В сосуде на поверхности воды плавает легкая тонкая

Встречи и конкурсы



XVI международная олимпиада

Окончание. См. № 4/08

В.В.АЛЬМИНДЕРОВ, А.В.КРАВЦОВ,
В.Г.КРЫШТОП,
МИК «Глюон»

gluon@yandex.ru

«Интеллектуальный марафон-2007»

7. Два моля идеального одноатомного
газа сначала изохорно охладили, а затем изобарно
нагрели до первоначальной температуры 400 К,
увеличив объём газа в три раза. Какое количество
теплоты отдал газ на участке 1–2?

Ответ. Газ отдаёт тепло на
изохорном участке 1–2, следовательно, Q12
= cV · · T12, где T12 = Т2
– Т1. По условию задачи, Т1 = Т3,
участок 2–3 – изобарный, и для него
справедливо
откуда получаем
Для одноатомного идеального газа поэтому, подставляя
полученные результаты в формулу для отданного
количества теплоты, получим |Q12| = RТ1 =
= 6,65 кДж.

8. В сосуде на поверхности прозрачной
жидкости плавает лёгкая тонкая плосковыпуклая
линза выпуклой стороной вверх. Фокусное
расстояние линзы в воздухе F. Показатель
преломления жидкости n. Высота уровня
жидкости в сосуде h. На каком расстоянии L
над линзой на её главной оптической оси нужно
расположить точечный источник света S, чтобы
его изображение находилось на дне сосуда?

Ответ. Наличие среды с
показателем преломления n со стороны
плоской поверхности линзы увеличивает
расстояние от линзы до изображения в n раз (в
параксиальном приближении). Тогда

9. Через два неподвижных блока,
находящихся на одной высоте, перекинута длинная
лёгкая нить, к концам которой прикреплены два
груза одинаковой массы. Нить начинают медленно
оттягивать вниз за точку, находящуюся посередине
между блоками. График зависимости силы F,
прикладываемой к нити, от смещения x этой
точки также приведён на рисунке.

Найдите приблизительно массу m
каждого из грузов и расстояние между блоками.

Ответ. Из приведённого графика
видим, что при больших смещениях х сила F
стремится к постоянной величине 20 Н. Это
говорит о том, что нити становятся практически
параллельными, а т.к. смещение под действием силы F
происходит квазистатически, то F = 2mg.
Откуда mg = 10 Н, m 1 кг.

Для оценки расстояния между блоками
оценим силу F, когда нити образуют между
собой угол, например, 90°. В этом случае или
Этой силе
соответствует расстояние х 1 м. Тогда расстояние между
блоками приблизительно равно 2 м.

10. Нижние концы лестницы-стремянки
массой m = 10 кг соединены верёвкой.
Каждая сторона лестницы составляет с полом угол  = 45°. Считая
пол абсолютно гладким, найдите силу натяжения
верёвки.

Ответ. Особенность этой задачи
состоит в том, что силу натяжения нельзя найти из
условия равновесия (ни из уравнения для сил, ни из
уравнения моментов) лестницы как целого, т.к. она
является внутренней силой. Для нахождения этой
силы запишем уравнение моментов для правой части
лестницы относительно оси соединения сторон
лестницы-стремянки (верхняя точка О на
рисунке):

Реакцию опоры N найдём из проекции
на вертикальную ось уравнения для сил: 2N – mg
= 0.

Тогда сила натяжения

Раздел «Задачи по физике для
письменного тура»

1. Искусственный спутник Земли
находится на круговой орбите высотой h = 200
км. Включается двигатель, и скорость спутника
возрастает на = 5 км/с. В результате
он улетает в межпланетное пространство. Найдите
скорость спутника вдали от Земли. Радиус Земли 6370
км, ускорение свободного падения на поверхности
Земли 9,8 м/с2.

Ответ.   где MЗ – масса Земли.

Для круговой орбиты   откуда

По закону сохранения механической
энергии,

2. Известно, что компрессор домашнего
холодильника периодически включается и
выключается. Оцените соотношение времён работы и
паузы компрессора, если известно, что его
мощность около 100 Вт, через стенки холодильника
за час проходит количество теплоты, равное
1 МДж, температура в помещении, где стоит
холодильник, t1 = 20 °С, температура
внутри холодильника t2 = 3 °С.

