В сосуд с водой опущен открытый капилляр

Тема. Решение задач по теме “Явления на границе раздела двух сред”.

Цели:

• ввести представление о силе поверхностного натяжения;
• дать энергетическую трактовку коэффициента поверхностного натяжения;
• рассмотреть вопрос о давлении под искривленной поверхностью жидкости;
• объяснить явления смачивания и несмачивания;
• выяснить природу капиллярных явлений.

Ход занятия

В ходе теоретического опроса повторить определение коэффициента поверхностного натяжения как основной количественной характеристики сил поверхностного натяжения, обсудить зависимость этой величины от параметров состояния системы. Рассчитать избыточное давление Лапласа под искривленной поверхностью жидкости. Рассмотреть капиллярные явления и получить формулу, определяющую уровень поднятия жидкости в капиллярной трубочке.

Далее рассмотреть ряд качественных задач по теме занятия и решить несколько расчетных задач по мере возрастания их сложности.

Рассмотрев примеры решения задач, предложить учащимся задачи для самостоятельного решения.

Качественные задачи

1. Во время засухи на поверхности земли образуется твердая корка. Следует ли сохранять ее, чтобы предотвратить высыхание нижних слоев земли?
2. Дети во время купания часто надувают воздухом мокрую наволочку и пользуются ею как поплавком. Почему в мокрой наволочке воздух держится, а в сухой нет?
3. Известно, что некоторые насекомые не только удерживаются на поверхности воды, но и передвигаются по ней, выделяя особую жидкость, уменьшающую поверхностное натяжение. Как должно насекомое выпускать жидкость, чтобы двигаться вперед?
4. На какую высоту поднимается смачивающая жидкость в капилляре, если сосуд с жидкостью, в который опущен капилляр, находится в состоянии невесомости?
5. Почему алюминий нельзя паять обыкновенным (оловянным) припоем?

Примеры решения расчетных задач

Задача 1.

В городе площадью 400 км2 за 10 мин во время ливневого дождя выпало 20 мм воды. Подсчитайте энергию и мощность выделения тепла от слияния капель во время дождя, если капли, достигшие поверхности Земли, имели диаметр 3 мм, а образовались из мелких капель диаметром 3 ·10-3 мм.

Решение:

Выделение тепла происходит вследствие уменьшения поверхностной энергии жидкости при слиянии малых капель в более крупные. Энергия, которая выделяется при образовании одной большой капли из n маленьких, равна

Подставляя числовые значения, для E получаем:

E=1,168 ·1012 Дж.

Мощность тепловыделения за время дождя равна

,

где – продолжительность дождя.

N=1,95 ·109 Дж/c=1,95 ·106 кВт.

Ответ: за время дождя в городе выделилось 1,168·1012 Дж энергии, при этом мощность тепловыделения равна 1,95 ·106 кВт.

Задача 2.

Смачиваемый водою кубик массы m = 20 г плавает на поверхности воды. Ребро кубика имеет длину a = 3 см. На каком расстоянии от поверхности воды будет находиться нижняя грань кубика?

Решение:

На плавающий на поверхности воды кубик действует сила поверхностного натяжения, направленная вниз.

Пусть нижняя грань кубика находится от поверхности жидкости на расстоянии х. Тогда, согласно закону Архимеда, действующая на кубик выталкивающая сила равна

Ответ: нижняя грань кубика погружена в воду на расстояние 2,3 см. Учет сил поверхностного натяжения дает поправку примерно 0,1 см.

Задача 3.

Капля воды равномерно падает в воздухе. Найдите разность между радиусом кривизны поверхности капли в ее верхней точке и радиусом кривизны в нижней точке, расстояние между которыми h = 2,3 мм.

Решение:

Разность давлений в точках А и В обусловлена, во-первых, разной кривизной поверхности капли в этих точках и, во-вторых, гидростатическим давлением столба жидкости, в связи с чем давление в точке В на величину, равную ρgh, больше, чем давление в точке А (рис. 1).

Капля будет падать равномерно при условии, что сила тяжести, действующая на каплю, будет уравновешиваться выталкивающей силой, а разность лапласовских давлений в точках А и В будет уравновешена гидростатическим давлением, которое создается каплей в точке В.

К такому же результату можно прийти и непосредственно определяя разность давлений Лапласа, если предполагать, что радиусы кривизны капли в точках А и В отличаются незначительно, так что RA ≈ RB = R. В самом деле , а , следовательно,

Учитывая небольшое различие RA и RB, можно приближенно считать, что h ≈ 2R. С учетом этого приближения из (15) находим:

.

Подстановка численных данных дает дляR значение, равное ≈ 0,20 мм.

Ответ:

Задача 4.

Между двумя горизонтальными стеклянными пластинками находится капля ртути в форме лепешки радиуса R и толщины h. Считая, что h << R, найдите массу m груза, который надо положить на верхнюю пластинку, чтобы расстояние между пластинками уменьшилось в n раз. Краевой угол θ. Вычислите m, если R = 2,0 см, h = 0,38 мм, n = 2, θ = 135°.

Решение:

Капля образует в пространстве между пластинками диск с выпуклой боковой поверхностью, поскольку ртуть стекло не смачивает (рис. 2). Вследствие кривизны возникшей поверхности в пространстве между пластинками возникает давление Лапласа, которое должно уравновешиваться давлением, обусловленным силой тяжести, действующей на верхнюю пластину.

где r1 и r2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений мениска. Радиус кривизны одного из сечений (параллельно пластинам) много больше, чем другого (r2 –> ∞), поэтому членомможно пренебречь, радиус кривизны сечения, перпендикулярного пластинам (рис. 3), равен

Решая систему уравнений (19) и (23) относительно m, находим:

,

откуда получаем:

.

Вычисления приводят к значению m = 0,7 кг.

Ответ:

Задачи для самостоятельной работы

1. Чему равен коэффициент поверхностного натяжения воды, если с помощью пипетки, имеющей кончик диаметром 0,4 мм, можно дозировать воду с точностью до 0,01 г?

Ответ:H/м.

2. В сосуде с воздухом при давлении P0 находится мыльный пузырек диаметра d. Давление воздуха изотермически уменьшили в n раз, в результате чего диаметр пузырька увеличился в η раз. Найдите поверхностное натяжение мыльной воды.

Ответ:.

3. Стеклянный стержень диаметром d1 = 1,5 мм вставили симметрично в стеклянный капилляр с диаметром внутреннего канала d2 = 2,0 мм. Затем всю систему установили вертикально и привели в соприкосновение с поверхностью воды. На какую высоту поднимется вода в таком капилляре?

Ответ:; h=6 ·10-2м.

4. Конец капиллярной трубки радиуса r опущен в воду. Какое количество тепла выделится при поднятии жидкости по капилляру?

Ответ: при поднятии жидкости в капиллярной трубочке выделяется тепло.

5. Два стеклянных диска радиуса R = 5,0 см смочили водой и сложили вместе так, что толщина слоя воды между дисками h = 1,9 мкм. Считая смачивание полным, найдите силу, которую нужно приложить перпендикулярно плоскости дисков, чтобы оторвать их друг от друга.

Ответ:; F=0,6 кН.

Рекомендуемая литература

1. Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика. Т. 3. Строение и свойства вещества. – М.: Физматлит: Лаборатория базовых знаний; СПб.: Невский диалект, 2001. – С. 209-220.
2. Караваева В.В. Жидкости. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. – 75 с.
3. Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., Казаковцева В.А. и др. Задачник по физике. – М.: Физматлит, 2005. – С. 99-102.
4. Готовцев В.В. Лучшие задачи по механике и термодинамике. – М.; Ростов н/Д: Издательский центр “Март”, 2004. – С. 287-290.