В сосуд налиты ртуть и вода кусок гранита

В этой статье представляю задачи, связанные с плаванием тел и силой Архимеда. Более простые задачи вы найдете в предыдущей статье.

Задача 1. Кусок металла в воздухе весит Н, в воде – Н, в жидкости А – Н, а в жидкости B – Н. Определите плотности жидкостей А и В.

Пусть, пренебрегая Архимедовой силой в воздухе, вес металла равен Н. Тогда вес этого куска в воде равен весу в воздухе, уменьшенному на вес вытесненной куском воды: Н. То есть кусок вытесняет воду, вес которой равен 1 Н: , и мы можем тогда определить объем этого куска металла:

Такой же точно объем данный кусок вытеснит и будучи погруженным в другие жидкости. Тогда для А вес вытесненной  жидкости равен Н, а для жидкости В Н – мы нашли вес вытесненных жидкостей, то есть силу Архимеда в них. А объем мы знаем, то есть можем вычислить и плотности:

Задача 2. Слиток золота и серебра имеет массу 300 г. При погружении в воду его вес равен Н. Определите массу серебра и массу золота в этом слитке.

Итак, известно очень мало, но даже из этого небольшого количества данных возможно вытащить нужные сведения для составления системы уравнений – к сожалению, одним не обойдемся. Что известно? То, что масса золота и серебра вместе – это 300 г. Можем записать: . Также мы знаем вес этого куска – он равен Н. А раз он весит в воде 2, 75 Н, то вес вытесняемой им воды – или сила Архимеда – равен Н. Зная силу Архимеда, можем найти объем:

Определим среднюю плотность куска:

Среднюю плотность можно записать также, если использовать отдельно массы золота и серебра в слитке, и отдельно – объемы. Масса всего слитка состоит из масс золота и серебра в нем, это уже записано выше формулой (). Точно также и объем слитка равен сумме объемов золота и серебра: . А объемы золота и серебра неразрывно связаны с их плотностями, которые можно определить по таблице. Тогда , .

Если в знаменателе привести сумму дробей к общему знаменателю, то получим:

Подставляем числа, вместо массы золота в слитке используем разность: :

Или

Откуда масса серебра в этом слитке 0,217 кг, или 217 г, а масса золота тогда 83 г.

Задача 3. К куску железа массой г привязан кусок пробки массой г. При полном погружении этих тел в воду их вес равен 64 мН. Определить плотность пробки. Объемом и массой нити пренебречь.

Найдем объем железа, зная его плотность и массу:

Масса всей системы равна , вес системы в воде равен ее весу на воздухе за вычетом силы Архимеда:

Теперь подставим числа:

Ответ: 240 кг/м

Задача 4. В сосуде с водой в вертикальном положении плавает тонкий, полый алюминиевый цилиндр. На дне цилиндра помещен некоторый груз. Площадь поперечного сечения цилиндра – 5 см , высота цилиндра 40 см, а его масса с грузом 100 г. Какая часть цилиндра погружена в воду?

Так как цилиндр плавает, то сила Архимеда равна силе тяжести. Сила Архимеда равна весу вытесненной цилиндром воды, то есть как раз весу того объема, который будет погружен в воду. Этот объем (погруженный) равен , где – площадь поперечного сечения цилиндра, – высота погруженной части. Сила Архимеда равна . Вес цилиндра равен

Приравниваем:

Ответ: 20 см.

Задача 5. Изготовленный из дуба брусок с прямоугольным поперечным сечением плавает на границе раздела двух сред, одна из которых имеет плотность 700 кг/м. Определить плотность другой жидкости, если известно, что брусок погружен в верхнюю жидкость на одну треть своего объема.

Плотность дуба по-разному указана в различных источниках, но она близка к 700 кг/м, откуда можем сделать вывод, что жидкость с известной плотностью – та, что налита сверху. А та, которая образует нижний слой, более плотная, иначе дуб тонул бы.

Теперь, когда определились хотя бы с тем, где какая жидкость находится, рассуждаем. Весь кусок помещен в жидкость, но находится в верхней жидкости с плотностью 700 кг/м, а – в другой жидкости, плотность которой и надо найти. Тогда на этот кусок действуют две силы Архимеда, обусловленные наличием двух жидкостей. То есть вес куска будет уравновешен действием двух сил Архимеда:

Масса куска определяется плотностью дуба:

Тогда:

Сокращаем:

Отсюда:

Как уже сказано было раньше, плотность дуба указана по-разному в разных таблицах. Когда я решала эту задачу, я взяла плотность дуба равной 600 кг/м, и тогда у меня получилось, что плотность второй жидкости равна 550 кг/м, и, следовательно,  она должна быть верхним слоем, а не нижним (плотность-то ее меньше, чем 700 кг/м).Если принять плотность дуба 800 кг/м, то плотность второй жидкости равна  кг/м и тогда все получается: дуб плавает, так как его плотность меньше плотности нижней жидкости, а верхняя жидкость не опускается вниз, так как ее плотность меньше, чем у той, что на дне.

Задача 6. Оболочка аэростата, привязанного с помощью стального троса к крюку на столбе, весит 550 Н. Он вмещает 350 м газа, плотность которого 0,6 кг/м. Определите силу, действующую на крюк, если масса троса 75 кг.

В этой задаче сила Архимеда настолько велика (объем-то какой!), что может не только уравновесить вес оболочки, газа в ней и троса, но и превосходить этот суммарный вес! Отсюда как раз происхождение силы, приложенной к крюку: это разность веса всей системы и силы Архимеда, или лучше наоборот: разность силы Архимеда и веса.

Вес системы:

Сила Архимеда равна:

Разность сил Архимеда и веса системы: Н.

Задача 7. В сосуд налиты ртуть и вода. Кусок гранита, помещенный в сосуд, плавает на границе раздела этих жидкостей. Определите отношение объемов гранита, находящихся в воде и в ртути.

Задача-то похожа на 5-ую.  Ртуть, понятное дело, образует нижний слой, так как .

Сила тяжести уравновешивается двумя силами Архимеда:

Масса куска гранита определяется его плотностью:

Тогда:

И

Сокращаем:

Разделим на :

Отношение объемов отсюда равно:

Ответ: