В сосуд с чистой водой налили 6 литров
При решении задач на сплавы и смеси считают, что сумма масс сплавляемых веществ равна массе получаемого сплава, что сумма масс вещества, входящего в сплавы равна массе этого вещества в полученном сплаве. Аналогичное допущение принимаем и для сумм масс (объёмов) при смешивании жидкостей.
Рассмотрим подготовительную задачу.
Задача 1. Имеется уксусный раствор массой 1,5 кг, содержащий 40 % уксуса. Сколько килограммов воды нужно добавить в раствор, чтобы новый раствор содержал 10 % уксуса?
Решение. I способ.
1) 40 : 10 = 4 (раза) — во столько раз уменьшилась концентрация уксуса в растворе и увеличилась масса раствора,
2) 1,5 * 4 = 6 (кг) — масса нового раствора,
3) 6 – 1,5 = 4,5 (кг) — воды надо добавить.
II способ. 1) 0,4 * 1,5 = 0,6 (кг) — масса уксуса в первом растворе.
2) Пусть добавили x кг воды. Составим уравнение:
0,1(1,5 + x) = 0,6.
Оно имеет единственный корень 4,5. Значит, надо добавить 4,5 кг воды.
Ответ. 4,5 кг.
Рассмотрим способы решения задач на смеси и сплавы из сборников вариантов для подготовки к ЕГЭ.
Задача 2. (2017) В сосуд, содержащий 7 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 8 литров воды. Определите процентную концентрацию того же вещества в новом растворе.
Задача 3. (2018) Имеется два сплава. Первый содержит 25 % никеля, второй — 30 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 28 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение. Пусть масса первого сплава x кг, второго (150 – x) кг, третьего — 150 кг. Найдём массу никеля в каждом из трёх сплавов. Никеля было
в первом сплаве 0,25x кг,
во втором — 0,3(150 – x) кг,
в третьем — 0,28 *150 = 42 (кг).
Составим уравнение:
0,25x + 0,3(150 – x) = 42.
Решив уравнение, получим его единственный корень x = 60. Теперь ответим на вопрос задачи. Масса первого сплава 60 кг, масса второго сплава 90 кг, первая меньше второй на 30 кг.
Ответ. На 30 кг.
Задача 4. (2019) Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 14 % меди. Масса второго сплава больше массы первого сплава на 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % меди. Найдите массу третьего сплава.
Решение. Пусть масса первого сплава x кг, второго (x + 7) кг, третьего — (2x + 7) кг. Меди было в первом сплаве 0,05x кг, во втором — 0,14(x + 7) кг, в третьем — 0,1(2x + 7) кг. Составим уравнение:
0,05x + 0,14(x + 7) = 0,1(2x + 7).
Решив уравнение, получим его единственный корень x = 28. При x = 28 масса третьего сплава 2x + 7 равна 63 кг.
Ответ. 63 кг.
Задача 5. (2017) Смешав 70 %-й и 60 %-й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 %-й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 %-го раствора той же кислоты, то получили бы 70 %-й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 %-го раствора кислоты использовали для получения смеси?
Решение. Пусть масса первого раствора x кг, второго y кг. Приравняв массы кислоты до смешивания и после смешивания, составим два уравнения:
0,7x + 0,6y = 0,5(x + y + 2),
0,7x + 0,6y + 0,9*2 = 0,7(x + y + 2).
Решив систему этих двух уравнений, получим её единственное решение:
x = 3, y = 4. Использовали 3 кг 70 %-го раствора кислоты.
Ответ. 3 кг.
Задача 6. (2017) Имеется два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 50 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 28 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Для второго смешивания возьмём 1 кг первого раствора и 1 кг второго, получим 2 кг смеси. Составим первое уравнение:
Решив систему уравнений (1) и (2), получим её единственное решение: x = 12, y = 60. В первом сосуде содержится x * 100 / 100 = 12 (кг) кислоты. Ответ. 12 кг.
Для самостоятельного решения
7. Имеется 400 г морской воды, содержащей 4 % соли. Сколько граммов чистой воды нужно добавить в эту морскую воду, чтобы новый раствор содержал 2 % соли?
8. (2016) В сосуд, содержащий 10 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Определите процентную концентрацию того же вещества в новом растворе.
