В одном сосуде находятся белых и черных шаров
Следствием теорем сложения и умножения является формула полной вероятности.
Допустим, что предполагается провести опыт, об условиях которого можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) ,, причем .
Вероятность некоторого события A, которое может появиться только вместе с одной из гипотез, вычисляется по формуле
.
Эта формула носит название формулы полной вероятности..
Получить решение
Если же событие A совершилось и необходимо найти вероятность того, что оно произошло совместно с некоторой гипотезой , то необходимо воспользоваться формулой Бейеса
.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 13.2.30. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой 2 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 1 черный шар, в третьей – 3 белых шара. Наугад выбирается одна из урн и из нее вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
Решение. Опыт предполагает 3 гипотезы:
выбор первой урны; ;
выбор второй урны; ;
выбор третьей урны; .
Рассмотрим интересующее нас событие.
A — вынутый шар белый. Данное событие может произойти только с одной из гипотез .
Тогда .
ПРИМЕР 13.2.31. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
Решение. Можно сделать два предположения (гипотезы):
деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) ;
деталь произведена вторым автоматом, причем .
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом , если произведена вторым автоматом .
Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна
.
Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна
.
ПРИМЕР 13.2.32. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку (исход «обе пробоины совпали» отбрасываем, как ничтожно маловероятный).
Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:
ни первый, ни второй стрелки не попадут;
оба стрелка попадут;
первый стрелок попадет, а второй – нет;
первый стрелок не попадет, а второй попадает.
Доопытные (априорные) вероятности гипотез:
,
,
,
.
Условные вероятности осуществленного события A — в мишени одна пробоина, при этих гипотезах равны:
.
После опыта гипотезы и становятся невозможными, а послеопытные (апостериорные) вероятности гипотез и по формуле Бейеса будут
; .
Примеры и задачи для самостоятельного решения
Решить задачи, используя формулу полной вероятности и формулу Бейеса
13.2.5.1. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
Отв.:0,86
13.2.5.2. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, извлекается наудачу один шар и перекладывается в другую урну, которая до этого содержала 2 белых и 7 черных шаров. Цвет перекладываемого шара не фиксируется. Из второй урны наудачу извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар окажется белым?
Отв.:21/80
13.2.5.3. В урну, содержащую шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
Отв.:(n+2)/(2(n+1))
13.2.5.4. В условиях предыдущей задачи из урны был извлечен белый шар. Найти вероятность того, что в урне было белых шаров.
Отв.:2(m+1)/((n+1)(n+2))
13.2.5.5. В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; для винтовки с обычным прицелом эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
Отв.:0,85
13.2.5.6. В условиях предыдущей задачи стрелок попал в мишень. Определить вероятность того, что он стрелял а) из винтовки с оптическим прицелом; б) из винтовки с обычным прицелом.
Отв.:а)57/85; б)28/85
13.2.5.7. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй – 6, из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?
Отв.:18/59;21/59;20/59
13.2.5.8. Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую извлеченную наудачу кость можно приставить к первой.
Отв.:7/18
13.2.5.9. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Отв.:0,5
13.2.5.10. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. Найти вероятность того, что наудачу выбранная машина потребует заправки.
Отв.:
13.2.5.11. В условиях предыдущей задачи к бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
Отв.:3/7
13.2.5.12. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены на отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно, 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент знает все 20 вопросов, хорошо подготовленный – 16 вопросов, посредственно подготовленный – 10 вопросов и двоечник – 5 вопросов. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен а) отлично; б) плохо.
Отв.:а)114/197; б)1/591
13.2.5.13. При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С-1 с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-11 срабатывает с вероятностью 1. Вероятности того, что автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-11 соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разделке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-11?
Отв.:P(С-1)= 6/11, Р(С-11)= 5/11
13.2.5.14. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.
Отв.:0,4
13.2.5.15. Имеется урн, в каждой из которых белых и черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывается наудачу один шар, затем из второй в третью и так далее. Затем из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.
Отв.:a/(a+b)
13.2.5.16. По объекту производится три одиночных независимых выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4; при втором – 0,5; при третьем – 0,7. Для вывода объекта из строя заведомо достаточно трех попаданий, при двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6; при одном – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов объект будет выведен из строя.
Отв.:0,458
13.2.5.17. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
Отв.:4/29
13.2.5.18. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6; 0,5 и 0,4.
