В сосуд нагнетается с помощью ручного насоса воздух
Но если представить себе тепловой двигатель, в камере сгорания которого скорость течения мала, т.е. объем велик и потерями давления можно пренебречь, тогда изобарный процесс возможен. При больших же скоростях движения реального газа процесс происходит с падением давления и изобарного процесса в технических системах быть не может.
Изотермический процесс (T = const ) р р изотерма изотерма q (отвод тепла) q (подвод тепла) v v а) процесс изотермического расширения а) процесс изотермического сжатия Рис. Запишем уравнение Клапейрона для двух состояний газа в изотермиp1v1 = RT1;
Так как T1 = T2 = T, тогда p1v1 = p2v2 или pv = const или p1 v =. (1.10) p2 vСледовательно, при изотермическом процессе произведение объема газа на давление есть величина постоянная (закон Р.Бойля-Мариотта).
Или: Изменение давлений при постоянной температуре обратно пропорционально изменению объемов.
Таким образом, изотермический процесс представляет на диаграмме р – v равнобочную гиперболу.
Если изотермический процесс протекает с подводом тепла, то имеет место изотермическое расширение, если процесс протекает с отводом тепла, то имеет место изотермическое сжатие.
Уравнение первого закона термодинамики для изотермического процесса:
dq = pdv = dl, (1.11) так как du=0, т.е. при изотермическом процессе все подведенное (отведенное) тепло идет на совершение работы.
Следовательно, для получения экономичной тепловой машины надо в ней осуществить рабочий процесс как изотермический.
В теории тепловых машин известно, что расход тепловой энергии при изотермическом рабочем прор цессе будет минимальным, т.е.
изотермический процесс будет экономичный процесс.
1/ На практике любой реисходный изотермический процесс неизотермический альный неизотермический процесс процесс всегда стремятся заv менить на совокупность изотермических процессов как Рис. наиболее экономичных.
Если обратиться к уравнению изотермического процесса в виде:
RT рv = RT = const, то p =. Тогда:
v V2 Vdvv2 p q = l = pdv = RT = RT ln = RT ln. (1.12) vv1 pVV Таким образом находится работа (или подведенное или отведенное тепло) в изотермическом процессе. Необходимо отметить, что широко известный в теоретической термодинамике цикл Карно включает в себя процессы подвода и отвода тепла в виде изотермических процессов как наиболее экономичных.
В сосуд нагнетается при помощи ручного насоса воздух. Объем сосуда равен 3 л, объем цилиндра насоса 0,5 л. Каково будет давление газа в сосуде после двадцати рабочих ходов поршня, если сосуд вначале: а) был пустым б) содержал воздух при нормальном атмосферном давлении Температура постоянна.
Так как 1 м3 =1000 л, то vC = 310-3 м3, v = 0,510-3 м3.
Н Рассматриваемый процесс изотермический, поэтому для него справедлив закон Бойля-Мариотта для 1 кг газа: pv= const или p1v1 = p2v2 или м для произвольной массы газа: p1v1 = p2v2, где v = mv кг = м3.
кг За «n» рабочих ходов насос заберет из атмосферы объем воздуха H n v при давлении p0 =105. Эта масса воздуха вместится в объем ( ) H мvC при давлении pn. По закону Бойля-Мариотта: pnvC = p0 n v, откуда H vH pn = np0.
vC а) Если сосуд сначала был бы пустым (например, автомобильная камера или камера футбольного мяча), то это и будет искомое давление:
0,510-3 H pn = 20 105 = 3,3105.
310-3 м б) Если сосуд содержал воздух при нормальном атмосферном давлеv H H нии, то: pn = np0 + p0 = pn + p0 = 3,3105 +105 = 4,3105.
vC м Адиабатный процесс В каждой точке адиабатного процесса dq = 0, следовательно, этот процесс происходит без передачи тепла от окружающей среды телу и обратно, т.е. без теплообмена с окружающей средой.
Из первого закона термодинамики: dq = du + dl, но так как при адиабатном процессе dq = 0, то du + dl = 0 и, следовательно, dl = -du. (1.13) Таким образом, при адиабатном процессе работа совершается за счет изменения внутренней энергии тела.
Отсюда следует характерная особенность адиабатного процесса расширения или сжатия: накопление внутренней энергии и превращение ее затем в работу.
Так как работа dl = pdv, то du + pdv = 0; du = CVdT, тогда:
CVdT + pdv = 0. (1.14) Взяв уравнение Клапейрона pv = RT и продифференцировав его, получим: d pv = RdT, откуда dT = d pv. Подставив это выражение в ( ) ( ) R CV формулу (1.14), получим: d pv + pdv = 0.
