В первом сосуде находится гелий при давлении 15

11. МКТ и Термодинамика (объяснение явлений)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

На рисунке показана зависимость давления газа (p) от его плотности (rho) в циклическом процессе, совершаемом 2 моль идеального газа в идеальном тепловом двигателе. Цикл состоит из двух отрезков прямых и четверти окружности.

На основании анализа этого циклического процесса выберите два верных утверждения.

1) В процессе 1−2 температура газа уменьшается.

2) В состоянии 3 температура газа максимальна.

3) В процессе 2−3 объём газа уменьшается.

4) Отношение максимальной температуры к минимальной температуре в цикле равно 8.

5) Работа газа в процессе 3−1 положительна.

“Демоверсия 2017”

1) По уравнению Клапейрона – Менделеева: [p=dfrac{rho}{mu}RT,] где (T) – температура, (mu) – молярная масса газа.

Давление уменьшилось в 4 раза, а плотность увеличилась в 2 раза, следовательно, температура уменьшилась в 8 раз.

Утверждение 1 – (color{green}{small text{Верно}})

2) Аналогично предыдущему пункту [p=dfrac{rho}{mu}RT] Максимальная температура будет в состоянии 1 (давление максимально, плотность минимальна)

Утверждение 2 – (color{red}{small text{Неверно}})

3) В процессе 2 – 3 плотность меньшается, а по формуле: [rho =dfrac{m}{V}] Объем увеличивается

Утверждение 3 – (color{red}{small text{Неверно}})

4) Аналогично пункту 2, минимальность температуры будет достигнута в точке с наименьшим давлением и наибольшей плотностью (т. 2), а отношение температур действительно равно 8

Утверждение 4 – (color{green}{small text{Верно}})

5) В процессе 2 – 3 плотность постоянна, следовательно, объем постоянен и газ не совершает работу.

Утверждение 5 – (color{red}{small text{Неверно}})

Ответ: 14

Сосуд разделён на две равные по объёму части пористой неподвижной перегородкой. В начальный момент времени в левой части сосуда содержится 4 моль гелия, в правой – 40 г аргона. Перегородка может пропускать молекулы гелия и является непроницаемой для молекул аргона. Температура газов одинаковая и остаётся постоянной. Выберите два верных утверждения, описывающих состояние газов после установления равновесия в системе.

1) Концентрация гелия в правой части сосуда в 2 раза меньше, чем аргона.

2) Отношение давления газов в правой части сосуда к давлению газа в левой части равно 1,5.

3) В правой части сосуда общее число молекул газов меньше, чем в левой части.

4) Внутренняя энергия гелия и аргона одинакова.

5) В результате установления равновесия давление в правой части сосуда увеличилось в 3 раза.

“Демоверсия 2020”

Перегородка проницаема только для молекул гелия, поэтому в результате установления равновесия парциальное давление гелия в левой части будет равно парциальному давлению гелия в правой части. Давление газа можно вычислить по формуле: [p=dfrac{nu R T}{V}] Парциальные давления гелия в левой и правой части одинаковы, одинаковы температуры и объёмы частей, следовательно, одинаковы и количества вещества гелия в левой и правой частях сосуда, то есть в левой и правой части сосуда будет содержаться по 2 моля гелия.

Найдём связь концентрации и количества вещества: [n=dfrac{N}{V}=dfrac{nu N_A}{V}] То есть концентрации и количества вещества зависят прямо пропорционально друг от друга, также заметим, что чем больше количество вещества, тем больше и количество молекул.

Найдём количество вещества аргона: [nu_{Ar}=dfrac{m_{Ar}}{mu_{Ar}}=dfrac{40text{ г}}{40text{ г/моль}}=1text{ моль}]

Используя полученное выше, рассмотрим данные в задании утверждения.

