В сосуд с ртутью опущен открытый капилляр

– 81 –

ность жидкости ρ, поверхностное натяжение σ. [ x = 2 sin
θ⋅ σ ]
2 ρg
(6, с. 148)
Указания по решению. Боковая поверхность слоя жидкости имеет сфери-
ческую форму. Изобразим на рис. 31 центр кривизны боковой поверхности
слоя жидкости – точку О. Рассмотрим
треугольник АОВ:
R−h h
cos θ = = 1 − , отсюда
R R

h
R= – радиус кривизны поверхности.
1 − cos θ
Под горизонтальной поверхностью с радиусом кривизны, равным беско-
нечности, добавочного давления нет. Поэтому избыточное давление созда-
ется только под боковой поверхностью слоя жидкости. По закону Паскаля
добавочное давление, приложенное к поверхности жидкости, передается
без изменения во все точки жидкости.
Давление Лапласа:
2σ 2σ (1 − cos θ )
Δp = = .
R h
Оно уравновешивается гидростатическим давлением:
Δp = ρgh ,
отсюда после постановки получаем:
2σ (1 − cos θ )
= ρgh ,
h
тогда отсюда

2σ ⋅ 2 sin 2
θ
h2 = 2 , откуда
ρg

h = 2 sin
θ σ .
2 ρg

– 82 –

Задача №6.8. Определите максимальное и минималь-
ное давление внутри сферической капли жидкости, ко-
торая плавает в другой жидкости (рис. 32). Расстояние
от центра капли до поверхности жидкости h, радиус
капли R, плотность жидкостей ρ, поверхностное натя-
жение на границе раздела жидкостей σ. [pmax=р0+2σ/R+ρg(h+R);
pmin= р0+2σ/R+ρg(h-R)] (6, с. 149)
Указания по решению. Давление внутри сферической капли складывается
из атмосферного давления, гидростатического давления столба жидкости
над данной точкой и добавочного давления Лапласа, обусловленного кри-
визной поверхности капли. Т.к. первое и последнее слагаемые давления
одинаковы в любом месте капли, то максимума и минимума давление дос-
тигает в тех точках внутри капли, где максимальна и минимальна высота
столба жидкости над выбранной точкой. Такими точками являются соот-
ветственно нижняя и верхняя точки сферической границы между жидко-
стями.
Выражения для искомых давлений запишите самостоятельно и пояс-
ните по рисунку.

Задача №6.9. Внешний радиус мыльного пузыря равен R, толщина его
стенки равна h. Найдите давление воздуха внутри пузыря. Давление возду-
ха вне пузыря р0, поверхностное натяжение воды σ.
1 1
[ p = p0 + 2σ ⋅ ( + ) ] (6, с. 149)
R R−h
Указания по решению. Мыльный пузырь представляет собой пленку,
имеющую две поверхности – внутреннюю и внешнюю (рис. 33). Добавоч-
ное давление, вызываемое кривизной поверхности, создает каждая из этих
двух поверхностей. Давление Лапласа для внешней поверхности равно

– 83 –

2σ
p1 = ,
R
аналогично для внутренней поверхности с учетом ее ра-
диуса получаем
2σ
p2 = .
R−h
Тогда искомое давление воздуха внутри пузыря равно сумме
1 1
p = p0 + 2σ ⋅ ( + ),
R R−h
где р0 – внешнее атмосферное давление.

Задача №6.10. Воздушный пузырек диаметром d=0,02 мм находится на
глубине h=25 см под поверхностью воды. Определите давление воздуха в
этом пузырьке. Атмосферное давление принять нормальным. Поверхно-
стное натяжение воды σ =73 мН/м, а ее плотность ρ =1 г/см3. [118 кПа]
(4, с. 111)
Указания по решению. Воздушный пузырек внутри жидкости имеет одну
поверхность в отличие от мыльного пузыря в воздухе. Эта поверхность
есть граница между водой и воздухом. Поэтому добавочное давление Лап-
ласа внутри пузырька равно
2σ
Δp = .
d /2
Суммарное давление есть сумма атмосферного давления, гидростатическо-
го (с учетом глубины погружения пузырька) давления и давления Лапласа.
С учетом сказанного запишите самостоятельно выражение для иско-
мой величины, произведите расчет и сравните полученный результат с от-
ветом к задаче.

Задача №6.11. В сосуд с ртутью опущен открытый капилляр. Разность
уровней ртути в сосуде и капилляре h=3,7 мм. Принимая плотность ртути

– 84 –

ρ =13,6 г/см3, а ее поверхностное натяжение σ =0,5 Н/м, Определите радиус
кривизны R ртутного мениска в капилляре. [2,03 мм] (4, с. 108)
Указания по решению. Избыточное давление, вы-
званное кривизной мениска R, образованного по при-
чине не смачивания ртутью стенок капилляра, равно
2σ
Δp = .
R
Т.к. ртуть – не смачивающая жидкость, то она
в капилляре опускается на такую высоту (рис. 34),
при которой гидростатическое давление ρgh уравновешивается давлением
Лапласа, т.е.