( ) R CV Из уравнения Майера R = Cp – CV, тогда d pv + pdv = 0. Обо( ) Cp – CV Cp значим через показатель адиабаты отношение = k, тогда коэффициент:
CV CV 11 == ; d pv + pdv = 0.
( ) Cp – CV Cp k -1 k -CV Так как d pv = pdv +vdp, то 1+ pdv + vdp = 0.
( ) k -1 k – k pdv + vdp = 0 или kpdv +vdp = 0. Разделив последнее выражение k -1 k -dv dp на pv, получим: k + = 0. Проинтегрируем это выражение:
v p k lnv + ln p = lnC ; lnvk + ln p = ln C ; ln pvк = lnC, откуда:
( ) pvk = const. (1.15) Это первая форма записи уравнения адиабатного процесса, где CP k = = const является вторым после уравнения Майера важным соотноCV шением между теплоемкостями при p = const и v = const.
К первой форме записи уравнения адиабатного процесса относятся и k v2 p1 к p1 vтакие виды этого уравнения: pкv = const или =, =.
v1 p2 p2 v Для получения уравнения во второй форме используем уравнение RT Клапейрона pv = RT, из которого имеем : p =. Подставив это соотноv шение в первую форму записи уравнения адиабатного процесса (1.15), получим:
vк-1T = const. (1.16) к- к-T2 v1 k -1 v1 Tили =, vT = const, =. Все это вторая форма записи T1 v2 v2 T адиабатного процесса.
Для получения третьей формы записи уравнения адиабатного процесRT са найдем из уравнения состояния v = и подставим в уравнение (1.15).
p Тогда получим:
k p1-kT = const, (1.17) 1-k k откуда очевидны и другие виды этого уравнения: p T = const или 1-k k k 1-k T1 p2 k p1 T1-k pT = const, а также: = или =.
T2 p1 p2 T Вычислим работу идеального газа в адиабатном процессе с учетом формулы (1.13): l =- = u1 – u2 = CV T1 – T2.
() du Выполним следующие преобразования: из соотношения CV CV1 R == найдем CV =. Тогда:
R CP – CV k -1 k -R l = T1 – T2. (1.18) () k -p1vДалее: из уравнения p1v1 = RT1 найдем T1 = ; а из уравнения R p2vp2v2 = RT2 найдем T2 =.
R Подставляя T1 и T2 в (1.18), получим следующее уравнение для работы газа в адиабатном процессе: l = p1v( – p2v2. Умножив и разделив ) k – p1v1 p2vпоследнее выражение на p1v1, получим: l = 1k -1 p1v1. Так как из пер к v2 pвой формы записи уравнения адиабатного процесса: =, то v1 p 1 k-1 p2v2 p2 k p2 k ==и, следовательно, работа p1v1 p1 p k – p1v1 1- p2 k l =. (1.19) k -1 p Политропный процесс Политропным процессом называют процесс, при котором сохраняется постоянной его теплоемкость. Уравнение политропного процесса идеального газа включает в себя, как частные случаи, уравнения всех типовых термодинамических процессов. Поэтому можно записать обобщенное уравнение политропного процесса, аналогичное адиабатному:
pvn = const, (1.20) где n – показатель политропы (в частном случае адиабатного процесса n = k ).
Чтобы определить вид политропы, нужно исходить из уравнения первого закона термодинамики, записываемого в общем виде: dq = du + рdv.
Здесь dq = CdT, где C – теплоемкость политропного процесса, которая принципиально отличается от теплоемкостей CP и CV, так как является функцией не только температуры, но и самого процесса. Тогда CdT = CVdT + pdv или CV (1.21) ( – C dT + pdv = 0.
) Продифференцируем уравнение Клапейрона pv = RT, получим dT = d рv. Подставив это выражение в (1.21), получим:
( ) R CV – C d pv + pdv = 0.
( ) R CV – C Преобразуем последнее уравнение: pdv +vdp + pdv = 0, () R CV – C + R CV – C pdv + vdp = 0.
R R CP – C Так как CP – CV = R, то CV + R = CP и следовательно: pdv + R CV – C CV – C + vdp = 0. Разделим обе части равенства на pv, тогда:
R R CP – C dv dp + = 0 или CV – C v p dv dp n + = 0, (1.22) v p где CP – C n =, (1.23) CV – C n – показатель политропы. Отсюда: nCV – nC = CP -C или C -nC =CP -nCV, C 1- n = kCV – nCV = CV k – n и тогда теплоемкость политропного про( ) ( ) цесса будет равна:
k – n C = CV. (1.24) 1- n Проинтегрировав уравнение (1.22), получим: nlnv + ln p = ln const, n p1 vln pvn = ln const, следовательно: pvn = const или =.
