В сосуд емкостью 10 л попала ровно одна болезнетворная бактерия

Íàæìèòå ñþäà äëÿ ïðîñìîòðà ýòîé òåìû â îáû÷íîì ôîðìàòå

Îáðàçîâàòåëüíûé ñòóäåí÷åñêèé ôîðóì _ Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé _ Çàäà÷êè.Áóäó ðàäà, åñëè Âû ïîìîæåòå ðåøèòü.

Ðóññêàÿ âåðñèÿ Invision Power Board (https://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (https://www.invisionpower.com)

11
5. Формулы сложения вероятностей
Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В
равна сумме вероятностей этих событий:

P( A + B) = P( A) + P ( B) (1)
Для попарно несовместимых событий A 1 , A 2 ,…, A n
P ( A1 , A2 ,…, An ) = P ( A1 ) + P( A2 ) + … + P( An ) .
Сумма вероятностей противоположных событий A и A равна
единице:
P( A + A ) = P( A) + P( A ) .
Пример. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова
вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?
3
Решение. Вероятность вынуть красный шар P( A) = , синий
10
5
P( B) = . События А и В несовместны, по формуле (1)
10
3 5
получаем: P( A + B ) = P ( A) + P ( B) = + = 0,8
10 10

6. Условные вероятности
Рассмотрим задачу. Студент перед экзаменом выучил из 30 билетов
билеты с номерами с 1 по 5 и с 26 по 30. Известно, что студент на
экзамене вытащил билет с номером, не превышающим 20. Какова
вероятность, что студент вытащил выученный билет?
Определим пространство элементарных исходов:
Ω=(1,2,3,…,28,29,30). Пусть событие А заключается в том, что студент
вытащил выученный билет: А = (1,…,5,25,…,30,), а событие В — в том, что
студент вытащил билет из первых двадцати: В = (1,2,3,…,20)
Событие А∩В состоит из пяти исходов: (1,2,3,4,5), и его вероятность
равна 5/30. Это число можно представить как произведение дробей 5/20 и
20/30. Число 20/30 – это вероятность события B. Число 5/20 можно
рассматривать как вероятность события А при условии, что событие В
произошло (обозначим её Р(А/В)). Таким образом? решение задачи
определяется формулой

P(А∩В) = Р(А/В) Р(B) (1)

Эта формула называется формулой умножения вероятностей, а
вероятность Р(А/В) — условной вероятностью события A.
Пример 1. Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу
один за другим извлекают (без возвращения) два шара. Какова
вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черным?

12
Пусть X — событие, состоящее в извлечении первым белого шара, а
Y — событие, состоящее в извлечении вторым черного шара. Тогда X∩Y –
событие, заключающееся в том, что первый шар будет белым, а второй —
черным. P(Y/X) =3/9 =1/3 — условная вероятность извлечения вторым
черного шара, если первым был извлечен белый. Учитывая, что P(X) =
7/10, по формуле умножения вероятностей получаем: P(X∩Y) = 7/30.
Событие А называется независимым от события В (иначе:
события А и В называются независимыми), если Р(А/В)=Р(А). За
определение независимых событий можно принять следствие последней
формулы и формулы умножения

P(А∩В) = Р(А) Р(B) (2)

Таким образом, для независимых событий

P ( AB) = P( A) ⋅ P( B ) ,

верно также и
P ( A B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ); P ( AB ) = P ( A) ⋅ P ( B ); P ( A B ) = P ( A ) ⋅ P( B );

Пример 2. Четыре стрелка одновременно стреляют в цель.
Вероятности попадания в цель для каждого стрелка соответственно равны:
0,7; 0,75; 0,7; 0,65. Чему равна вероятность того, что цель будет поражена
(хотя бы одним стрелком)?

Решение. Обозначим за AI (i = 1,2,3,4) событие, состоящее в том, что

i -й стрелок попал в цель. Эти события независимы, их вероятности равны
по условию:

P( A1 ) = 0,7; P ( A2 ) = 0,75; P ( A3 ) = 0,7; P ( A4 ) = 0,65;

Цель не будет поражена, (событие A ), если все стрелки промахнутся

A = A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 .

Вычисляя вероятность, получаем

P( A) = 1 − P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P( A4 ) = 1 − 0,3 ⋅ 0,25 ⋅ 0,3 ⋅ 0,35 = 0,992125.

Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В
равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их
произведения:

P( A + B) = P( A) + P( B) − P( AB) . (3)

13

Пример 3. В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых
растений. Выбирают два растения. Определить вероятность того, что
среди них хотя бы одно окажется здоровым.
Решение. Обозначим A1 – первое растение здорово; A2 – второе
растение здорово; A1 + A2 – хотя бы одно растение здорово. Так как
события A1 и A2 совместимые, то согласно формуле (3),
P( A1 + A2 ) = P( A1 ) + P ( A2 ) − P ( A1 A2 ) = 0,95 + 0,95 − 0,95 ⋅ 0,95 = 0,9975 .

7. Формула полной вероятности
Пусть события H1, H2,…, Hn образуют полную группу
событий, т.е.
1) все события попарно несовместны: Hi ∩ Hj =∅; i, j=1,2,…,n; i≠j
2) их объединение образует пространство элементарных исходов
Ω:

Ω=H1U H2U … U Hn.

Пусть А – некоторое событие: А ⊂ Ω (диаграмма Венна
представлена на рисунке 8).
Тогда имеет место формула полной вероятности:

P(A) = P(A/ H1)P(H1) + P(A/ H2)P(H2) + …+ P(A/ Hn)P(Hn)
n
= ∑ P( A / H i ) P( H i )
i =1

Пример 1. В магазине продаются электролампы производства
трех заводов, причем доля первого завода – 30%, второго – 50%,
третьего – 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 5%,
3% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная в
магазине лампа оказалась бракованной.
Решение. Пусть событие H1 состоит в том, что выбранная
лампа произведена на первом заводе, H2 на втором, H3 – на
третьем заводе. Очевидно:

P(H1) = 3/10, P(H2) = 5/10, P(H3) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа
оказалась бракованной; A/Hi означает событие, состоящее в том,
что выбранная бракованная лампа из ламп, произведенных на i-ом
заводе. Из условия задачи следует:

P (A/H1) = 5/10; P(A/H2) = 3/10; P(A/H3) = 2/10

14
По формуле полной вероятности получаем

3 5 5 3 2 2 17
P( A) = ⋅ + ⋅ + ⋅ = .
10 100 10 100 10 100 500

Формула Байеса
Пусть H1,H2,…,Hn – полная группа событий и А⊂Ω – некоторое
событие. Тогда по формуле для условной вероятности

P ( H I A)
P( H / A) = k (*)
k P(A)

Здесь P(Hk /A) – условная вероятность события (гипотезы) Hk
или вероятность того, что Hk реализуется при условии, что событие
А произошло.
По теореме умножения вероятностей числитель формулы (*)
можно представить в виде

P(Hk∩A) = P(A∩Hk) = P(A /Hk) P(Hk)

Для представления знаменателя формулы (*) можно использовать
формулу полной вероятности
n
P( A) = ∑ P ( A / H i ) P ( H i )
i =1

Теперь из (*) можно получить формулу, называемую формулой
Байеса:

P( A / H ) P( H k )
k
P( H k / A) =
n
∑ P( A / H i )
i =1

По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы
Hk при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют
формулой вероятности гипотез.
Пример 1. Рассмотрим приведенную выше задачу об электролампах,
только изменим вопрос задачи. Пусть покупатель купил электролампу в
этом магазине, и она оказалась бракованной. Найти вероятность того, что
эта лампа изготовлена на втором заводе.
Решение. Выпишем формулу Байеса для этого случая

P( A / H 2 ) P( H 2 )
P( H 2 / A) =
P( A)

15
Из этой формулы получаем: P(H2 /A) = 15/34.

Контрольные задания
1. В ящике имеется 100 яиц, из них 5 некачественных. Наудачу вынимают
одно яйцо. Какова вероятность, что вынутое яйцо некачественное?
Отв. 0,05.
2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет четное
число очков.
Отв. 0,5.
3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100.
Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона
не содержит цифры 5?
Отв. 0,81.
4. В сосуд емкостью 10 литров попала одна болезнетворная бактерия.
Какова вероятность зачерпнуть ее при наборе из этого сосуда стакана
воды (0,2 л.)?
Отв. 0,02.
5. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна
0,3, а вероятность выстрела на оценку «хорошо» равна 0,4. Какова
вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?
Отв. 0,7.
6. Бросается один раз игральная кость. Определить вероятность выпадения
3 или 5 очков.
1
Отв. .
3
6. В урне 30 шаров: 15 белых, 10 красных и 5 синих. Какова вероятность
вынуть цветной шар, если вынимается один?
Отв. 0,5.
7. В денежно-вещевой лотерее на серию 1000 билетов приходится 120
денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо
выигрыша на один лотерейный билет?
Отв. 0,2.
8. В колоде 36 карт. Наудачу вынимают из колоды 2 карты. Определите
вероятность того, что вторым вынут туз, если первым тоже вынут туз.
3
Отв. .
35
9. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд 2 шара.
Какова вероятность того, что оба шара белые.
Отв. 0,1.
10. Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут вынуты
подряд 2 туза?

