В первый сосуд с водой добавили
Задачи на смеси и сплавы при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие.
Задачи на смеси и сплавы, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в сборник для подготовки и проведения экзамена по алгебре за курс основной школы (9 класс) под редакцией С.А. Шестакова. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся.
Трудности при решении этих задач могут возникать на различных этапах:
- составления математической модели (уравнения, системы уравнений, неравенства и т. п.;
- решения полученной модели;
- анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты:не хватает уравнения в системе и пр.).
Все сложности преодолимы при тщательном анализе задачи. Этому способствуют чертежи, схемы, таблицы и пр. Каждый учащийся сам для себя делает вывод об уровне сложности той или иной задачи и месте, где эта сложность возникает.
Основными компонентами в этих задачах являются:
- масса раствора (смеси, сплава);
- масса вещества;
- доля (% содержание) вещества.
При решении большинства задач этого вида, с моей точки зрения, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.
Урок по решению этих задач целесообразно провести в ходе обобщающего повторения по алгебре в конце 9 класса.
Цель урока :обобщение, углубление, систематизация знаний, умений, навыков учащихся, развитие творческих способностей учащихся.
Ход урока.
I ) Актуализация опорных знаний обучаемых.
С помощью таблицы повторить основные теоретические сведения по данной теме. При этом учащиеся составляют опорный конспект (или используют “Приложение 1”, где уже напечатаны основные теоретические сведения, тексты задач и незаполненные таблицы к задачам).
Теоретические сведения.
Пусть m г некоторого вещества растворяется в М г воды, тогда
– доля вещества в растворе;
– доля воды в растворе;
· 100 % – концентрация раствора, или процентное содержание вещества в растворе;
· 100% – процентное содержание воды в растворе;
При этом · 100 % + · 100% = 100%.
Примечание 1. Вместо воды можно брать любую жидкость – основание, в которой можно растворить то или иное вещество.
Примечание 2. С математической точки зрения растворы, смеси, сплавы не отличаются друг от друга. Поэтому доля или процентное содержание одного вещества в растворе, смеси, сплаве определяются по одному правилу.
Примечание 3. Вместо весовых мер веществ и воды можно брать доли или части (mчи Мч ).
II) Знакомство учащихся с текстом задач и выделение основных компонентов в них.
Таблица для решения задач имеет следующий вид:
| Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов | % содержание вещества (доля содержания вещества) | Масса раствора (смеси, сплава) | Масса вещества |
III) Решение задач.
Рассмотрим решения задач с применением таблицы.
Задача 1. В сосуд содержащий 2 кг 80 % -го водного раствора уксуса добавили 3 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.
Решение.
| Наименование веществ, смесей | % содержание (доля) вещества | Масса раствора (кг) | Масса вещества (кг) |
| Исходный раствор | 80 % = 0,8 | 2 | 0,8·2 |
| Вода | – | 3 | – |
| Новый раствор | х % = 0,01х | 5 | 0,01х·5 |
Масса уксусной кислоты не изменилась, тогда получаем уравнение:
0,01х·5 = 0,8·2
0,05х = 1,6
х = 1,6:0,05
х = 32
Ответ:концентрация получившегося раствора уксусной кислоты равна 32 %.
Очень часто в жизни приходится решать следующую задачу.
Задача 2.Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г 70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?
Решение.
| Наименование веществ, смесей | % содержание (доля) вещества | Масса раствора (г) | Масса вещества (г) |
| Исходный раствор | 70 % = 0,7 | 200 | 0,7·200 |
| Вода | – | х | – |
| Новый раствор | 8 % = 0,08 | 200 + х | 0,08(200 + х) |
Анализируя таблицу, составляем уравнение :
0,08(200 + х) = 0,7·200
16 + 0,08х = 140
0,08х = 124
х = 1550
Ответ :1,55 кг воды.
Задача 3. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.