9. (2009) В бидон налили 4 литра молока трёхпроцентной жирности и 6 литров молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?
10. (2017) Имеется два сплава. Первый содержит 5 % никеля, второй — 20 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 15 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
11. (2017) Первый сплав содержит 5 % меди, второй — 11 % меди. Масса второго сплава больше массы первого сплава на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10 % меди. Найдите массу третьего сплава.
12. В первом сплаве отношение массы олова к массе свинца 2 : 3, во втором 1 : 5. В каком отношении надо взять массы этих сплавов, чтобы получить третий сплав с отношением массы олова к массе свинца 1 : 2?
13. В первом сплаве отношение массы олова к массе свинца 2 : 3, во втором 1 : 5. В каком отношении надо взять массы этих сплавов, чтобы получить третий сплав с отношением массы олова к массе свинца 1 : 2?
Ответы. 7. 400 г. 8. 16 %. 9. 4,8 %. 10. На 75 кг. 11. 6 кг. 12. 5 : 2. 13. 5 : 2.
Для работы с задачами в классе можно использовать вариант заметки в виде презентации: Сплавы и смеси. Задачи 11 из ЕГЭ.
Источник
Математику нельзя изучать,
наблюдая, как это делает сосед.
А.Нивен.
Цель урока: Создание условий для выработки
алгоритма решения задач на смеси, сплавы,
растворы.
Задачи урока:
Обучающие:
- Обобщение и систематизация знаний, умений и
навыков учащихся по теме “Решение задач на
смеси, сплавы, растворы”; - Формирование умений и навыков применения
знаний в нестандартной ситуации.
Развивающие:
- Способствовать развитию внимания, логического
мышления, самостоятельной учебно-познавательной
деятельности.
Воспитывающие: Воспитывать математическую
культуру, ответственность, настойчивость в
учебе.
Тип урока: практикум по решению задач.
Формы работы учащихся: коллективная,
индивидуальная.
Оборудование: Компьютер,
мультимедиа-проектор, дидактический раздаточный
материал.
Ход урока
1. Организационный момент.
Эпиграф СЛАЙД 2
– Сообщение темы урока. СЛАЙД 3
– Постановка цели урока.
2. Подготовительный этап.
Повторение теоретического материала о
процентах: СЛАЙД 4
– Что такое процент? (Сотая часть числа)
– Как перевести проценты в дробь? (Разделить
количество процентов на 100)
– Как перевести дробь в проценты? (Умножить
данную дробь на 100)
– Как найти проценты от данного числа? (Проценты
перевести в дробь и умножить данное число на эту
дробь)
– Как найти число по его процентам? (Проценты
перевести в дробь и разделить данное число на эту
дробь)
– Как найти процентное отношение двух чисел?
(Первое число разделить на второе и результат
умножить на 100)
– Что такое концентрация вещества? (Это
величина, которая определяет содержание
компонента в сплаве, смеси, растворе)
3. Закрепление материала. Решение задач.
Рассмотрим способы решения задач:
арифметический, с помощью уравнения и с помощью
систем уравнений. СЛАЙД 5
Арифметический способ.
СЛАЙД 6. Задача 1. В сосуд, содержащий 5 литров 12
процентного водного раствора некоторого
вещества, добавили 7 литров воды. Сколько
процентов составляет концентрация
получившегося раствора?
Рассмотрим три способа решения этой задачи.
Первый способ.
объем
получившегося раствора
объем
чистого вещества в первом растворе.
концентрацияполучившегося раствора.
Второй способ. По формуле.
где концентрация
первого и второго растворов соответственно.
объемы
первого и второго растворов соответственно
Третий способ.
Объем раствора увеличился в 2,4 раза (было 5 л.,
стало 12 л. 12:5 = 2,4),
содержание вещества не изменилось, поэтому
процентная концентрация получившегося раствора
уменьшилась в 2,4 раза.12:2,4=5(%)
Ответ: 5 %.
СЛАЙД 7. Задача 2. Сколько литров воды нужно
добавить в 2 л водного раствора, содержащего 60%
кислоты, чтобы получить 20 процентный раствор
кислоты?