16
1
Отв. .
105
11. Два стрелка стреляют по цели. Вероятность поражения цели первым
стрелком при одном выстреле равна 0,8, вторым стрелком – 0,7. Найти
вероятность поражения цели двумя пулями в одном залпе.
Отв. 0,56.
12. Найти вероятность одновременного появления герба при одном
бросании двух монет.
Отв. 0,25.
13. В семье двое детей. Принимая события, состоящие в рождении
мальчика и девочки равновероятными, найти вероятность того, что в
семье: а) все девочки; б) дети одного пола.
Отв. а) 0,25; б) 0,5.
14. Пусть всхожесть семян оценивается вероятностью 0,7. Какова
вероятность того, что из двух посеянных семян взойдет какое-либо одно.
Отв. 0,91.
15. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность
того, что будет вынута пика или туз?
1
Отв. .
3
16. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет
четное или кратное трем число очков.
2
Отв. .
3
17. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого
набора стандартна равно 0,8, а второго – 0,9. Найдите вероятность того,
что взятая наудачу деталь – стандартная.
Отв.0,85.
18. В коробке находятся 6 новых и 2 израсходованные батарейки для
карманного фонарика. Какова вероятность того, что две вынутые из
коробки наудачу батарейки окажутся новыми?
15
Отв. .
28
19. На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После тщательного
перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом.
Какова вероятность того, что получится слово «ЖУК»?
1
Отв. .
6
20. Слово «керамит» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки
с буквами перемешиваются, и из них извлекаются по очереди четыре
карточки. Какова вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода
составят слово «река»?

17
1
Отв. .
840

Дискретные случайные величины.
Часто результатом случайного эксперимента является число.
Например, можно подбросить игральную кость и получить одно из
чисел: 1,2,3,4,5,6. Можно подъехать к бензоколонке и обнаружить
определённое число автомашин в очереди. Можно выстрелить из
пушки и измерить расстояние от места выстрела до места падения
снаряда. В таких случаях будем говорить, что имеем дело со
случайной величиной.
Случайной величиной называют переменную величину, которая в
зависимости от исхода испытания случайно принимают одно значение из
множества возможных значений.
Случайные величины будем обозначать: X , Y , Z , … Значения
случайной величины будем записывать в виде конечной или
бесконечной последовательности x1, x2,…, xn,….
Случайная величина, которая может принимать лишь
конечное или счётное число значений, называется дискретной.
Рассмотрим дискретную случайную величину X с конечным
множеством случайных значений. Величина X считается заданной,
если перечислены все ее возможные значения, а также
вероятности, с которыми величина X может принять эти значения.
Указанный перечень возможных значений и их вероятностей
называют законом распределения дискретной случайной
величины. Обычно закон распределения дискретной случайной
величины представляется в виде таблицы:

X х1 х2 х3 … хn (1)
P p1 p2 p3 … pn

В дальнейшем будем называть величину pi вероятностью значения хi
случайной величины. Так как в результате испытания величина X всегда
принимает одно из значений x1 , x2 ,…, xn , то
p1 + p2 + … + pn = 1 .
Отметим, что закон распределения содержит всю информацию о
случайной величине, и задать случайную величину можно, просто
представив её закон распределения.
Пример 1. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 100000
р., 10 выигрышей по 10000 р., и 100 выигрышей по 1000 р. При общем
числе билетов 10000. Найти закон распределения случайного выигрыша
X для владельца одного лотерейного билета.

18
Решение. Здесь возможные значения для X есть:
x1 = 0, x2 = 1000, x3 = 10000, x4 = 100000 . Вероятности их будут:
p2 = 0,01, p3 = 0,001, p4 = 0,0001, p1 = 1 − 0,01 − 0,001 − 0,0001 = 0,9889.
Закон распределения может быть задан таблицей:

X 0 100 10000 100000

Р 0,9889 0,01 0,001 0,0001

Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Пусть задан закон распределения случайной величины X .

X х1 х2 х3… хn
P p1 p2 p3… pn
Математическим ожиданием М( X ) дискретной случайной
величины X называют сумму произведений всех возможных значений
величины X на соответствующие вероятности:

M ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + … + xni pn

Рассмотрим пример. Пусть в некотором магазине, торгующем
электробытовой техникой, получены статистические данные о
числе проданных холодильников в каждый день месяца (условно
считаем, что месяц состоит из 30 рабочих дней). Эти данные
собраны в таблицу

Количество проданных 0 1 2 3 4 5
холодильников

Число дней, в которые было 3 7 8 9 2 1
продано столько
холодильников

По этой таблице легко подсчитать число холодильников, проданных
в магазине за месяц: 0*1+1*7+2*8+3*9+4*2+5*1 = 63. Чтобы
подсчитать среднее число холодильников, продававшихся в один
день месяца, нужно эту сумму разделить на 30, в результате
получим 2,1. Если в приведенной таблице каждое число второй
строки поделить на 30, то получится последовательность дробей

19
1 7 4 3 1 1
; ; ; ; ; ,
10 30 15 10 15 30

каждая из которых представляет собой так называемую
относительную частоту, с которой в данный месяц появлялся
приведенный в верхней строке объём продаж. Очевидно, что если
просуммировать все произведения чисел, стоящих в первой строке
таблицы, на их относительные частоты, то получится то же среднее
число продававшихся в один день холодильников:

1 7 4 3 1 1
0⋅ + 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ + 4 ⋅ + 5 ⋅ = 2,1
10 30 15 10 15 30

Если бы в последней формуле относительные частоты
рассчитывались не для одного месяца, а для существенно
большего срока, то при некоторых условиях (например, при
отсутствии кризисных явлений, существенно влияющих на спрос
населения на дорогостоящие товары) эти относительные частоты
можно было бы считать довольно близкими к вероятностям
соответствующих значений объёма продаж. Таким образом,
приходим к выводу, что математическое ожидание случайной
величины – это в некотором смысле её среднее значение. Следует
отметить, что случайная величина может вообще не принимать
значения, равного её математическому ожиданию. Так, например,
случайная величина, принимающая только значения 1 и –1, каждое
– с вероятностью 0,5, имеет математическое ожидание, равное
нулю.
Теорема. Математическое ожидание дискретной случайной
величины X приближенно равно среднему арифметическому всех ее
значений (при достаточно большом числе испытаний)
Пример. Найти математическое ожидание случайной
величины, заданной законом распределения
X 1 0
Р p q
Здесь p + q = 1.

M( X ) = 1⋅р + 0⋅q = р

Свойства математического ожидания.
1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой
величине.
M (C ) = C

20
2. Постоянный множитель можно выносить за знак
математического ожидания, т. е. M (CX ) = CM ( X ) .
3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин X и
Y равно сумме их математических ожиданий:
M ( X + Y ) = M ( X ) + M (Y ) .

Пример 1. Заданы n одинаково распределённых случайных
величин х1, х2, …, хn с законом распределения
хi 1 0
P p q
Найти математическое ожидание суммы этих случайных величин.
Решение.
M( x1 + x2 + … + xn ) = M ( x1 + x2 + … + xn ) = np

Теорема. Если случайные величины X и Y независимы, то

М( X Y ) = М( X )⋅М( Y )

Пример 2. Найти математическое ожидание случайной величины
Z = X + 2Y , если известны математические ожидания случайных величин
X и Y : M ( X ) = 5, M (Y ) = 3.

Решение. Используя свойства 2 и 3 математического ожидания,
получаем
M ( Z ) = M ( X + 2Y ) = M ( X ) + 2 M (Y ) = 5 + 2 ⋅ 3 = 11
Пример 3. Независимые случайные величины заданы законами
распределения
X 1 2 Y 0,5 1
p 0,2 0,8 p 0,3 0,7
Найти математическое ожидание каждой из данных величин:
Решение.
M ( X ) = 1 ⋅ 0,2 + 2 ⋅ 0,8 = 1,8 ,
M (Y ) = 0,5 ⋅ 0,3 + 1 ⋅ 0,7 = 0,15 + 0,7 .
Случайные величины X и Y независимы, поэтому искомое
математическое ожидание

M ( XY ) = M ( X ) ⋅ M (Y ) = 1,8 ⋅ 0,85 = 1,53 .

Дисперсия случайной величины.
Дисперсия D( X ) случайной величины X определяется
формулой