Ответ. Оценим минимальную среднюю
мощность компрессора, необходимую для
поддержания заданной температуры внутри
холодильника. Допустим, что в холодильнике
осуществляется обратный цикл Карно. Тогда при
температуре T2 отбирается количество
теплоты Q2 (именно эта энергия
«просачивается» в холодильник сквозь стенки),
окружающей среде отдаётся при температуре T1
количество теплоты Q1, при этом
совершается работа A = Q1 – Q2.

Холодильный коэффициент в обратном
цикле Карно

Работа компрессора связана с
отбираемым количеством теплоты: Q2 = xA. После
несложных преобразований получим

Подставив численные значения, получим
среднюю мощность за время :

Вт.

Чтобы обеспечить такую среднюю
мощность, двигатель мощностью 100 Вт должен
работать примерно одну шестую часть времени
цикла работа–покой.  Реальный  холодильник
  работает  не  по  циклу  Карно  
(реальные  процессы  вообще  
необратимые), поэтому нужна несколько бльшая средняя
мощность, и «рабочая» доля времени также
увеличится.

3. Оцените, какую мощность имеет
100-ваттная электрическая лампа накаливания в
начальный момент включения её в осветительную
сеть напряжением 220 В, если рабочая температура
нити накаливания составляет 2700 °С, а
температурный коэффициент сопротивления
вольфрамовой нити накала 0,004 Ом/°С.

Ответ. Зависимость сопротивления
от температуры R = R0(1 + t), где R0 –
сопротивление при 0 °С. Поскольку перепад
температур большой, то можно считать, что R
– сопротивление при комнатной температуре.
Сопротивление горячей нити определим по
известной номинальной мощности: R = U2/N
= 484 Ом.

Сопротивление холодной нити

Мгновенная мощность при включении т.е. в 12 раз больше
номинальной!

4. В камере кольцевого ускорителя по
окружности радиусом R движется тонкий пучок
электронов. В начальный момент времени значение
силы тока I0, количество частиц в
камере N. Магнитный поток через неизменную
орбиту пучка уменьшается со скоростью
Каким станет значение силы тока после того, как
частицы сделают один оборот? Рассмотрите
нерелятивистский случай.

Ответ. Сила тока в пучке связана со
скоростью частиц следующим образом: I = enS, где e –
модуль заряда электрона, n – концентрация
заряженных частиц;
– скорость частицы; S – площадь пучка.
Концентрация электронов ток пучка  Изменение кинетической
энергии электрона через один оборот

Поскольку магнитный поток
уменьшается, то в соответствии с правилом Ленца
ток пучка должен увеличиваться. Cкорость пучка
после прохождения одного витка:

5. В чайнике «Тефаль» мощностью 1 кВт
кипит вода. С какой скоростью из его носика
вырывается струя пара, если площадь отверстия
носика S = 5 см2, теплота
испарения воды r = 2,26 · 106 Дж/кг,
нормальное атмосферное давление p0 = 105
Па, универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль · К)?

Ответ. Количество теплоты,
необходимое для испарения воды массой m,
равно Q = rm. Поскольку вся эта энергия
идёт на испарение воды, то мощность может быть
определена как

Из уравнения Клапейрона–Менделеева
найдём, что
отсюда скорость испарения

где –
искомая скорость струи пара.

В итоге находим

6. При какой минимальной начальной
скорости можно перебросить камень с уровня Земли
через полуцилиндрический ангар высотой
(радиусом) R?

Ответ. Интуитивно представляется,
что наименьшей начальной скорости соответствует
симметричная траектория, касающаяся ангара в
высшей его точке, т. A. Легко показать, что
для такой траектории необходимая начальная
скорость определяется выражением 02 = 3gR. Но здесь интуиция
нас подводит: в действительности оптимальная
траектория касается цилиндра в двух симметрично
расположенных точках B и C, положение
которых определяется углом = 45°.

Чтобы доказать это, рассмотрим
касающуюся цилиндра траекторию с произвольным
углом и
покажем, что из всего множества таких траекторий
наименьшему значению полной механической
энергии соответствует траектория с = 45°.

Пусть
– величина скорости камня в точке B. Время t
полёта камня от B до C запишем двумя
способами: как отношение расстояния от B до C
по горизонтали к (неизменной) горизонтальной
проекции скорости cos, т.е.
как t =2Rsin/(cos), и как время
подъёма от B до вершины траектории и падения
до C с ускорением свободного падения g: t
= 2sin/g.

