таблице. Постройте график этой зависимости и по нему найдите массу доски длиной 1 м и плотность древесины.

Строим график и по нему находим массу доски: 4,2 кг.

Для определения плотности возьмем точку не в начале графика, потому что чем больше значение, тем меньше относительная погрешность.  Например, точку, где кг. Длина равна тогда (по графику) . Тогда

Ответ: 4,2 кг, 714,3 кг/м.

Задача 10. Шарик накачали гелием. Масса газа составляет 20% от массы всего шарика. Через день, когда часть гелия просочилась через стенки, объем шарика уменьшился в 2 раза, а масса гелия стала составлять 10% от массы всего шарика. Определите, во сколько раз изменилась средняя плотность воздушного шарика.

Плотность шарика сначала:

Плотность после того, как он сдулся

Сначала масса складывалась из массы газа и массы оболочки:

Откуда .

После того, как шар сдулся, масса  равна

Откуда .

Тогда, возвращаясь к плотностям, имеем:

Тогда отношение плотностей

Ответ: 1,78

Задача 11. В ящик с жесткими стенками, имеющий форму куба объемом 1 м в кубе и массой 300 кг, насыпали стальные шары диаметром 20 мм плотностью 7800 кг/м. Затем ящик потрясли и добавили в него столько шаров, что больше уже не получается засунуть ни одного шара (то есть получилась максимально плотная упаковка шаров в ящике). Суммарная масса шаров и ящика получилась 6072 кг. Далее в этот ящик с шарами досыпали еще мелких шариков диаметром 1 мм, сделанных из того же материала, и снова утрясли ящик до максимально возможного заполнения, досыпая при необходимости мелкие шарики. Оцените, какой после этого стала суммарная масса ящика с шарами и шариками.

Определяем массу шариков «крупного» размера:

Так как они заняли 1м, то средняя плотность упаковки кг/м.

Поскольку плотность шариков известна, то определим их объем:

Тогда «свободного» пространства остается м.

Если плотность «упаковки» мелких шариков такая же, как и крупных, то их масса равна

Сложим плотности «крупных» и «мелких» шариков:

Ответ: 7270 кг.

Задача 12. Большую коробку доверху заполнили деревянными кубиками, плотно уложив их ровными рядами. Через середины противоположных граней каждого из этих кубиков проделаны по три сквозных квадратных отверстия (схема одного кубика приведена на рисунке). Определите среднюю плотность содержимого коробки, если сторона кубика равна 9 см, а сторона отверстия 3 см. Плотность дерева 800 кг/м3 .

Определим, какую фигуру в итоге вырезали из каждого кубика. Она имеет форму пространственного креста:

Это заключение позволяют сделать размеры кубиков и размер отверстия. Этот «крест» будет состоять из 7 кубиков размером 3 на 3. То есть без отверстий кубик бы состоял из кубиков 3 на 3, а с отверстиями он лишился 7 кубиков, поэтому состоит из 20 кубиков 3 на 3. Определим массу 20 маленьких кубиков (то есть массу кубика с дырками):

А его средняя плотность, а значит, и плотность кубиков в коробке, равна

Ответ: кг/м.