ρgh = 2σ .
R
Отсюда легко найти искомую величину. Произведите вычисления само-
стоятельно и сравните ответ. Продумайте: какой столб жидкости создает
указанное выше давление ρgh ?

Задача №6.12. Капилляр радиуса R опускают в смачивающую жидкость с
поверхностным натяжением σ и плотностью ρ. Определите высоту, на ко-
торую поднимется жидкость. Определите работу, совершенную силами
поверхностного натяжения, и потенциальную энергию жидкости в капил-
ляре. Почему эти величины не совпадают? [h=2σ/ρgR; A=4πσ2/ρg;
U=2πσ2/ρg. Часть энергии переходит в тепло.] (6, с. 151)
Указания по решению. Высоту, на которую поднимется жидкость в капил-
ляре, можно найти двумя способами: 1) рассматривая равновесие сил, дей-
ствующих на поднятый столбик жидкости в капилляре, 2) рассматривая
уравновешивание давления столба жидкости добавочным давлением Лап-
ласа.
В первом случае имеем

– 85 –

mg = σ ⋅ 2πR ,
где масса столба жидкости в капилляре

m = ρ ⋅ πR 2 h .
Тогда искомая высота равна
2σ
h= .
ρgR
Во втором случае имеем

ρgh = 2σ ,
R
где R – радиус кривизны мениска, равный в случае полного смачивания
радиусу капилляра. Отсюда получаем то же выражение для высоты.
Силы поверхностного натяжения совершили работу по перемеще-
нию поверхности жидкости в капилляре на высоту h, поэтому она равна
4πσ 2
A = Fнат. ⋅ h = 2πRσ ⋅ h = .
ρg
Потенциальная энергия жидкости в капилляре равна

h 2 h 2 4σ 2 2πσ 2
U = mg = ρπR hg ⋅ = ρπR g ⋅ = .
2 2 2( ρgR ) 2 ρg
Подумайте, почему эти величины не совпадают.

Задачи для самостоятельного решения.
1. Определите радиус R капли спирта, вытекающей их узкой вертикаль-
ной трубки r =1 мм. Считать, что в момент отрыва капля сферическая. По-
верхностное натяжение спирта σ =22 мН/м, а его плотность ρ =1 г/см3.
[1,61 мм] (5, с. 70)
2. Какую работу нужно совершить, чтобы жидкость объема V с поверх-

ностным натяжением σ растянуть в пленку, толщина которой Δ<< 3 V ?
[А=2Vσ/Δ] (6, с. 147)

– 86 –

3. Большая и тонкая пластина не тонет, если ее осторожно положить на
поверхность воды. Определите максимальную массу единицы ее площади.
Пластина водой не смачивается. [m=0,55 г/см2] (6, с. 148)
4. Докажите, что давление жидкости (с по-
верхностным натяжением σ) под ее цилинд-
рической поверхностью радиуса R, равно σ/R.
Для доказательства воспользуйтесь условием

равновесия объема жидкости, лежащего над
плоскостью А (рис. 35). [6, с. 149]
5. Мыльный пузырь, заполненный горячим воздухом, неподвижно висит
в атмосфере (рис. 36). Атмосферное давление р0 и
температура Т0. Плотность мыльной пленки ρ, ее
толщина δ, а радиус пузыря r. Найдите температуру
воздуха внутри пузыря, если поверхностное натяжение
мыльной воды равно σ. Молярная масса воздуха μ.
μ ( p0 r + 4σ )
[ T = T0 , где R – газовая постоянная] (6, с. 167)
μp0 r − 3δρRT0

6. Давление воздуха внутри мыльного пузыря на Δp = 200 Па больше
атмосферного. Определите диаметр d пузыря. Поверхностное натяжение
мыльного раствора σ = 40мН/м. [1,6 мм] (4, с. 111)
7. Жидкость в длинном капилляре (рис. 37) поднимается на высоту h.
Определите радиус кривизны мениска в корот-
ком капилляре, длина которого h/2. Радиус обо-
их капилляров r, краевой угол θ. [rх=2r/cosθ]
(6, с. 152)
8. В капилляре, опущенном вертикально в во-
ду на глубину l, вода поднялась на высоту h.
Нижний конец капилляра закрывают, вынимают капилляр из воды и вновь

– 87 –

открывают (рис. 38). Определите длину стол-
ба воды, оставшейся в капилляре, если сма-
чивание полное. [х=2h, если l>h; х=l+h,
если l<h] (6, с. 152)
9. На какую высоту поднимется жидкость
между двумя вертикальными пластинами,
расстояние между которыми Δ, если краевой
угол у первой пластины θ1, у второй θ2? Плотность жидкости ρ, ее поверх-

ностное натяжение σ. [ x =
σ ⋅ (cos θ + cos θ ) ] (6, с. 153)
1 2
ρgΔ
10. Вертикальный стеклянный капилляр погружен в воду. Определите
радиус кривизны мениска, если высота столба воды в трубке h=20 мм.
Плотность воды ρ =1 г/см 3 , поверхностное натяжение σ =73 мН/м.
[744 мкм] (4, с. 112)
11. Капилляр с внутренним радиусом 0,5 мм опущен в жидкость. Опре-
делите массу жидкости, поднявшейся в капилляре, если ее поверхност-
ное натяжение равно 60 мН/м. [1,92⋅10-5 кг] (4, с. 112)
12. Широкое колено U-образного манометра имеет диаметр dl=2 мм, уз-
кое — d2=1 мм. Определите разность Δh уровней ртути в обоих коленах,
если поверхностное натяжение ртути σ =0,5 Н/м, плотность ртути
ρ =13,6 г/см2, а краевой угол θ =38°. [Δh = 5,6 мм] (4, с. 112)

– 88 –

Приложение 1.
Обозначения используемых величин и их единицы измерения

Величина Обозначение Единицы измерения
масса m кг
молярная масса μ кг/моль
масса одной молекулы m0 кг
количество вещества ν моль
число молекул N —
постоянная Авогадро NA 1/моль
давление p Па
объем V м3
о
температура по шкале Цельсия t С
термодинамическая T К
температура
газовая постоянная R Дж/(моль⋅К)
постоянная Больцмана k Дж/К
плотность ρ кг/м3
концентрация n 1/м3
скорость v м/с
средняя скорость v м/с

средняя квадратичная скорость vкв м/с

наиболее вероятная скорость vв м/с
функция распределения по f(v) —
скоростям
относительная скорость u —
функция распределения по f(u) —
относительным скоростям

– 89 –

средняя длина свободного l м
пробега
среднее число столкновений z —
в единицу времени
эффективный диаметр молекул d м
коэффициент диффузии D м2/с
коэффициент теплопроводности λ Н/(К⋅с)
коэффициент вязкости η Па⋅с
давление Лапласа Δp Па
поверхностное натяжение σ Н/м
радиус кривизны R м
работа расширения газа А Дж
работа по сжатию газа А′ Дж
количество теплоты Q Дж
внутренняя энергия U Дж
изменение внутренней энергии ΔU Дж
теплоемкость c Дж/К
удельная теплоемкость c уд Дж/(кг⋅К)

молярная теплоемкость cμ Дж/(моль⋅К)

молярная теплоемкость cμV Дж/(моль⋅К)
при постоянном объеме
молярная теплоемкость cμp Дж/(моль⋅К)
при постоянном давлении
коэффициент Пуассона γ —
число степеней свободы i —
энтропия S Дж/К

– 90 –

Приложение 2.
Решение задачи № 2.9.
Из математики:
Рассмотрим интеграл
∞ 2
I 0 = ∫ e − x dx .
−∞

Тогда квадрат этого интеграла можно записать так:
∞ 2 ∞ 2 2 2
I 0 2 = I 0 ⋅ I 0 = ∫ e − x dx ⋅ ∫ e − y dy = ∫∫ e − x ⋅ e − y dxdy =
−∞ −∞ xy
⎡ x = r cos ϕ ⎤
= ∫∫ e − ( x + y ) dxdy = ⎢ y = r sin ϕ ⎥ = ∫∫ e − r rdrdϕ =
2 2 2

⎢ 2 ⎥
S
⎢
⎣ r = x2 + y2 ⎥ S
⎦
2π ∞ 2π 2π
− r2 1 2 1 − r2 ∞ 1
= ∫ dϕ ⋅ ∫ e ⋅ d (r ) = ∫ (− e |0 )dϕ = ∫ dϕ = π .
0 0 2 0 2 0 2

Здесь S – координатная плоскость (ху). Отсюда
∞ 2
−x
I 0 = π , т.е. ∫ e dx = π
−∞

и
∞
−x 2 π
∫ e dx = 2
.
0

Далее усложним интеграл:
∞ 2 ⎡ α x = y⎤ 1 ∞ − y2 1 π .
I 0 (α ) = ∫ e −αx dx = ⎢ dy ⎥ = ∫ e dy = ⋅
0 ⎢dx = α ⎥
⎣ ⎦ α 0 α 2
Итак
∞
−αx 2 1 π
∫e dx =
0 2 2

Далее переходим к физической задаче.
∞ 3∞ 3 − ε
ε = ∫ εf (ε )dε = 2 (kT )− 2 ∫ ε 2 e kT dε ⇒ ε = ?
0 π 0