( ) p2 v Получили уравнение политропного процесса, которое вначале в таком же виде записали по аналогии с адиабатным.
Количество теплоты, полученной 1 кг идеального газа при политропном изменении его состояния: dq = CdT, тогда:
k – n k – n Tq = C T2 – T1 = CV T2 – T1 = CVT1 -1.
() () 1- n 1- n T pv Заменив T через из уравнения Клапейрона, получим:
R k ( – n ) CV p2vq = p1v1 -1.
1- n R p1v( ) n- СV 1 p2v2 p2 n Так как = ; а = – по аналогии с адиабатным проR k -1 p1v1 p цессом, то, следовательно:
n- k ( – n k ) CV p2v2 ( – n ) p2 n q =- p1v1 1- =- p1v1 1-.
1- n R p1v1 1- n k -1 p( ) ( )( ) Работа изменения объема, совершаемая идеальным газом при политропном процессе (по аналогии с работой (1.18) при адиабатном процессе):
R RT1 Tl = T1 – T2 = 1-. Заменяя с помощью уравнения Клапейрона () n -1 n -1 T n- pv p1v1 p2v2 p2v2 p2 n T через, получаем: l = 1-, так как =, то R n -1 p1v1 p1v1 p n- p1v1 1- p2 n l =.
n -1 p Изменение внутренней энергии при политропном процессе:
du = u2 – u1 = CV T2 – T1.
( ) Покажем, что все известные типовые термодинамические процессы являются частными случаями политропного процесса, при этом теплоемкость политропного процесса С и показатель политропы n изменяются от нуля до бесконечности.
1) Если рассмотреть изохорный процесс, то его можно воспроизвести, если в уравнении политропного процесса вида pnv = const показатель политропы будет n =. Тогда получим v = const.
Следовательно, для изохорного процесса: n =, C = CV.
2) В случае изобарного процесса p = const показатель политропы ( ) n = 0 в уравнении вида: pvn = const, а C = CP.
3) При изотермическом процессе T = const показатель политропы ( ) n =1 в уравнении вида: vn-1T = const, а C = из формулы (1.24).
4) В случае адиабатного процесса показатель политропы n = k в уравнении вида: pvn = const, а C = 0 из формулы (1.24).
p-v – диаграмма p (с = сV ) изохорный процесс n = (с = сР ) изобарный процесс n = изотермический процесс n = 1 (с = ) (с = 0) адиабатный процесс n = k v Различные политропные процессы измеРис. 6.
нения состояния идеального газа.
На p -v -диаграмме совмещены все рассмотренные термодинамические процессы.
1 кг азота N2 в начальном состоянии имеет параметры р1 = H и t1 = 700°C. После политропного расширения (показатель политромH пы n =1,18 ) давление его становится равным р2 =1105. Определить мработу политропного расширения l и количество тепла q1-2, сообщенное газу. Показатель адиабаты для азота k =1,36.
T Возьмем уравнение политропного процесса в виде = const, или n-n р n-1 n- T2 р2 n р2 n =, откуда T2 = T1 ; T1 = 273 + 700° C = 973 K ; T2 = T1 р1 р 0,= 973 1,18 = 596 K.
Определим величину работы политропного расширения. Работа, производимая 1 кг газа в политропном процессе, в общем случае находится n p v как l = pdv. Для политропного процесса pvn = const или =, отку p1 v n vда p = p1. Подставляя полученное выражение в формулу для работы, v p1v1n v21-n -v11-n получим: l == p1v1n -n ; l = p1v1n. Так как p1v1n = p2v2n, то v vn 1- n p2v2 – p1vl =. Используя уравнение Клапейрона pv = RT, получим 1- n R T2 – T( ) R l = или l = T1 – T2. В тексте пособия эта формула была за() 1- n n -писана по аналогии с адиабатным процессом.
R R 8314 Дж l1-2 = T1 – T2. Для нашего случая R = RN = =.
() n -1 28 кг К N8314 ДжкДж l1-2 = 973 = 622.
( – 596 =1,65103 3,77 102 = 6,22 ) 28 0,18 кг кг Количество тепла, сообщенное газу в процессе: dq = CdT, где C – поk – n n – k литропная теплоемкость. q1-2 = C T2 – T1, т.к. C = CV = CV, тогда ( ) 1- n n -n – k R 8314 Джкал q1-2 = CV T2 394,3, так ( – T1 ; CV = = ) n -1 n -1 28 0,18 кг К кг К как 1 Дж = 0,239 кал.
