В сосуд с водой теплоемкостью 1670

Условие задачи:

В сосуд с водой объемом 0,25 л при 20 °C поместили 50 г расплавленного свинца с температурой 400 °C. Какая температура установится в результате теплообмена в сосуде? Удельные теплоёмкости расплава и твердого свинца считать одинаковыми.

Задача №5.2.30 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(V_1=0,25) л, (t_1=20^circ) C, (m_2=50) г, (t_2=400^circ) C, (t-?)

Решение задачи:

В этой задаче нужно обязательно произвести оценку. Давайте для начала определим количество теплоты (Q_1), которое необходимо для нагревания воды массой (m_1) от температуры (t_1) до температуры кипения (t_к) ((t_к=100^circ) C). Это можно сделать по следующей формуле:

[{Q_1} = {c_1}{m_1}left( {{t_к} – {t_1}} right)]

Удельная теплоёмкость воды (c_1) равна 4200 Дж/(кг·°C).

Массу (m_1) представим как произведение плотности воды (rho) (она равна 1000 кг/м3) на объем (V_1), тогда:

[{Q_1} = {c_1}rho {V_1}left( {{t_к} – {t_1}} right)]

Посчитаем численное значение (Q_1) (объем при расчете мы перевели в кубические метры):

[{Q_1} = 4200 cdot 1000 cdot 0,25 cdot {10^{ – 3}} cdot left( {100 – 20} right) = 84000;Дж]

Так как температура расплавленного свинца (t_2) больше температуры его плавления (t_п) ((t_п=327^circ) C), то определим количество теплоты (Q_2), выделяемое при охлаждении расплава свинца от температуры (t_2) до температуры (t_п).

[{Q_2} = {c_2}{m_2}left( {{t_2} – {t_п}} right)]

Удельная теплоёмкость расплава свинца (и твёрдого свинца) (c_2) равна 130 Дж/(кг·°C).

[{Q_2} = 130 cdot 0,05 cdot left( {400 – 327} right) = 474,5;Дж]

Количество теплоты (Q_3), выделяемое при кристаллизации свинца массой (m_2), определим по формуле:

[{Q_3} = lambda {m_2}]

Удельная теплота кристаллизации (плавления) свинца (lambda) равна 25 кДж/кг.

[{Q_3} = 25 cdot {10^3} cdot 0,05 = 1250;Дж]

Количество теплоты (Q_4), выделяемое при охлаждении свинца массой (m_2) от температуры (t_п) до температуры (t_к), равно:

[{Q_4} = {c_2}{m_2}left( {{t_п} – {t_к}} right)]

[{Q_4} = 130 cdot 0,05 cdot left( {327 – 100} right) = 1475,5;Дж]

Видно, что ({Q_1} > {Q_2} + {Q_3} + {Q_4}), значит температура теплового равновесия будет лежать в пределах от (t_1) до (t_к). Запишем уравнение теплового баланса:

[{Q_5} = {Q_2} + {Q_3} + {Q_6}]

Здесь (Q_5) – количество теплоты, необходимое для нагревания воды массой (m_1) от температуры (t_1) до температуры (t); (Q_6) – количество теплоты, выделяемое при охлаждении свинца массой (m_2) от температуры (t_п) до температуры (t). Тогда:

[{c_1}{m_1}left( {t – {t_1}} right) = {c_2}{m_2}left( {{t_2} – {t_п}} right) + lambda {m_2} + {c_2}{m_2}left( {{t_п} – t} right)]

[{c_1}{m_1}left( {t – {t_1}} right) = {c_2}{m_2}left( {{t_2} – t} right) + lambda {m_2}]

Раскроем скобки:

[{c_1}{m_1}t – {c_1}{m_1}{t_1} = {c_2}{m_2}{t_2} – {c_2}{m_2}t + lambda {m_2}]

Все члены с множителем (t) перенесем в левую сторону, вынесем его за скобки, остальные перенесем в правую.

[tleft( {{c_1}{m_1} + {c_2}{m_2}} right) = {c_1}{m_1}{t_1} + {c_2}{m_2}{t_2} + lambda {m_2}]

[t = frac{{{c_1}{m_1}{t_1} + {c_2}{m_2}{t_2} + lambda {m_2}}}{{{c_1}{m_1} + {c_2}{m_2}}}]

Массу (m_1) представим как произведение плотности воды (rho) на объем (V_1), как это уже было сделано выше:

[t = frac{{{c_1}rho {V_1}{t_1} + {c_2}{m_2}{t_2} + lambda {m_2}}}{{{c_1}rho {V_1} + {c_2}{m_2}}}]

Переведём некоторые величины в систему СИ:

[0,25;л = 0,25 cdot {10^{ – 3}};м^3]

[50;г = 0,05;кг]

Численно температура (t) равна:

[t = frac{{4200 cdot 1000 cdot 0,25 cdot {{10}^{ – 3}} cdot 20 + 130 cdot 0,05 cdot 400 + 25 cdot {{10}^3} cdot 0,05}}{{4200 cdot 1000 cdot 0,25 cdot {{10}^{ – 3}} + 130 cdot 0,05}} = 23,5^circ;C  = 296,5;К]

Ответ: 296,5 К.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.