Концентрация гелия в два раза больше концентрации аргона в правой части сосуда

1) (color{red}{small text{Неверно}})

Концентрация гелия в два раза больше концентрации аргона в правой части сосуда

2) (color{green}{small text{Верно}})

Отношение давлений: [dfrac{p_text{ п}}{p_text{ л}}=dfrac{nu_text{ г.п}+nu_{Ar}}{nu_text{ г.л}}=dfrac{2text{ моль}+1text{ моль}}{2text{ моль}}=1,5] Где (nu_{text{ г.п.}},nu_{text{ г.л.}}) – количество вещества гелия в правой части, количество вещества гелия в левой части соответственно.

3) (color{red}{small text{Неверно}})

Количество вещества газов в правой части сосуда больше количества вещества газа в левой части сосуда, следовательно, в правой части сосуда общее число молекул газа больше, чем в левой части сосуда.

4) (color{red}{small text{Неверно}})

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа может быть вычислена по формуле: [U=dfrac{3}{2}nu R T] Температура газов одинакова. Количество вещества гелия больше количества вещества аргона, следовательно, внутренняя энергия гелия больше внутренней энергии аргона.

5) (color{green}{small text{Верно}})

айдём отношение конечного давления в правой части сосуда к начальному давлению в правой части сосуда: [dfrac{p_{k}}{p_text{ н}}=dfrac{nu_{text{ г.п.}}+nu_{Ar}}{nu_{Ar}}=dfrac{2text{ моль}+1text{ моль}}{1text{ моль}}=3]

Ответ: 25

В цилиндрическом сосуде под поршнем находится газ. Поршень может перемещаться в сосуде без трения. На дне сосуда лежит стальной шарик (см. рисунок). Газ нагревают.

Выберите из предложенного перечня два верных утверждения, верно описывающие данный процесс, и укажите их номера.

1) Объём газа в этом процессе остаётся неизменным.

2) Давление газа в сосуде остаётся неизменным.

3) Плотность газа в этом процессе увеличивается.

4) Сила Архимеда, действующая на шарик, уменьшается.

5) Концентрация молекул газа в сосуде увеличивается.

1) Так как поршень подвижный (не закреплен), то процесс будет происходить при постоянном давлениии.

Уравнение состояния газа: [pV=nu RT] где (nu) – количество вещества, (T) – температура в Кельвинах, (p) – давление газа, (V) – объем, занимаемый газом, (R) – универсальная газовая постоянная. Выразим объем [V=dfrac{nu RT}{p}] При нагревании газа объем увеличивается.

Утверждение 1 – (color{red}{smalltext{Неверно }})

2) Утверждение 2 – (color{green}{smalltext{Верно }})

3) Плотность газа: [rho=dfrac{m}{V}] При нагревании объем увеличивается, значит плотность уменьшается.

Утверждение 3 – (color{red}{smalltext{Неверно }})

4) Сила Архимеда: [F_{text{Арх}}=rho gV] где (rho) – плотность газа, (V) – объем шарика, (g) – ускорение свободного падения. Плотность уменьшается, значит, сила Архимеда уменьшается.

Утверждение 4 – (color{green}{smalltext{Верно }})

5) Концентрация: [n=dfrac{N}{V}] При нагревании газа объем увеличивается, концентрация уменьшается.

Утверждение 5 – (color{red}{smalltext{Неверно }})

Ответ: 24

На (pV)-диаграмме отображена последовательность трёх процессов (1 – 2 – 3) изменения состояния 2 моль идеального газа.

Из предложенного перечня утверждений выберите два правильных и укажите их номера.

1) В процессе 1 газ отдаёт положительное количество теплоты.

2) Процесс 2 является изотермическим.

3) В процессе 3 газ совершает работу.

4) В процессе 2 происходит расширение газа при постоянной температуре.

5) В процессе 1 происходит сжатие газа при постоянной температуре.

Работа газа находится как площадь под графиком

1) Первое начало термодинамики: [Q=Delta U+A] где (Delta U) – изменение внутренней энергии, (A) – работа газа, (Q) – количество теплоты, полученное газом. (Delta U=0), так как температура в процессе 1 не изменяется. При увеличении давления в изотермическом процессе объём уменьшается. (Delta V<0), следоватлеьно, (A<0). Таким образом, (Q<0), то есть газ отдает кол-во теплоты в данном процессе.