Отв.:10/19
13.2.5.19. Ребенок, не умеющий читать, рассыпал разрезанное на буквы слово “каракатица”. Какова вероятность того, что, потеряв одну из гласных букв, неизвестно какую именно, и взяв затем, друг за другом 5 букв он составит слово “карат”?
Отв.:1/1050
13.2.5.20. В урне 3 белых и 2 черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не вкладывая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.
Отв.:0,7
13.2.5.21. Для передачи сообщения путем подачи сигналов ”точка” и ”тире” используется телеграфная система. Статистические свойства помех таковы, что искажается в среднем 2/5 сообщений ”точка” и 1/5 сообщений ”тире”. Известно, что среди передаваемых сигналов ”точка” и ”тире” встречаются в отношении 5:3. Определить вероятности того, что при приеме сигналов ”точка” и ”тире” в действительности были переданы эти сигналы.
Отв.:5/6;6/11
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >
Источник
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
Общая постановка задачи примерно* следующая:
В урне находится $K$ белых и $N-K$ чёрных шаров (всего $N$ шаров). Из нее наудачу и без возвращения вынимают $n$ шаров. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ белых и $n-k$ чёрных шаров.
По классическому определению вероятности, искомая вероятность находится по формуле гипергеометрической вероятности (см. пояснения тут):
$$
P=frac{C_K^k cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}. qquad (1)
$$
*Поясню, что значит “примерно”: шары могут выниматься не из урны, а из корзины, или быть не черными и белыми, а красными и зелеными, большими и маленькими и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно “белыми шарами”, второй – “черными шарами” и смело используете формулу для решения (поправив в нужных местах текст конечно:)).
Видеоурок и шаблон Excel
Посмотрите наш ролик о решении задач про шары в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.
Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.
Примеры решений задач о выборе шаров
Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.
Подставляем в формулу (1) значения: $K=10$, $N-K=8$, итого $N=10+8=18$, выбираем $n=5$ шаров, из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=5-2=3$ черных. Получаем:
$$
P=frac{C_{10}^2 cdot C_{8}^{3}}{C_{18}^5} = frac{45 cdot 56}{8568} = frac{5}{17} = 0.294.
$$
Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?
Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.
Подставляем в формулу (1) значения: $K=5$ (белых шаров), $N-K=5$ (красных шаров), итого $N=5+5=10$ (всего шаров в урне), выбираем $n=2$ шара, из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=2-2=0$ красных. Получаем:
$$
P=frac{C_{5}^2 cdot C_{5}^{0}}{C_{10}^2} = frac{10 cdot 1}{45} = frac{2}{9} = 0.222.
$$
Пример 3. В корзине лежат 4 белых и 2 черных шара. Из корзины достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?
Здесь задача немного усложняется, и решим мы ее по шагам. Введем искомое событие
$A = $ (Выбранные шары одного цвета) = (Выбрано или 2 белых, или 2 черных шара).
Представим это событие как сумму двух несовместных событий: $A=A_1+A_2$, где
$A_1 = $ (Выбраны 2 белых шара),
$A_2 = $ (Выбраны 2 черных шара).
Выпишем значения параметров: $K=4$ (белых шаров), $N-K=2$ (черных шаров), итого $N=4+2=6$ (всего шаров в корзине).
Выбираем $n=2$ шара.
Для события $A_1$ из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=2-2=0$ черных. Получаем:
$$
P(A_1)=frac{C_{4}^2 cdot C_{2}^{0}}{C_{6}^2} = frac{6 cdot 1}{15} = frac{2}{5} = 0.4.
$$
Для события $A_2$ из выбранных шаров должно оказаться $k=0$ белых и $n-k=2$ черных. Получаем:
$$
P(A_2)=frac{C_{4}^0 cdot C_{2}^{2}}{C_{6}^2} = frac{1 cdot 1}{15} = frac{1}{15}.
$$
Тогда вероятность искомого события (вынутые шары одного цвета) есть сумма вероятностей этих событий:
$$
P(A)=P(A_1)+P(A_2)=frac{2}{5} + frac{1}{15} =frac{7}{15} = 0.467.
$$
Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям
Полезные ссылки
- Онлайн-учебник по теории вероятностей
- Примеры решений задач по теории вероятностей
- Решить теорию вероятности на заказ
Поищите готовые задачи в решебнике:
Источник