В сообщающихся сосудах одинакового сечения находится ртуть
Абитуриенту
А. В. Дедов,
МЭИ (ТУ), г. Москва;
М. Г. Тимошин,
МЭИ (ТУ), г. Москва
Окончание. См. № 4, 8/09
Задача 16
Лестница опирается на гладкую вертикальную стенку, образуя с ней угол α = 30°. Нижний конец лестницы находится на шероховатом полу. При каком коэффициенте трения между лестницей и полом человек, взбирающийся вверх по лестнице, сможет достичь её вершины? Масса человека в n = 3 раза больше массы лестницы.
Решение
Используем два условия равновесия: сумма сил равна нулю:
m1g + m2g + N1 + N2 + F = 0. (1)
и сумма моментов сил относительно верхнего конца лестницы равна нулю:
Здесь m1 – масса лестницы, m2 – масса человека, l – длина лестницы.
Чтобы человек мог подняться по лестнице, сила трения покоя должна быть не больше силы трения скольжения (Fтр ≤ µN1).
Проецируя уравнение (1) на ось Y с учётом m2 = nm1 и Fтр ≤ µN1 и преобразуя уравнение (2), получим:
Задача 17
Кубик массой m = 1 кг движется по наклонной плоскости, расположенной под углом α = 30° к горизонту, на двух небольших выступах. Определите силы, действующие в местах контакта кубика с плоскостью. Коэффициент трения µ = 0,05.
Решение
Так как в условии задачи одновременно заданы угол α и коэффициент трения µ, то кубик движется равноускоренно. Следовательно, для использования при решении условий равновесия сумму моментов сил находим относительно центра масс кубика, и сумму сил рассматриваем в проекции на ось Y системы отсчёта, связанной с кубиком. Этим самым мы исключаем при решении инерциальную силу, которая приложена к центру масс и направлена против оси Х, т.е. решаем задачу в неинерциальной системе отсчёта:
Задача 18
В двух сообщающихся цилиндрических сосудах с одинаковым поперечным сечением S = 1 · 10-2 м2 находится ртуть. В один из сосудов поверх ртути наливают воду массой m1 = 25 кг и в неё опускают плавать груз массой m2 = 2,2 кг. На какую высоту h переместится уровень ртути во втором сосуде? Плотность ртути ρрт = 13,6 · 103 кг/м3.
Решение
По закону Паскаля, давление на ртуть в сечении II будет в обоих коленах одинаковым. Давление в левом колене в правом Pпрρртg · 2h, где h – высота перемещения уровня ртути в правом колене, сечение I – первоначальный уровень ртути.
Тогда Окончательно получим:
Задача 19
Плавающий куб погружён в ртуть на 1/3 своего объёма. Какая часть куба будет погружена в ртуть, если поверх ртути налить слой воды, полностью закрывающий куб? Плотность ртути ρрт = 13,6 · 103 кг/м3, плотность воды ρв = 1,0 · 103 кг/м3.
Решение
По условию плавания, mg = FA1 + FA2, где FA1 – сила Архимеда, действующая на куб со стороны ртути, FA2 – со стороны воды.
FA1 = ρртgV1 = ρртgxa2;
FA2 = ρвgV2 = ρвga2(a – x).
Здесь V1 – часть объёма куба со стороной а, находящейся в ртути, V2 – часть объёма, находящаяся в воде, x – глубина погружения в ртуть.
После подстановки получим
m = ρртxa2 + ρв(a – x)a2. (1)
При отсутствии воды mg = ρртgV. Так как V = 1/3a3, то
m = 1/3ρртa3. (2)
Из (1) и (2) получим
Задача 20
В озере плавает плоская льдина массой m = 36 кг и площадью S = 0,2 м2. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы полностью утопить льдину? Плотность льдины ρл = 900 кг/м3, плотность воды ρв = 1,0 · 103 кг/м3.
Решение
Исходя из условия плавания льдины:
FA + F + mg = 0,
где FA – сила Архимеда, F – сила, которую прикладывают, топя льдину, модуль силы F меняется от нуля до максимального значения, когда льдина будет полностью утоплена. В проекции на ось Х получим FA – F – mg = 0, или
F = FA – mg = ρвgS(H – x) – mg, (1)
где H – толщина льдины.
Из условия плавания льдины при отсутствии силы F следует, что
mg = ρвgS(H – h ), (2)
где в этом случае x = h – расстояние от верхней плоскости льдины до воды.
Из уравнений (1) и (2) получим
F = ρвgS(h – x). (3)
При x = 0 Fmax = ρвgSh.
Зависимость модуля силы F от расстояния x, как видно из уравнения (1), является линейной. Тогда работу, которую надо совершить, чтобы утопить льдину, можно рассчитать как
Из уравнения (2), подставив получим
Подставив h в формулу для работы, окончательно найдём:
Источник