Утверждение 1 – (color{green}{smalltext{Верно }})

2) В процессе 2 температура увеличивается.

Утверждение 2 – (color{red}{smalltext{Неверно }})

3) (p=const), следовательно (Vsim T)

Температура уменьшается, то есть объем тоже уменьшается, (Delta V<0), (A<0)

Утверждение 3 – (color{red}{smalltext{Неверно }})

4) В процессе 2 температура увеличивается.

Утверждение 4 – (color{red}{smalltext{Неверно }})

5) Температура в процессе 1 не изменяется. По закону Бойля-Мариотта (p V=const) так как давление увеличивается объём уменьшается.

Утверждение 5 -(color{green}{smalltext{Верно }})

Ответ: 15

На рисунке показан график циклического процесса, проведённого с одноатомным идеальным газом, в координатах (V-T), где (V) – объём газа, (T) – абсолютная температура газа. Количество вещества газа постоянно.

Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения, характеризующие процессы на графике, и укажите их номера.

1) В состоянии (B) концентрация газа максимальна.

2) В процессе (AB) газ отдаёт некоторое количество теплоты.

3) В процессе (BC) внутренняя энергия газа увеличивается.

4) Давление газа в процессе (CD) постоянно, при этом внешние силы совершают над газом положительную работу.

5) В процессе (DA) давление газа изохорно уменьшается.

1) В точке (B) объем максимален, а концентрация минимальна:

Утверждение 1 -(color{red}{smalltext{Неверно }})

2) Первое начало термодинамики: [Q=Delta U+A] где (Delta U) – изменение внутренней энергии, (A) – работа газа, (Q) – количество теплоты, полученное газом. В процессе (AB) работа равна (0), температура увеличивается, то есть (Delta U>0), значит (Q>0), то есть газ получает тепло

Утверждение 2 – (color{red}{smalltext{Неверно }})

3) Процесс (BC) – изотермический. Внутренняя энергия не меняется.

Утверждение 3 – (color{red}{smalltext{Неверно }})

4) Процесс (СD) – изобарное сжатие. При уменьшении объема внешние силы совершают положительную работу.

Утверждение 4 – (color{green}{smalltext{Верно }})

5) Процесс (DA) – изохорное охлаждение ((psim T)). Следовательно, при уменьшении температуры давление уменьшается.

Утверждение 5 – (color{green}{smalltext{Верно }})

Ответ: 45

Идеальный газ перевели из состояния 1 в состояние 3 так, как показано на графике зависимости давления р газа от объёма V. Количество вещества газа при этом не менялось.

Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения, характеризующие процессы на графике.

1)Абсолютная температура газа минимальна в состоянии 2.

2)В процессе 1-2 абсолютная температура газа уменьшилась в 2 раза.

3)В процессе 2-3 абсолютная температура газа уменьшилась в 1,5 раза.

4)Плотность газа максимальна в состоянии 1.

5)В ходе процесса 1-2-3 средняя квадратичная скорость теплового движения молекул газа увеличилась в (sqrt{3}) раза.

1) Уравнение состояния газа: [pV=nu RT] где (p) – давление газа, (V) – объем, занимаемый газом, (nu) – количество вещеста, (R) – универасальная газовая постоянная, (T) – температура. Температура максимальна там, где максимально произведение (pV), поэтому из графика видно, что (T_1 – min), (T_3 – max), (T_1<T_2<T_3)

Утверждение 1 – (color{red}{smalltext{Неверно }})

2) Процесс 1-2 – изобарное расширение ((Vsim T)). Объем увеличился в 2 раза, то есть температура тоже увеличилась в 2 раза.

Утверждение 2 – (color{red}{smalltext{Неверно }})

3) Процесс 2-3 – изохорное нагревание. (V=const), следовательно (psim T) Давление увеличивается в 1,5 раза, то есть температура тоже увеличивается в 1,5 раза.