1,18 -1,36 кал ккал Тогда: q1-2 = 394.
(-377 =1,486 105 =148,) 1,18 -1 кг кг 1.2. Уравнение энергии В общем виде скалярное уравнение сохранения энергии для конечных масс сплошной вязкой среды можно записать так:
d 2 (1.25) u dv рn ds + qсек..
+ 2 = F dv + dt VV S Это уравнение баланса энергии, вытекаемое из общего термодинамического закона сохранения энергии (первого закона термодинамики), которое применительно к сплошной среде формулируется так: Индивидуальная производная по времени от полной энергии данного движущегося объема среды равна сумме мощностей приложенных к выделенному объему и его поверхности внешних массовых и поверхностных сил и отнесенного к единице времени количества тепловой энергии, подведенной извне к объему.
d Здесь: qсек. = qdv, где q – количество выделяемой (поглощаеdt V ккал мой) тепловой энергии в единице массы (объема), т.е. q, pn – век кг тор единичной поверхностной силы или вектор напряжений, F – вектор единичной массовой силы.
Рассмотрим интеграл в левой части уравнения (1.25). Введем производную под знак интеграла и продифференцируем подынтегральное выражение:
dd 2 2 d dv + + u dv dt u + + 2 = u 2 dt ( dv ).
dt VV V Так как изменения массы в силу неразрывности движения сплошной ddm среды нет, то dv = = 0.
() dt dt Следовательно, второй 0 и из рассмотрения выпадает, тогда:
= dd u dv u dv + 2 = dt + 2.
dt VV Рассмотрим интеграл pn ds в правой части уравнения (1.25). Так S как вектор напряжений pn = Pn = nP, где P – тензор напряжений, являющийся симметричным, то pn ds = (nP) ds = n (P )ds = div(P )dv.
SS S V Здесь применили теорему Остроградского-Гаусса: Поток вектора сквозь поверхность, ограничивающую данный объем, равен интегралу по этому объему от дивергенции этого вектора.
Отметим, что P – это скалярное произведение тензора напряжений ( ) P на вектор скорости, являющееся вектором, а div P = P – это ( ) ( ) скалярное произведение вектора (оператора Гамильтона) на вектор P, являющееся скаляром.
( ) Подставим полученные соотношения в уравнение баланса энергии (1.25):
d 2 d u dv dt + 2 = F dv + div(P )dv + dt qdv. (1.26) VV V V Это и есть уравнение энергии для конечных масс сплошной среды.
Если перенести влево все члены уравнения (1.26) и применить к полученному интегралу теорему о среднем, то получим следующее уравнение:
d 2 dq + – F – div P – v = 0.
( ) u dt 2 dt Так как рассматриваемый малый объем среды конечен, т.е. v 0, то равным нулю будет выражение в квадратных скобках. Оставив в левой части его производную по времени от полной энергии, получим:
d 2 dq + = F + div P +. (1.27) ( ) u dt 2 dt Выражение (1.27) является уравнением энергии для элементарного объема сплошной среды. Оно выражает равенство между изменением полной энергии (кинетической и внутренней) элементарного объема движущейся жидкости, с одной стороны, и работой массовых сил, работой напряжений в жидкости на границах элементарного объема и переданным теплом, с другой.
Это уравнение является первой формой дифференциального уравнения энергии.
Преобразуем уравнение (1.27). Возьмем известное уравнение движе d ния в напряжениях в виде: = F + divP. Здесь divP или P – это скаdt лярное произведение вектора на тензор P, являющееся вектором. Умножим скалярно обе части этого векторного уравнения на вектор скорости и преобразуем левую часть уравнения, тогда получим:
dt Полученный результат вычтем из дифференциального уравнения энергии в первой форме (1.27) и после сокращения получим:
du dq =- div P + div P +.
( ) dt dt Рассмотрим операцию div P. Из векторного анализа известно, что:
( ) div P = P = P + P. Здесь – дифференциаль( ) ( ) ( ) ( ) ный тензор векторного поля скоростей или тензорное произведение векто ров и ; P ( )- это скалярное произведение двух тензоров: тензора напряжений P и дифференциального тензора векторного поля скоростей;
P – скалярное произведение двух векторов: вектора скорости и ( ) вектора P или divP. Скалярное произведение как двух тензоров P, так и двух векторов P – является скаляром. Это очевидно, ( ) ( ) поскольку div P или скалярное произведение векторов и P также ( ) ( ) является скаляром.
| • Главная | • Контакты |
Источник