В сосуд объемом v нагнетают воздух при помощи поршневого насоса

2017-10-05

Имеется сосуд объемом $V$ и поршневой насос с объемом камеры $V^{ prime}$ (рис. 1). Сколько качаний нужно сделать, чтобы давление в сосуде уменьшилось от $p$ до $p^{ prime}$? Атмосферное давление равно $p_{0}$. Изменением температуры пренебречь.

Решение:

Мы, естественно, считаем, что начальное давление $p$ не превосходит наружного давления $p_{0}$, иначе можно сначала просто выпустить излишек газа.

Эту задачу можно решить, используя закон Бойля – Мариотта, хотя в процессе откачки масса газа в сосуде изменяется. Действительно, рассмотрим первый ход поршня влево; при этом клапан А закрыт, клапан В открыт и газ из сосуда входит в камеру насоса. Давление газа уменьшается от первоначального значения до некоторого $p_{1}$. Поскольку процесс изотермический и масса газа при этом не меняется, можно воспользоваться законом Бойля – Мариотта:

$pV = p_{1}(V + V^{ prime})$. (1)

При обратном ходе поршня клапан В закрывается, и воздух из камеры насоса выталкивается наружу через клапан А. При втором ходе поршня влево все повторяется точно так же, только давление в начале хода в сосуде равно $p_{1}$. Обозначая давление в конце второго хода через $p_{2}$, имеем

$p_{1}V = p_{2}(V + V^{ prime})$.

Подставляя сюда $p_{1}$ уравнения (1), находим

$p_{2} = p left ( frac{V}{V + V^{ prime}} right )^{2}$.

Рассуждая дальше таким же образом, нетрудно убедиться, что после $n$ ходов поршня давление в сосуде будет равно

$p_{n} = p left ( frac{V}{V+V^{ prime}} right )^{n}$. (2)

По формуле (2) определяется число качаний $n$, необходимое для того, чтобы понизить давление в сосуде до значения $p_{n} = p^{ prime}$:

$n = frac{lg (p^{ prime} / p)}{lg [V / (V + V^{ prime})]}$.

рис.2

Интересно построить график зависимости давления в сосуде от числа качаний $n$. Это есть график показательной функции с основанием $V/(V + V^{ prime})

Согласно формуле (2) по мере откачки давление воздуха в сосуде убывает и при достаточно большом числе качаний $n$ может быть сделано сколь угодно малым. Однако в действительности ни один насос не может откачать воздух из сосуда полностью, так, чтобы давление в нем обратилось в нуль. Для каждого насоса существует некоторое минимальное давление $p_{min}$, ниже которого он не может дать разрежение. Причина этого – существование вредных пространств, неидеальная работа клапанов и т. п. Например, когда поршень насоса движется вправо, выталкивая воздух из камеры в атмосферу, между поршнем и клапаном неизбежно остается пусть даже очень маленький, но конечный объем $Delta V$. Поэтому не весь воздух из камеры будет вытолкнут в атмосферу. Это и замедляет откачку и в конце концов приводит к тому, что при некотором давлении в сосуде насос вообще начинает работать вхолостую. Действительно, при давлении в сосуде $p_{min}$ воздух, сжатый от первоначального объема камеры $V^{ prime}$ до объема $Delta V$, будет иметь давление не выше атмосферного $p_{0}$ и не сможет выйти наружу. Итак, для определения предельного давления, обусловленного существованием вредного пространства, можно написать условие

$p_{min} V^{ prime} = p_{0} Delta V$, откуда $p_{min} = p_{0} Delta V/V^{ prime}$. (3)

Для получения больших разрежений обычно используют несколько насосов, соединенных последовательно. Насос каждой последующей ступени откачивает воздух не в атмосферу, а в объем, из которого воздух откачивается насосом предыдущей ступени.

Источник