Утверждение 3 – (color{red}{smalltext{Неверно }})

4) В точке 1 – объем минимален, следовательно, плотность там максимальна.

Утверждение 4 – (color{green}{smalltext{Верно }})

5) [E_{k}=dfrac{3}{2}kT] [dfrac{m_0 v^2}{2}=dfrac{3}{2}kT] где (m_0) – масса газа, (v^2) средняя квадратичная скорость [v^2sim T] [vsim sqrt{T}] Температура в процессе 1-2-3 увеличилась в 3 раза, значит средняя квадратичная скорость увеличилась в (sqrt{3}) раз

Утверждение 5 – (color{green}{smalltext{Верно }})

Ответ: 45

Сосуд разделён на две равные по объёму части пористой неподвижной перегородкой. В левой части сосуда содержится 40 г неона, в правой – 2 моль гелия. Перегородка может пропускать молекулы гелия и является непроницаемой для молекул неона. Температура газов одинакова и остаётся постоянной.

Выберите два верных утверждения, описывающих состояние газов после установления равновесия в системе.

1) Внутренняя энергия гелия в сосуде меньше, чем внутренняя энергия неона.

2) Концентрация гелия в левой части сосуда в 2 раза больше концентрации неона.

3) В левой части сосуда общее число молекул газов в 3 раза больше, чем в правой части.

4) Внутренняя энергия гелия в сосуде в конечном состоянии меньше, чем в начальном.

5) В конечном состоянии давление в левой части сосуда в 3 раза больше, чем в правой.

1) Молярная масса неона (M=20) г/моль. Количество неона: [nu=dfrac{m}{M}=dfrac{40text{ г}}{20text{ г/моль}}=2 text{ моль}] Гелий займет все пространство сосуда, значит в левой части будет 3 моля вещества (1 моль гелия и 2 моль неона).

В правой части будет тоже 1 моль гелия.

Внутренняя энергия газа: [U=dfrac{i}{2}nu RT] Газы находятся при одинаковой температуре, количество гелия равно количеству неона. Внутренняя энергия гелия равна внутренней энергии неона

Утверждение 1 – (color{red}{smalltext{Неверно }})

2) В левой части сосуда количество гелия в два раза меньше количества неона. Следовательно, концентрация гелия в два раза меньше концентрации неона.

Утверждение 2 – (color{red}{smalltext{Неверно }})

3) Так как количество вещества в левой части сосуда больше в 3 раза, чем в правой, то и количество молекул также больше в 3 раза.

Утверждение 3 – (color{green}{smalltext{Верно }})

4) Так как температура гелия и общее количество гелия в сосуде не изменилось, то и внутреннняяя энергия не поменялась.

Утверждение 4 – (color{red}{smalltext{Неверно }})

5) Давление газа: [p=nkT] Так как кол-во вещества в левой части сосуда больше в 3 раза, чем в правой, температуры одинаковые, то давление в конечном состоянии больше в левой части в 3 раза, чем в правой.

Утверждение 5 – (color{green}{smalltext{Верно }})

Ответ: 35

Максим Олегович

????№16 из ЕГЭ 2014 по математике за 1 минуту. Стоит ли ботать №16 за 1,5 месяца до ЕГЭ?

‼️Премьера в 17:00‼️ Ставь напоминание Ссылка на видео????????

Математика: №16 из ЕГЭ 2014 по математике за 1 минуту!

Источник

Пример 1. Определите число молекул, содержащихся в 2 мм³ воды при 4°С.

Дано

Решение

V = 2·10-9 м³

T = 277 К

______________

N = ?

Число молекул определим, используя выражение

, (1)

где ν – количество вещества, NA-число Авогадро.

Учитывая, что ν=m/μ, где μ-молярная масса, использовав (1), получим:

. (2)

Массу воды определим через плотность и объем : m=ρV. Тогда формула (2) примет вид:

. (3)

Молярную массу молекулы H2O воды вычислим:

(2·1+1·16)·10-3 кг/моль=18·10-3 кг/моль.

Окончательно, из формулы (3) получаем N≈6,68·1019 .

Пример 2. Поршневой насос, объем цилиндра которого равен 0,5л, соединен с баллоном емкостью 3л, содержащим воздух при нормальном атмосферном давлении. Определите давление воздуха в баллоне после 5 рабочих ходов поршня, если насос работает в режиме: а) нагнетательном, б) разрежающем. Считать процесс изотермическим.

Дано

Решение

V1=5·10-4 м³

V2=3·10-3 м³

p0=1,013·10-3 Па

n=5

______________

pн, pр -?

а) Поршневой насос после n-рабочих ходов в нагнетательном режиме заберет из атмосферы объем воздуха Vn=nV1 при давлении p0. Этот воздух, попадая в баллон, создает там парциальное давление pn. Тогда, согласно закону Бойля-Мариотта (по условию Т=const),

, отсюда . Искомое давление воздуха в баллоне:

(1)

б) По условию задачи воздух в баллоне занимает объем V2 при давлении р0. К концу первого хода в разрежающем режиме та же масса воздуха займет объем V2+V1 при давлении p1. Тогда по закону Бойля-Мариотта

, отсюда

В начале второго хода поршня объем и давление газа в баллоне соответственно равны V2 и p1, а в конце хода – (V2+V1) и p2, тогда

Следовательно, к концу n-го рабочего хода:

(2)

Подставляя числовые значения в выражения (1) и (2), получим

pн=1,86·105 Па; pр=0,48·105 Па.

Пример 3. Идеальный газ находится под давлением 250 кПа и занимает объем 2,5л при температуре 200К. Сначала газ изохорно нагревают до температуры 400К. Затем, изотермически расширяя, газ доводят до первоначального давления. После этого газ возвращают в начальное состояние путем изобарного сжатия. Изобразите процесс графически на рV-диаграмме. Определите давление p2 и объем V3.

Дано

Решение

p1=2,5·103 Па

V1=2,5·10-3 м³

Т1=200К,

Т2=400К

______________

p2 – ? V3-?

Построим график цикла:

В первом сосуде находится гелий при давлении 15

При переходе газа из состояния 1 в состояние 2 осуществляется изохорный процесс. Следовательно, по закону Шарля имеем p1/Т1=p2/Т2, откуда

(1)

При переходе газа из состояния 3 в состояние 1 осуществляется изобарный процесс. Тогда, согласно закону Гей-Люссака , отсюда .

Учитывая, что Т3=Т2 (точки 2 и 3 принадлежат одной изотерме), получим

. (2)

Произведем вычисления по формулам (1) и (2): p2=5·105 Па; V3= 5·10-3 м³.

Пример 4. Идеальный газ находится в баллоне при 27°С и давлении 3·106 Па. Какой станет температура, если из баллона будет выпущено 0,3 массы газа, а его давление понизится до 2·106 Па?

Дано

Решение

Т1=300К

p1=3·106 Па

p2=2·106 Па

k=0,3

____________________

Т2-?

Рассмотрим два состояния идеального газа. В первом состоянии газ имеет массу m и характеризуется параметрами p1, V и T, во втором состоянии он имеет массу и характеризуется параметрами p2, V и Т2.

Параметры каждого из этих состояний связаны уравнением Менделеева-Клапейрона:

,(1)

. (2)

Разделив почленно уравнение (1) на уравнение (2), имеем:

, откуда .

Произведем вычисления, получим Т2=286К

Пример 5. В закрытом сосуде объемом 2м³ находится 2г водорода и 32г кислорода при температуре 500К. Определите: а) давление в сосуде, б) молярную массу смеси, в) плотность смеси.

Дано

Решение

V= 2м³

Т= 500К

m1=0,002 кг

m2=0,032 кг

µ1=2·10-3кг/моль

µ2=32·10-3кг/моль

R=8,31Дж/моль·К

_______________

p-? µсм-? ρсм-?