Приравнивая правые части этих
выражений, получаем следующее выражение для
квадрата необходимой скорости камня в точке B:

2 = gR/cos. Будем считать
потенциальную энергию камня равной нулю на
уровне Земли. Тогда полная энергия камня при
движении по рассматриваемой траектории
пропорциональна следующему выражению: gR/cos + 2gRcos. Легко видеть, что
минимум полной энергии будет при = 45°, когда Таким образом, для траектории с
минимальной энергией квадрат скорости в точке B
даётся выражением С помощью закона сохранения энергии
находим соответствующую этой траектории
начальную скорость (скорость на уровне Земли): (что немного
меньше значения 3gR, соответствующего
траектории, проходящей через точку A).

7. Металлический шар радиусом R, полный
заряд которого равен Q, разрезан на две
части. Плоскость разреза проходит на расстоянии L
от центра шара (L < R). С какой силой
отталкиваются эти части шара?

Ответ. Заряд металлического шара
равномерно распределён по его поверхности с
поверхностной плотностью На заряд каждого элемента
поверхности действует сила со стороны зарядов
всей остальной части поверхности. Эта
электростатическая сила направлена по нормали к
поверхности шара (по радиусу) наружу, что можно
рассматривать как некоторое давление p
изнутри шара на его поверхность, как если бы шар
был изнутри заполнен газом. Легко показать, что
это давление равно Сила отталкивания примыкающих одна к
другой частей шара равна произведению этого
давления на площадь разреза:

Статья подготовлена при поддержке компании «Коннект». Если вы решили приобрести качественную и надежную мебель для офиса и дома, то оптимальным решением станет обратиться в компанию «Коннект». Перейдя по ссылке: «офисные стулья дешево», вы сможете, не отходя от экрана монитора, заказать офисную мебель по выгодной цене. Более подробную информацию о ценах и акциях действующих на данный момент вы сможете найти на сайте www.konnekt-mebel.ru.

Сила отталкивания частей шара будет
наибольшей, когда L = 0, т.е. когда шар разрезан
по диаметру.

