В сосуде находится 11 шаров

Лучшее спасибо – порекомендовать эту страницу

Общая постановка задачи примерно* следующая:

В урне находится $K$ белых и $N-K$ чёрных шаров (всего $N$ шаров). Из нее наудачу и без возвращения вынимают $n$ шаров. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ белых и $n-k$ чёрных шаров.

По классическому определению вероятности, искомая вероятность находится по формуле гипергеометрической вероятности (см. пояснения тут):

$$ P=frac{C_K^k cdot C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}. qquad (1) $$

*Поясню, что значит “примерно”: шары могут выниматься не из урны, а из корзины, или быть не черными и белыми, а красными и зелеными, большими и маленькими и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно “белыми шарами”, второй – “черными шарами” и смело используете формулу для решения (поправив в нужных местах текст конечно:)).

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач про шары в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о выборе шаров

Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=10$, $N-K=8$, итого $N=10+8=18$, выбираем $n=5$ шаров, из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=5-2=3$ черных. Получаем:

$$ P=frac{C_{10}^2 cdot C_{8}^{3}}{C_{18}^5} = frac{45 cdot 56}{8568} = frac{5}{17} = 0.294. $$

Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?

Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=5$ (белых шаров), $N-K=5$ (красных шаров), итого $N=5+5=10$ (всего шаров в урне), выбираем $n=2$ шара, из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=2-2=0$ красных. Получаем:

$$ P=frac{C_{5}^2 cdot C_{5}^{0}}{C_{10}^2} = frac{10 cdot 1}{45} = frac{2}{9} = 0.222. $$

Пример 3. В корзине лежат 4 белых и 2 черных шара. Из корзины достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?

Здесь задача немного усложняется, и решим мы ее по шагам. Введем искомое событие

$A = $ (Выбранные шары одного цвета) = (Выбрано или 2 белых, или 2 черных шара).

Представим это событие как сумму двух несовместных событий: $A=A_1+A_2$, где

$A_1 = $ (Выбраны 2 белых шара),

$A_2 = $ (Выбраны 2 черных шара).

Выпишем значения параметров: $K=4$ (белых шаров), $N-K=2$ (черных шаров), итого $N=4+2=6$ (всего шаров в корзине). Выбираем $n=2$ шара.

Для события $A_1$ из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=2-2=0$ черных. Получаем:

$$ P(A_1)=frac{C_{4}^2 cdot C_{2}^{0}}{C_{6}^2} = frac{6 cdot 1}{15} = frac{2}{5} = 0.4. $$

Для события $A_2$ из выбранных шаров должно оказаться $k=0$ белых и $n-k=2$ черных. Получаем:

$$ P(A_2)=frac{C_{4}^0 cdot C_{2}^{2}}{C_{6}^2} = frac{1 cdot 1}{15} = frac{1}{15}. $$

Тогда вероятность искомого события (вынутые шары одного цвета) есть сумма вероятностей этих событий:

$$ P(A)=P(A_1)+P(A_2)=frac{2}{5} + frac{1}{15} =frac{7}{15} = 0.467. $$

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Полезные ссылки

• Онлайн-учебник по теории вероятностей
• Примеры решений задач по теории вероятностей
• Решить теорию вероятности на заказ

Поищите готовые задачи в решебнике:

Источник

А.А.Склянкин, А.В.Зотеев,

физический факультет МГУ,

г. Москва

Задачи,предлагавшиеся на вступительных экзаменах

на химическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова в 1999 г.

На химическом факультете МГУ экзамен по физике традиционно является устным. Экзаменационные билеты содержат одну задачу и два теоретических вопроса. Естественно, их содержание ежегодно обновляется, но всегда соответствует «Программе вступительных экзаменов по физике РФ».

1 Два шарика одинакового объема – один деревянный, а другой из алюминия – связаны легкой и достаточно длинной нитью. Шарики опускают в водоем, и через некоторое время их погружение происходит с постоянной скоростью. Найдите натяжение нити при этом движении. Массы шариков m1 = 100 г, m2 = 300 г. Принять g = 10 м/с2.

Решение

На рисунке изображены силы, действующие на каждый из шариков: mg – сила тяжести, FА – архимедова сила, Fн – сила натяжения нити, Fс – сила сопротивления (трения) со стороны воды. При движении с постоянной скоростью в инерциальной системе отсчета с учетом направления сил:

m1g + Fн1 – FA1 – Fc1 = 0, (1)

m2g – Fн2 – FA2 – Fc2 = 0. (2)

Индекс 2 относится, естественно, к алюминиевому шарику. Учитывая условия задачи (одинаковые размеры шариков и невесомость нити), получим:

Вычитая из уравнения (2) уравнение (1), найдем:.

2 Мяч массой m = 0,2 кг отпустили без начальной скорости с высоты Н = 6 м над полом. Найдите количество теплоты, выделившееся при первом ударе мяча об пол, если промежуток времени между первым и вторым ударами об пол составляет D t = 2 с. Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g= 10 м/с2.

Решение

По закону сохранения энергии при ударе выделяется количество теплоты:

Q = mgH – mgh, (3)

где Н – высота, с которой шарик упал, а h – высота, на которую он поднялся. Рассмотрим движение шарика между первым и вторым ударами об пол. При движении тел под действием только силы тяжести максимальная высота подъема равна где t – время подъема. Учитывая, что время подъема и время падения одинаковы, получим Dt = 2t. Следовательно, После подстановки в (3) получаем:

3 Маятник представляет собой небольшой шарик, подвешенный на легком стержне. Для того чтобы шарик мог описать окружность в вертикальной плоскости, ему нужно сообщить в положении равновесия скорость в горизонтальном направлении не менее v = 3 м/c. Найдите период малых колебаний этого маятника. Принять g = 10 м/c2.