Давление смеси определим по закону Дальтона

, (1)

где p1- давление водорода, p2- давление кислорода.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона:

, .(2)

С учетом (2) преобразуем выражение (1):

.(3)

Для определения молярной массы смеси используем (3) в виде

(4)

Обозначив через µсм молярную массу смеси, запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для смеси в виде

. (5)

Из выражений (4) и (5) получим

. (6)

Плотность смеси газов определим из:

, (7)

где m=m1+m2 – масса смеси газов. Объем смеси газов из(4):

.(8)

Решая совместно уравнения (7) и (8), получим:

.(9)

Произведем вычисления по формулам (3), (6) и (9):

р=4,2 кПа, µсм=17·10-3 кг/моль, ρсм= 0,017кг/м³.

Пример 6. Чтобы не стать помехой движению самолетов, олимпийский аэростат «Миша», наполненный гелием при p1=105Па и температуре T0=300К, должен был подняться над Лужниками на высоту h=1,5км, где плотность воздуха на 20% меньше, чем у поверхности Земли. Какова масса M оболочки аэростата, если его объем V=500м3 (оболочку считать герметичной и нерастяжимой).

Дано

Решение

V=500м3

p0=105Па

T0=300K

h=1.5×103м

mв=29×10-3кг/моль

mг=4×10-3кг/моль

_____________________

Mобл=?

Анализ

Предполагаем, что T =const, а V =const из условия. Условия равновесия аэростатавыполняются на высоте h =1500м. Тогда, из закона Архимеда:

где mв – масса вытесненного воздуха, mг-масса гелия.

Решив это уравнение, ответим на вопрос задачи

Выразим mв и mг mв=rвV, где rв = 0,8rвп, где rвп – плотность воздуха у поверхности земли.

Тогда

, а .

Следовательно

Аналогично .

Тогда

Произведем вычисление: M=380кг.

Пример 7. Спутник погрузился в тень Земли. При этом температура внутри спутника, равная вначале T1=300K, упала на 1%, вследствие чего давление воздуха изменилось на величину Dp=10,5×102Па. Определите массу воздуха в спутнике, если его объем V=10м3.

Дано

Решение

T1=300K

DT=0.01

T=3K

Dp=10,5×102Па

V=10м3

m=29×10-3кг/моль

________________

m=?

Считаем, что газ (воздух) внутри спутника является идеальным. Запишем уравнение Менделеева – Клайперона для каждого состояния:

,(1)

,(2)

(3)

Объем V, масса m, молярная масса m газа являются постоянными. В системе трех уравнений не известны три величины: m, p1 и р2. Следовательно, система разрешима.

Так как температура упала, то T1=T2+DT. Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получаем

Но p1-p2=Dp, а T1-T2=DT. Тогда приходим к уравнению:

Отсюда: .

Произведем вычисления: m=12кг.

Пример 8. Идеальный газ, масса которого равна 6,1кг, занимает объем 5м3 при давлении 2∙105Па. Определите среднюю квадратичную скорость движения молекул газа.

Дано

Решение

m=6,1кг

V=5м3

р=2∙105Па

_____________

<кв>-?

Средняя квадратичная скорость молекулы: . Из уравнения Менделеева – Клапейрона: найдем: . Тогда .

Произведя вычисления, получим: <кв> = 700м/с

Пример 9. В баллоне находится азот массой 4г при 300К. Определите среднюю энергию поступательного движения молекул, находящихся в баллоне.

Дано

Решение

m=4г= 4•10-3кг

Т=300К

μ = 28•10-3кг/моль

________________

<Wn> – ?

Средняя энергия поступательного движения всех молекул определяется выражением:

; (1)

где <εn> – средняя энергия поступательного движения одной молекулы; N – число молекул, находящихся в баллоне. Известно, что ,(2)

где k=1,38•10-23Дж/К – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура. Число N молекул найдем по формуле:

, (3)

где n- количество вещества, NА =6,02•1023моль-1 – постоянная Авогадро.