Объем чистой кислоты в растворе не меняется,
процентное содержание кислоты в растворе
уменьшится в 3 раза (60:20=3)
Объем раствора увеличится в 3 раза: 2 * 3=6(л)
6 – 2 = 4 (л) воды нужно добавить.
Ответ: 4 л.
СЛАЙД 8. Задача 3. Смешали 4 литра 15 процентного
водного раствора с 6 литрами 25 процентного
водного раствора этого же вещества. Сколько
процентов составляет концентрация
получившегося раствора?
Рассмотрим два способа решения этой задачи.
Первый способ. По формуле.
где концентрация
первого и второго растворов соответственно.
объемы
первого и второго растворов соответственно.
Второй способ.
объем
получившегося раствора.
объем
чистого вещества в четырех литрах раствора.
объем
чистого вещества в шести литрах раствора.
объем
чистого вещества в получившемся растворе.
концентрация получившегося раствора.
Ответ: 21%
СЛАЙД 9. Задача 4. Влажность сухой цементной
смеси на складе составляет 18%. Во время перевозки
из-за дождей влажность смеси повысилась на 2%.
Найдите массу привезенной смеси, если со склада
было отправлено 400 кг.
воды в
цементе на складе.
сухого
вещества в цементе на складе.
сухого
вещества в цементе в 328 килограммах.
масса
привезенной смеси.
Ответ: 410 кг.
Минута отдыха.
Напишите в воздухе кончиком носа свою фамилию и
имя.
Решение задач с помощью уравнения.
СЛАЙД 10. Задача 5. Сколько надо взять 5
процентного и 25 процентного раствора кислоты,
чтобы получить 4 л 10 процентного раствора
кислоты?
0,1· 4=0,4(л) – кислоты в новом растворе.
Пусть х л надо взять первого раствора. Тогда
второго – (4 – х) л, а количество
получившегося раствора 2х.
0,05х л – кислоты в первом растворе.
0,25· (4 – х) л – кислоты во втором растворе.
0,05х + 0,25· (4 – х) = 0.05х + 1 – 0,25х = (1 –
0,2х) л.
Получим уравнение
3 л надо взять первого раствора.
4 – 3 = 1 л – второго.
Ответ: 1 л, 3 л.
СЛАЙД 11. Задача 6. В сосуд емкостью 6л налито 4л
70% раствора серной кислоты. Во второй сосуд той же
емкости налито 3л 90% раствора серной кислоты.
Сколько литров раствора нужно перелить из
второго сосуда в первый, чтобы в нем получился 74%
раствор серной кислоты? Найдите все допустимые
значения процентного содержания раствора серной
кислоты в 6л раствора в первом сосуде.
Пусть х литров раствора кислоты нужно
перелить из второго сосуда в первый. Тогда в нем
станет (4 + х) литров 74 процентного раствора.
кислоты в
первом сосуде.
(0,9х) литров – кислоты нужно перелить.
(2,8 + 0,9х) литров – кислоты в новом растворе.
Учитывая, что новый раствор 74% и его объем (4 + х)
литров, то кислоты в нем (0,74·(4 + х )) литров.
Получим уравнение:
Найдем допустимые значения процентного
содержания.
Так как в первый сосуд налит 70 процентный
раствор серной кислоты, а будем доливать 90
процентный раствор, то процентное содержание
раствора будет увеличиваться.
Из второго сосуда в первый можно перелить
максимальное количество раствора кислоты – 2
литра.
кислоты в
двух литрах.
кислоты
будет в первом сосуде.
Тогда процентное содержание раствора серной
кислоты в шести литрах раствора в первом сосуде
может быть
Ответ: 1;
СЛАЙД 12. Задача 7. Первый сплав содержит 10%
меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава
больше массы первого на 3кг. Из этих двух сплавов
получили третий сплав, содержащий 30% меди.
Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в
килограммах.
Пусть х кг масса первого сплава. Тогда масса
второго сплава (х + 3) кг, а масса третьего
сплава (х + (х + 3)) = (2х + 3) кг.
Масса меди в первом сплаве (0,1х) кг, во втором
– (0,4·(х + 3)) кг, а в третьем – (0,3· (2х +3)) кг.
Получим уравнение:
3 кг масса первого сплава.
2 · 3 + 3 = 9 (кг) – масса третьего сплава.