Решение.
| Наименование веществ, смесей | % содержание (доля) вещества | Масса раствора (кг) | Масса вещества (кг) |
| I раствор | 12 % = 0,12 | у | 0,12у |
| II раствор | 20 % = 0,2 | у | 0,2у |
| Смесь | х % = 0,01х | 2у | 0,01х·2у |
Анализируя таблицу, составляем уравнение :
0,12у + 0,2у = 0,01х·2у
Получили уравнение с двумя переменными, учитывая, что , имеем
0,32 = 0,02х
х = 16
Ответ :концентрация раствора 16 %.
Задача 4. Смешали 8кг 18 % раствора некоторого вещества с 12 кг 8 % раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Решение.
| Наименование веществ, смесей | % содержание (доля) вещества | Масса раствора (кг) | Масса вещества (кг) |
| I раствор | 18 % = 0,18 | 8 | 0,18·8 |
| II раствор | 8 % = 0,08 | 12 | 0,08·12 |
| Смесь | х % = 0,01х | 20 | 0,01х·20 |
Уравнение для решения задачи имеет вид:
0,01х·20 = 0,18·8 + 0,08·12
0,2х = 2,4
х = 12
Ответ:концентрация раствора 12 %.
Задача 5 Смешав 40 % и 15 % растворы кислоты, добавили 3 кг чистой воды и получили 20 % раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80 % раствора той же кислоты, то получили бы 50 %-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 40 % -го и 15 % растворов кислоты было смешано?
Решение.
| Наименование веществ, смесей | % содержание (доля) вещества | Масса раствора (кг) | Масса вещества (кг) |
| I раствор | 40 % = 0,4 | х | 0,4х |
| II раствор | 15 % = 0,15 | у | 0,15у |
| Вода | – | 3 | – |
| Смесь I | 20 % = 0,2 | х + у +3 | 0,2(х + у +3) |
Получаем уравнение:0,4х + 0,15у = 0,2(х + у +3)
Выполним вторую операцию:
| I раствор | 40 % = 0,4 | х | 0,4х |
| II раствор | 15 % = 0,15 | у | 0,15у |
| Кислота | 80 % = 0,8 | 3 | 0,8·3 |
| Смесь II | 50 % = 0,5 | х + у +3 | 0,5(х + у +3) |
Итак, 0,4х + 0,15у + 0,8·3 = 0,5(х + у +3).
Для решения задачи получаем систему уравнений:
Решаем систему уравнений:
Ответ:3,4 кг 40 % кислоты и 1,6 кг 15 % кислоты.
Задача 6. Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70 % сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40 % сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в смеси 55 % содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то получим 35 % содержание сахара. Найдите массу сахарного в третьем сосуде сиропа и концентрацию сахара в нем.
Решение.
| Наименование веществ, смесей | % содержание (доля) вещества | Масса раствора (кг) | Масса вещества (кг) |
| I сосуд | 70 % = 0,7 | 4 | 0,7·4=2,8 |
| II сосуд | 40 % = 0,4 | 6 | 0,4·6 = 2,4 |
| III сосуд | у % = 0,01у | х | 0,01ху |
| I и III сосуды | 55 % = 0,55 | 4+х | 0,55(4+х) или 2,8+0,01ху |
| II и III сосуды | 35 % = 0,35 | 6+х | 0,35(6+х) или 2,4+0,01ху |
Итак, получаем систему уравнений :
Решаем её:
Ответ :1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации.
Задача 7. Имеются два сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве отношение масс золота и меди равно 8 :3, а во втором – 12 :5. Сколько килограммов золота и меди содержится в сплаве, приготовленном из 121 кг первого сплава и 255 кг второго сплава?
Решение.
| Наименование веществ, смесей | Доля вещества | Масса сплава (кг) | Масса вещества (кг) | |||
| золото | медь | всего | Золото Мз | медь Мм | ||
| I сплав | 8 | 3 | 11 | 121 | ·121 | ·121 или 121- Мз |
| II сплав | 12 | 5 | 17 | 255 | ·255 | 255- Мз |
| III сплав | – | – | – | 376 | Сумма I и II сплавов | Сумма I и II сплавов |
·121 = 88 (кг) – масса золота в I сплаве
·255 = 180 (кг) масса золота в II сплаве
121+255=376 (кг) – масса III сплава
88+180=268 (кг) -масса золота в III сплаве
376-268=108 (кг) масса меди в III сплаве
Ответ :268 кг золота и 108 кг меди.
Задача 8. Одна смесь содержит вещества А и В в отношении 4 :5, а другая смесь содержит те же вещества, но в отношении 6 :7. Сколько частей каждой смеси надо взять, чтобы получить третью смесь, содержащую те же вещества в отношении 5 :6.
По условию задачи А :В = 5 :6, тогда
В данном случае получилось одно уравнение с двумя переменными.
Решаем уравнение относительно . Получим =.
Ответ : 9 частей первой смеси и 13 частей второй смеси.
Задача 9.Из полного бака, содержащего 256 кг кислоты, отлили п кг и долили бак водой. После тщательного перемешивания отлили п кг раствора и снова долили бак водой. После того как такая процедура была проделана 8 раз, раствор в баке стал содержать 1 кг кислоты. Найдите величину п.
Решение.
В этой задаче важно правильно определить и сохранить вид отдельных выражений – количество кислоты и долю кислоты в растворах, чтобы выявить закономерность.
Кроме того это должно тренировать и закреплять соответствующие модели отдельных бытовых действий.
Составляем уравнение для решения задачи :
=1
= 1
256-n= 27
n = 128
Ответ :n = 128.
IV) Домашнее задание: составить и решить не менее двух задач на “растворы, смеси и сплавы”.
V ) Итоги урока.
Заключение.
Решение задач на “растворы, смеси и сплавы” являются хорошим накоплением опыта решения задач. В заключении очень полезно дать учащимся составить свои задачи. При этом получаются задачи и не имеющие решения, это позволяет им моделировать реальные ситуации и процессы в жизни. Такой вид работы делает мышление учащихся оперативным, воспитывает творческое отношение к тем задачам, которые ставит жизнь, учит учащихся прогнозированию.
В задачах этого типа прослеживается системный подход к решению задач. Происходит успешная отработка и закрепление интеллектуальных умений (анализ, синтез, аналогия, обобщение. конкретизация и т.д.).
Опыт показал, что учащиеся не знавшие вначале, как подойти к решению этих задач, в конце успешно решали и составляли сами задачи.
Литература:
Крамор В.С., Лунгу К.Н. “Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры”, часть I. – М.:Аркти, 2001.
Источник
Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед.
А.Нивен.
Цель урока: Создание условий для выработки алгоритма решения задач на смеси, сплавы, растворы.
Задачи урока:
Обучающие:
- Обобщение и систематизация знаний, умений и навыков учащихся по теме “Решение задач на смеси, сплавы, растворы”;
- Формирование умений и навыков применения знаний в нестандартной ситуации.
Развивающие:
- Способствовать развитию внимания, логического мышления, самостоятельной учебно-познавательной деятельности.
Воспитывающие: Воспитывать математическую культуру, ответственность, настойчивость в учебе.
Тип урока: практикум по решению задач.
Формы работы учащихся: коллективная, индивидуальная.
Оборудование: Компьютер, мультимедиа-проектор, дидактический раздаточный материал.
Ход урока
1. Организационный момент.
Эпиграф СЛАЙД 2
– Сообщение темы урока. СЛАЙД 3
– Постановка цели урока.
2. Подготовительный этап.
Повторение теоретического материала о процентах: СЛАЙД 4
– Что такое процент? (Сотая часть числа)
– Как перевести проценты в дробь? (Разделить количество процентов на 100)
– Как перевести дробь в проценты? (Умножить данную дробь на 100)
– Как найти проценты от данного числа? (Проценты перевести в дробь и умножить данное число на эту дробь)
– Как найти число по его процентам? (Проценты перевести в дробь и разделить данное число на эту дробь)
– Как найти процентное отношение двух чисел? (Первое число разделить на второе и результат умножить на 100)
– Что такое концентрация вещества? (Это величина, которая определяет содержание компонента в сплаве, смеси, растворе)
3. Закрепление материала. Решение задач.
Рассмотрим способы решения задач: арифметический, с помощью уравнения и с помощью систем уравнений. СЛАЙД 5
Арифметический способ.