Задачи из ДЕМОВАРИАНТОВ (с решениями)
1. В дно водоема глубиной 3 м вертикально вбита свая, скрытая под водой. Высота сваи 2 м. Свая отбрасывает на дне водоема тень длиной 0,75 м. Определите угол падения солнечных лучей на поверхность воды. Показатель преломления воды n = 4/3. Образец возможного решения
2. На экране с помощью тонкой линзы получено изображение предмета с пятикратным увеличением. Экран передвинули на 30 см вдоль главной оптической оси линзы. Затем при неизменном положении линзы передвинули предмет, чтобы изображение снова стало резким. В этом случае получилось изображение с трехкратным увеличением. На каком расстоянии от линзы находилось изображение предмета в первом случае? Образец возможного решения
3. На поверхности воды плавает надувной плот шириной 4 м и длиной 6 м. Небо затянуто сплошным облачным покровом, полностью рассеивающим солнечный свет. Определите глубину тени под плотом. Глубиной погружения плота и рассеиванием света водой пренебречь. Показатель преломления воды относительно воздуха принять равным 4/3. Образец возможного решения
4. Объектив проекционного аппарата имеет оптическую силу 5,4 дптр. Экран расположен на расстоянии 4 м от объектива. Определите размеры экрана, на котором должно уместиться изображение диапозитива размером 6×9 см. Образец возможного решения
5. Небольшой груз, подвешенный на нити длиной 2,5 м, совершает гармонические колебания, при которых его максимальная скорость достигает 0,2 м/с. При помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием 0,2 м изображение колеблющегося груза проецируется на экран, расположенный на расстоянии 0,5 м от линзы. Главная оптическая ось линзы перпендикулярна плоскости колебаний маятника и плоскости экрана. Определите максимальное смещение изображения груза на экране от положения равновесия. Образец возможного решения
6. На дифракционную решетку с периодом d = 0,01 мм нормально к поверхности решетки падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ = 600 нм. За решеткой, параллельно ее плоскости, расположена тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием f = 5 см. Чему равно расстояние между максимумами первого и второго порядков на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы? Образец возможного решения
Избранные задачи прошлых лет (с ответами)
7. Под медленно движущимся кораблем с вертикальными бортами плывет разведчик в легком водолазном костюме. Ширина корабля 4 м, глубина погружения его днища 1,5 м. Небо затянуто сплошным облачным покровом, полностью рассеивающим солнечный свет. На каком максимальном расстоянии от днища корабля должен держаться разведчик, чтобы его не могли увидеть находящиеся вокруг другие водолазы? Рассеиванием света водой и размерами разведчика пренебречь. Показатель преломления воды относительно воздуха принять равным 4/3.
8. Равнобедренный прямоугольный треугольник АВС площадью 50 см2 расположен перед тонкой собирающей линзой так, что его катет АС лежит на главной оптической оси линзы. Фокусное расстояние линзы 50 см. Вершина прямого угла С лежит дальше от центра линзы, чем вершина острого угла А. Расстояние от центра линзы до точки С равно удвоенному фокусному расстоянию линзы (см. рисунок). Постройте изображение треугольника АВС и найдите площадь получившейся фигуры.
9. На оси ОХ в точке x1 = 0 находится тонкая рассеивающая линза с фокусным расстоянием f1 = – 20 см, а в точке x2 = 20 см — тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием f2 = 30 см. Главные оптические оси обеих линз лежат на оси ОХ. Свет от точечного источника S, расположенного в точке x < 0, пройдя данную оптическую систему, распространяется параллельным пучком. Найдите координату x (в см) точечного источника S.
10. Условимся считать изображение на пленке фотоаппарата резким, если вместо идеального изображения в виде точки на пленке получается изображение пятна диаметром не более некоторого предельного значения. Поэтому, если объектив находится на фокусном расстоянии от пленки, то резкими считаются не только бесконечно удаленные предметы, но и все предметы, находящиеся дальше некоторого расстояния d. Оцените предельный размер пятна, если при фокусном расстоянии объектива 50 мм и диаметре входного отверстия 5 мм резкими оказались все предметы далее 5 м.
11. В сосуде на поверхности воды плавает тонкая легкая плосковыпуклая линза выпуклой стороной вверх (см. рисунок). Фокусное расстояние линзы в воздухе F. Высота уровня воды в сосуде h. Изображение точечного источника света S, расположенного на расстоянии L от линзы на ее главной оптической оси, находится на дне сосуда. Найти показатель преломления воды. Считать, что L > F.
12. Параллельный световой пучок падает нормально на тонкую собирающую линзу. На расстоянии 20 см от нее находится рассеивающая линза (см. рисунок). Оптическая сила собирающей линзы 2,5 дптр, а у рассеивающей она равна -5 дптр. Диаметр линз равен 8 см. Экран расположен на расстоянии L = 30 см от рассеивающей линзы. Каков диаметр светлого пятна, создаваемого линзами на экране?
13. Дифракционная решетка, имеющая 200 штрихов на 1 мм, расположена параллельно экрану на расстоянии 1,25 м от него и освещается нормально падающим пучком света длиной волны 500 нм. Определите расстояние между вторыми дифракционными максимумами справа и слева от центрального (нулевого). Считать, что tgα ≈ sinα.
14. Дифракционная решетка имеет расстояние между штрихами 1 мкм. Она находится в прямоугольной кювете, заполненной водой, и располагается параллельно боковой стенке кюветы. Луч света, длина волны которого 0,5 мкм, падает перпендикулярно стенке кюветы, проходит через решетку и выходит из кюветы. Под каким углом α выходит луч, образующий первый дифракционный максимум?
15. Между краями двух хорошо отшлифованных тонких плоских стеклянных пластинок помещена тонкая проволочка, противоположные концы пластинок плотно прижаты друг к другу (см. рисунок). На верхнюю пластинку нормально к ее поверхности падает монохроматический пучок света длиной волны 600 нм. Определите угол α который образуют пластинки, если расстояние между наблюдаемыми интерференционными полосами равно 0,6 мм. Считать tgα ≈ α.
16. Мыльная пленка представляет собой тонкий слой воды, на поверхности которой находятся молекулы мыла, обеспечивающие механическую устойчивость и не влияющие на оптические свойства пленки. Мыльная пленка натянута на квадратную рамку со стороной d = 2,5 см. Две стороны рамки расположены горизонтально, а две другие — вертикально. Под действием силы тяжести пленка приняла форму клина (см. рисунок), утолщенного внизу, с углом при вершине α = 2•10-4 рад. При освещении квадрата параллельным пучком света лазера, падающим перпендикулярно пленке, часть света отражается от нее, образуя на ее поверхности интерференционную картину, состоящую из 20 горизонтальных полос. Чему равна длина волны излучения лазера в воздухе, если показатель преломления воды равен 4/3?
17. Вы светите лазерной указкой на стену противоположного дома. Оцените расстояние до дома, если диаметр пятна на стене D = 20 см (границы пятна оцениваются из условия, что в области пятна лучи, идущие от различных участков источника, не «гасят» друг друга), диаметр выходного пучка лазера d = 3 мм, а длина волны λ = 600 нм.
Ответы к избранным задачам прошлых лет