Ответ: 9 кг.
СЛАЙД 13. Задача 8. Имеется два сплава золота и
серебра: в одном массы этих металлов находятся в
отношении 2:3, а в другом – в отношении 3:7. Сколько
килограммов нужно взять от каждого сплава, чтобы
получить 8 кг нового сплава, в котором золото и
серебро находились бы в отношении 5:11?
Пусть х кг масса куска, взятого от первого
сплава. Тогда масса куска, взятого от второго
сплава (8 – х) кг.
Масса золота в первом куске
Масса золота во втором куске
Масса золота в новом сплаве
Получим уравнение
1 кг нужно взять от первого сплава.
8 – 1 = 7 (кг) – от второго сплава.
Ответ: 1кг; 7 кг.
В этой задаче можно было бы составить и другие
уравнения
*
*
*
Решение задач с помощью систем уравнений
СЛАЙД 14. Задача 9. Имеется два сплава. Первый
содержит 10% никеля, второй- 30% никеля. Из этих двух
сплавов получили третий сплав массой 200 кг,
содержащий 25% никеля. На сколько килограммов
масса первого сплава меньше массы второго?
Пусть х кг масса первого сплава, у кг –
второго.
Так как масса третьего сплава 200 кг, то получим
уравнение
Масса никеля в первом сплаве (0,1х) кг, во
втором – (0,3у) кг, а в новом – 200·0,25=50 кг. Получим
второе уравнение
Получим систему уравнений:
50 кг – масса первого сплава.
150 кг – масса второго сплава.
150 – 50 = 100 (кг)
Ответ: на 100 кг.
СЛАЙД 15. Задача 10. При смешивании 30
процентного раствора серной кислоты с10
процентным раствором серной кислоты получилось
400 г 15 процентного раствора. Сколько граммов 30
процентного раствора было взято?
Пусть х г масса 30 процентного раствора
серной кислоты, а у г – 10 процентного. Получим
уравнение х + у = 400.
кислоты в
новом растворе.
кислоты в
первом растворе.
кислоты во
втором растворе.
Получим второе уравнение
Получим систему уравнений:
100 г 30 процентного раствора было взято.
Ответ:100 г.
Слайд 16. Задача 11. Имеются два слитка сплава
серебра и олова. Первый слиток содержит 360г
серебра и 40г олова, а второй слиток – 450г серебра
и 150г олова. От каждого слитка взяли по куску,
сплавили их и получили 200г сплава, в котором
оказалось 81% серебра. Определите массу (в граммах)
куска, взятого от второго слитка.
Первый слиток имеет вес 400 г, второй – 600 г.
серебра в
первом слитке (соответственно и в первом куске).
серебра во
втором слитке (соответственно и во втором куске).
Пусть х г масса куска, взятого от первого
слитка, а у г – от второго.
0,9х (г) – серебра в первом куске;
0,75у (г) – серебра во втором куске;
200 * 0,81 = 162 (г) – серебра в новом сплаве.
Получим систему уравнений:
120 г нужно взять от второго слитка.
Ответ: 120 г.
СЛАЙД 17. Задача 14. Первый раствор содержит 40%
кислоты, а второй – 60% кислоты. Смешав эти растворы
и добавив 5 л воды, получили 20 процентный раствор.
Если бы вместо воды добавили 5 л 80 процентного
раствора, то получился бы 70 процентный раствор.
Сколько литров 60 процентного раствора кислоты
было первоначально?
Пусть х л было 40 процентного, а у л – 60
процентного раствора кислоты. Тогда нового, 20
процентного раствора – (х + у + 5) л.
0,4х (л) – кислоты в первом растворе;
0,6у (л) – кислоты во втором растворе;
0,2·(х + у + 5) (л) – кислоты в новом растворе.
Получим уравнение
кислоты в 80
процентном растворе;
кислоты в
новом, 70 процентном растворе.
Получим второе уравнение
Получим систему уравнений:
2 л 60 процентного раствора было первоначально.
Ответ: 2 л.
Контроль знаний. Самостоятельная работа.
Учащиеся выполняют работу по карточкам и сдают
на проверку.
Приложение 1
Домашнее задание.
Даются карточки с дифференцированными
заданиями.
Приложение 2
Источник