СЛАЙД 6. Задача 1. В сосуд, содержащий 5 литров 12 процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Рассмотрим три способа решения этой задачи.
Первый способ.
объем получившегося раствора
объем чистого вещества в первом растворе.
концентрация получившегося раствора.
Второй способ. По формуле.
где концентрация первого и второго растворов соответственно.
объемы первого и второго растворов соответственно
Третий способ.
Объем раствора увеличился в 2,4 раза (было 5 л., стало 12 л. 12:5 = 2,4),
содержание вещества не изменилось, поэтому процентная концентрация получившегося раствора уменьшилась в 2,4 раза.12:2,4=5(%)
Ответ: 5 %.
СЛАЙД 7. Задача 2. Сколько литров воды нужно добавить в 2 л водного раствора, содержащего 60% кислоты, чтобы получить 20 процентный раствор кислоты?
Объем чистой кислоты в растворе не меняется, процентное содержание кислоты в растворе уменьшится в 3 раза (60:20=3)
Объем раствора увеличится в 3 раза: 2 * 3=6(л)
6 – 2 = 4 (л) воды нужно добавить.
Ответ: 4 л.
СЛАЙД 8. Задача 3. Смешали 4 литра 15 процентного водного раствора с 6 литрами 25 процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Рассмотрим два способа решения этой задачи.
Первый способ. По формуле.
где концентрация первого и второго растворов соответственно.
объемы первого и второго растворов соответственно.
Второй способ.
объем получившегося раствора.
объем чистого вещества в четырех литрах раствора.
объем чистого вещества в шести литрах раствора.
объем чистого вещества в получившемся растворе.
концентрация получившегося раствора.
Ответ: 21%
СЛАЙД 9. Задача 4. Влажность сухой цементной смеси на складе составляет 18%. Во время перевозки из-за дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезенной смеси, если со склада было отправлено 400 кг.
воды в цементе на складе.
сухого вещества в цементе на складе.
сухого вещества в цементе в 328 килограммах.
масса привезенной смеси.
Ответ: 410 кг.
Минута отдыха.
Напишите в воздухе кончиком носа свою фамилию и имя.
Решение задач с помощью уравнения.
СЛАЙД 10. Задача 5. Сколько надо взять 5 процентного и 25 процентного раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10 процентного раствора кислоты?
0,1· 4=0,4(л) – кислоты в новом растворе.
Пусть х л надо взять первого раствора. Тогда второго – (4 – х) л, а количество получившегося раствора 2х.
0,05х л – кислоты в первом растворе.
0,25· (4 – х) л – кислоты во втором растворе.
0,05х + 0,25· (4 – х) = 0.05х + 1 – 0,25х = (1 – 0,2х) л.
Получим уравнение
3 л надо взять первого раствора.
4 – 3 = 1 л – второго.
Ответ: 1 л, 3 л.
СЛАЙД 11. Задача 6. В сосуд емкостью 6л налито 4л 70% раствора серной кислоты. Во второй сосуд той же емкости налито 3л 90% раствора серной кислоты. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился 74% раствор серной кислоты? Найдите все допустимые значения процентного содержания раствора серной кислоты в 6л раствора в первом сосуде.
Пусть х литров раствора кислоты нужно перелить из второго сосуда в первый. Тогда в нем станет (4 + х) литров 74 процентного раствора.
кислоты в первом сосуде.
(0,9х) литров – кислоты нужно перелить.
(2,8 + 0,9х) литров – кислоты в новом растворе.
Учитывая, что новый раствор 74% и его объем (4 + х) литров, то кислоты в нем (0,74·(4 + х )) литров.
Получим уравнение:
Найдем допустимые значения процентного содержания.
Так как в первый сосуд налит 70 процентный раствор серной кислоты, а будем доливать 90 процентный раствор, то процентное содержание раствора будет увеличиваться.
Из второго сосуда в первый можно перелить максимальное количество раствора кислоты – 2 литра.
кислоты в двух литрах.
кислоты будет в первом сосуде.
Тогда процентное содержание раствора серной кислоты в шести литрах раствора в первом сосуде может быть
Ответ: 1;
СЛАЙД 12. Задача 7. Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Пусть х кг масса первого сплава. Тогда масса второго сплава (х + 3) кг, а масса третьего сплава (х + (х + 3)) = (2х + 3) кг.