Известно, что

,(4)

где m – масса азота, μ = 28•10-3кг/моль – молярная масса азота.

Выражение (1) с учетом (2), (3) и (4) примет вид:

. (5)

Произведем вычисления по формуле (5), получим: <Wn>≈534 Дж.

Пример 10. Смесь водорода и гелия при температуре 27˚C находится под давлением 2∙102Па. Масса водорода составляет 60% от общей массы смеси. Определите концентрацию молекул каждого газа.

Дано

Решение

Т=300К

р=2•102Па

k=1,38•10-23Дж/К

τ1=0,6

τ2=0,4

_______________

n1, n2 – ?

Масса каждого из газов определяется из соотношений

, , (1)

где m – масса смеси, τ1 и τ2 – массовые доли соответственно водорода и гелия.

С другой стороны, масса каждого из газов:

, . (2)

Сравнив (1) и (2), получим:

, откуда

. (3)

Для смеси газов

. (4)

Из выражения (3) и (4) получим:

,. (5)

При заданном давлении водород и гелий можно считать идеальными газами, подчиняющимися уравнению , отсюда (6). С учетом (6) преобразуем соотношения (5):

, . (7)

Произведем вычисления: n1 ≈ 0,36•1023, n2 ≈ 0,12•1023.

Пример 11. Определите полную энергию и количество молекул воздуха между рамами окна, если площадь окна S=2м2, расстояние между рамами ℓ=0,2м. Давление воздуха между рамами атмосферное, а температура его линейно изменяется вдоль ℓ от t1= -10˚C (t1 – температура наружного стекла) до t2=20˚C (t2-температура внутреннего стекла).

Дано

Решение

S=2м2

ℓ=0,2м

Т1=263K

Т2=293K

________________

W-?

N-?

По условию задачи, воздух между рамами находится в неравновесном состоянии, так как температура изменяется вдоль оси Оx (Рис.2), ее распределение в объеме воздуха не изменяется со временем. В пределах достаточно тонкого слоя толщиной dx, температуру можно считать постоянной и равной Т. Тогда энергия

.(1)

Концентрации молекул в пределах этого слоя определив из уравнения состояния:

.(2)

Тогда число dN молекул в объеме слоя:

,(3)

а их энергия

.(4)

По условию задачи температура между рамами изменяется линейно:

, (5)

где α – постоянная.

Решая совместно уравнения (2), (3), (5), получим:

Тогда

(6)

Постоянные α и Т0 найдем из граничных условий: при х=0 Т=Т1, следовательно, Т0=Т1; при х=ℓ, Т= Т2, следовательно,

отсюда

Тогда

.(7)

Полная энергия dW всех молекул в слое dx:

Тогда

.(8)

Произведем вычисления по формулам (7) и (8), учитывая, что i=5, р=1,01•105Па, N = 1,06•1025, W = 1•105Дж.

Пример 12. Определите среднюю кинетическую энергию, среднюю энергию вращательного и среднюю энергию поступательного движения одной молекулы аммиака NH3 при 27˚C.

Дано

Решение

Т=300К

________________

<ε>-?

<εn>-?

<εвр>-?

Средняя полная энергия молекулы:

,(1)

где i – число степеней свободы, k =1,38•10-23Дж/К – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура.

Средняя энергия поступательного движения молекулы:

, (2)

где число 3 означает число степеней поступательного движения молекул. Средняя энергия поступательного движения молекул:

Учтя, что молекула аммиака является четырехатомной, т.е. ее число степеней свободы равно 6, получим:

откуда

. (3)

Произведем вычисления по формулам (1) и (3):

<ε>=1,24•10-20Дж; =6,2•10-21Дж.

Пример 13. Определите среднюю арифметическую скорость молекул идеального газа, плотность которого при давлении 35кПа составляет 0,3кг/м3.

Дано

Решение

р=35×103Па

ρ=0,3кг/м3

_______________

<υ>-?

Согласно уравнению молекулярно – кинетической теории идеальных газов

,(1)

где n – концентрация молекул, m0-масса одной молекулы, <υкв> – средняя квадратичная скорость молекул.

Учитывая, что , а , получаем:

.(2)

Так как плотность газа , где m – масса газа, V – его объем, N – число всех молекул газа, то уравнение (1) можно записать в виде:

или .

Подставляя это выражение в формулу (2), находим искомую среднюю арифметическую скорость:

Вычисляя, получаем: <υ> = 545 м/с.

Пример 14. Используя функцию распределения молекул идеального газа по относительным скоростям , где , определите число молекул, скорости которых меньше 0,002 наиболее вероятной скорости, если в объеме газа содержится N=1,67×1024 молекул.

Дано

Решение

υmax =0,002 υв

N=1,67×1024

_______________

DN-?

Число dN(u) молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u+du

,(1)

где N – число молекул в объеме газа.

По условию задачи, υmax=0,002υв, то umax= υmax/υв=0,002.

Так как u<1, то e-u² ≈ 1-u2. Пренебрегая u2<1, выражение (1) можно записать в виде:

.(2)

Проинтегрировав выражение (2) по u в пределах от 0 до umax, найдем

Вычисляя, получаем ∆N=1016 молекул.

Пример 15. Средняя длина <ℓ> свободного пробега молекулы углекислого газа при нормальных атмосферных условиях равна 40 нм. Определите среднюю арифметическую скорость <υ> молекул и среднее число <z> соударений, которые испытывает молекула в 1 секунду.

Дано

Решение

<ℓ> = 40×10-9м

_______________

<υ>-?, <z>-?

Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле:

,(1)

где μ- молярная масса вещества.

Среднее число соударений молекулы в 1 секунду равно отношению средней скорости <υ> молекулы к средней длине <ℓ> ее свободного пробега:

.(2)

Произведем вычисления по формулам (1) и (2): <υ>=362м/с, <z>=9,05·109с-1.

Пример 16. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление р=79кПа, благодаря чему летчик считает высоту h1 полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом изменилась с t=5˚C до t=1˚C. Какую ошибку ∆h в определении высоты допустил летчик? Давление р0 у поверхности Земли считать нормальным.

Дано

Решение

р=79 ×103Па

t1=5˚C,

Т1=278К

t2=1˚C,

Т2=274К

_____________

∆h – ?

Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой:

Барометр может показывать одинаковое давление р при изменении температуры за бортом от Т1 до Т2 только в том случае, если самолет изменяет высоту полета от h1 (которую летчик считает неизменной), до некоторой другой h2. Запишем барометрическую формулу для этих двух случаев:

Найдем отношение р0/р и обе части полученного равенства прологарифмируем:

;

Из полученных соотношений выразим высоты h2 и h1 и найдем их разность:

.(1)

Подставим в выражение (1) значения величин (давления в отношении р0/р можно выразить в килопаскалях, это не повлияет на окончательный результат): ∆h=-28,5 м. Знак “-” означает, что h2<h1 и, следовательно, самолет спустился на 28,5 метров по сравнению с предполагаемой высотой.

Пример 17. Определите, во сколько раз отличаются коэффициенты диффузии азота (μ1=28·10-3кг/моль) и углекислого газа (μ2=44·10-3кг/моль), если оба газа находятся при одинаковых температуре и давлении. Эффективные диаметры молекул этих газов считать одинаковыми.

Дано

Решение

μ1=28·10-3кг/моль

μ2=44·10-3кг/моль

________________

D1/D2-?

Коэффициент диффузии газа

,(1)

где – средняя арифметическая скорость его молекул, – средняя длина свободного пробега молекул. Поскольку p=nkT, из условия задачи (p1=p2, Т1=Т2) следует, что n1=n2. Подставив значения <υ>,<ℓ> в формулу (1) и учитывая условие задачи, найдем Вычисляя, получим D1/D2=1,25.

Источник