Масса меди в первом сплаве (0,1х) кг, во втором – (0,4·(х + 3)) кг, а в третьем – (0,3· (2х +3)) кг.
Получим уравнение:
3 кг масса первого сплава.
2 · 3 + 3 = 9 (кг) – масса третьего сплава.
Ответ: 9 кг.
СЛАЙД 13. Задача 8. Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих металлов находятся в отношении 2:3, а в другом – в отношении 3:7. Сколько килограммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5:11?
Пусть х кг масса куска, взятого от первого сплава. Тогда масса куска, взятого от второго сплава (8 – х) кг.
Масса золота в первом куске
Масса золота во втором куске
Масса золота в новом сплаве
Получим уравнение
1 кг нужно взять от первого сплава.
8 – 1 = 7 (кг) – от второго сплава.
Ответ: 1кг; 7 кг.
В этой задаче можно было бы составить и другие уравнения
*
*
*
Решение задач с помощью систем уравнений
СЛАЙД 14. Задача 9. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй- 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Пусть х кг масса первого сплава, у кг – второго.
Так как масса третьего сплава 200 кг, то получим уравнение
Масса никеля в первом сплаве (0,1х) кг, во втором – (0,3у) кг, а в новом – 200·0,25=50 кг. Получим второе уравнение
Получим систему уравнений:
50 кг – масса первого сплава.
150 кг – масса второго сплава.
150 – 50 = 100 (кг)
Ответ: на 100 кг.
СЛАЙД 15. Задача 10. При смешивании 30 процентного раствора серной кислоты с10 процентным раствором серной кислоты получилось 400 г 15 процентного раствора. Сколько граммов 30 процентного раствора было взято?
Пусть х г масса 30 процентного раствора серной кислоты, а у г – 10 процентного. Получим уравнение х + у = 400.
кислоты в новом растворе.
кислоты в первом растворе.
кислоты во втором растворе.
Получим второе уравнение
Получим систему уравнений:
100 г 30 процентного раствора было взято.
Ответ:100 г.
Слайд 16. Задача 11. Имеются два слитка сплава серебра и олова. Первый слиток содержит 360г серебра и 40г олова, а второй слиток – 450г серебра и 150г олова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 200г сплава, в котором оказалось 81% серебра. Определите массу (в граммах) куска, взятого от второго слитка.
Первый слиток имеет вес 400 г, второй – 600 г.
серебра в первом слитке (соответственно и в первом куске).
серебра во втором слитке (соответственно и во втором куске).
Пусть х г масса куска, взятого от первого слитка, а у г – от второго.
0,9х (г) – серебра в первом куске;
0,75у (г) – серебра во втором куске;
200 * 0,81 = 162 (г) – серебра в новом сплаве.
Получим систему уравнений:
120 г нужно взять от второго слитка.
Ответ: 120 г.
СЛАЙД 17. Задача 14. Первый раствор содержит 40% кислоты, а второй – 60% кислоты. Смешав эти растворы и добавив 5 л воды, получили 20 процентный раствор. Если бы вместо воды добавили 5 л 80 процентного раствора, то получился бы 70 процентный раствор. Сколько литров 60 процентного раствора кислоты было первоначально?
Пусть х л было 40 процентного, а у л – 60 процентного раствора кислоты. Тогда нового, 20 процентного раствора – (х + у + 5) л.
0,4х (л) – кислоты в первом растворе;
0,6у (л) – кислоты во втором растворе;
0,2·(х + у + 5) (л) – кислоты в новом растворе.
Получим уравнение
кислоты в 80 процентном растворе;
кислоты в новом, 70 процентном растворе.
Получим второе уравнение
Получим систему уравнений:
2 л 60 процентного раствора было первоначально.
Ответ: 2 л.
Контроль знаний. Самостоятельная работа.
Учащиеся выполняют работу по карточкам и сдают на проверку.
Приложение 1
Домашнее задание.
Даются карточки с дифференцированными заданиями.
Приложение 2
Источник