Решение

Период малых колебаний математического маятника равен . Длину l маятника (в данном случае это длина стержня) можно найти, пользуясь законом сохранения механической энергии. Для того чтобы шарик мог сделать полный оборот, он должен подняться на высоту 2l. Следовательно, Найдя отсюда длину l и подставив ее значение в формулу для периода, получим:

4 С наклонной плоскости, образующей угол 45° с горизонтом, с высоты h1 = 2 м соскальзывает небольшая шайба. В конце спуска, у основания наклонной плоскости, шайба испытывает абсолютно упругое соударение со стенкой, перпендикулярной наклонной плоскости и поднимается вверх по наклонной плоскости на высоту h2 = 1,2 м. Найдите коэффициент трения между шайбой и наклонной плоскостью.

Решение

По закону сохранения энергии:

Здесь m – масса шайбы, Атр – работа против сил трения, s – путь, пройденный шайбой вдоль наклонной плоскости:

Сила трения при скольжении вдоль наклонной плоскости есть . Подставляя все эти выражения в (4), найдем коэффициент трения:

5 Деревянный шар лежит в сосуде с водой так, что половина его находится в воде и он касается дна. Найдите плотность дерева r, если шар давит на дно сосуда с силой F = 6 Н. Вес шара в воздухе равен р = 16 Н. Плотность воды rв = 1000 кг/м3.

Решение

На шар действуют три силы: сила тяжести mg, архимедова сила FА и сила давления со стороны дна F. При равновесии шара в сосуде с водой (плотностью воздуха пренебрегаем):

mg – F – FА = 0 . (5)

По закону Архимеда, FA = rвgV/2. При равновесии шара в воздухе (архимедовой силой со стороны воздуха пренебрегаем)

P = mg. Подставив эти два результата в (5), получим:

Сила тяжести mg = rшVg (V – объем шара, rш – его плотность). Выразив V через P = mg, получим откуда:

В результате:

6 По поверхности озера бегут волны со скоростью u = 2 м/с. Моторная лодка движется навстречу волнам со скоростью относительно берега v = 5 м/с. С какой частотой волны бьются о нос лодки, если поплавок на поверхности воды колеблется с частотой n0 = 0,5 Гц?

Решение

Расстояние между ближайшими гребнями волн (длина волны) В системе отсчета, связанной с лодкой, гребни пробегают мимо лодки со скоростью v1 = v + u. Минимальный промежуток времени между ударами волн о нос лодки (период):

Тогда частота ударов:

7 В теплоизолированном сосуде находится смесь льда массой m = 2,1 кг и воды. После начала нагревания температура смеси оставалась постоянной в течение времени t1 = 11 мин, а затем за время t2 = 4 мин повысилась на DT = 20 К. Определите массу смеси, если считать, что количество теплоты, получаемое системой в единицу времени, постоянно. Удельная теплота плавления льда l = 330 кДж/кг, а удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг Ч К). Теплоемкостью сосуда пренебречь.

Решение

Прежде всего рассчитаем количество теплоты Q1, необходимое для того, чтобы расплавить m кг льда в сосуде при постоянной температуре (очевидно, при 0 °С, т.к. в сосуде находилась смесь воды и льда): Q1=lm. Затем рассчитаем количество теплоты Q2, которое идет на нагревание всей получившейся воды в сосуде на DT (К): Q2=cMDT. Теперь учтем, что эта тепловая энергия получена системой за время t1 и время t2 от источника с постоянной мощностью теплопередачи Р:

Приравнивая между собой отношения правых частей приведенных выше равенств, получим:

откуда легко выразить искомую величину:

8 Баллон содержит идеальный газ при температуре Т = 300 К и давлении р = 2•105 Па. Найдите изменение давления Dр после того, как из баллона выпустили половину массы газа, а температуру оставшегося газа повысили на DТ = 100 К.

Решение

Прежде всего запишем уравнение исходного состояния рассматриваемого идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона): После того как из баллона выпустили половину массы газа, а температуру повысили на DТ, новое состояние газа будет описываться уравнением:

где новое значение давления газа, очевидно, можно записать как р1=р+Dр. Подставляя его в (6) и поделив друг на друга соответствующие части двух получившихся уравнений состояния, приходим к уравнению, содержащему единственную неизвестную величину Dр:

Решив его относительно последней, получаем ответ:

9 Два баллона с кислородом соединены трубкой с краном. Массы газа в обоих баллонах одинаковы.При закрытом кране давление в одном баллоне р1 = 2 Ч 105 Па, а в другом – р2 = 3 Ч 105 Па. Какое давление установится в баллонах, если кран открыть? Температуру в баллонах считать постоянной и одинаковой, а газ – идеальным.

Решение

Запишем уравнения Менделеева-Клапейрона для газа в первом и во втором баллонах (до их соединения между собой) и для соединенных баллонов (после установления равновесия):

Здесь р1 и р2 – давления в баллонах при закрытом кране (см. условие), р – искомое давление, V1 и V2 – объемы баллонов, m – масса кислорода в каждом баллоне, µ – молярная масса кислорода, Т – температура газа в баллонах. Из этих уравнений находим р. Наиболее естественный способ – из формул (7) и (8) выразить V1 и V2, а потом найти их сумму:

Теперь из уравнения (9) выразим р и с учетом формулы (10) получим:

Продолжение см. в № 38

Источник

Следствием теорем сложения и умножения является формула полной вероятности.

Допустим, что предполагается провести опыт, об условиях которого можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) ,, причем .

Вероятность некоторого события A, которое может появиться только вместе с одной из гипотез, вычисляется по формуле

.

Эта формула носит название формулы полной вероятности..

Получить решение

Если же событие A совершилось и необходимо найти вероятность того, что оно произошло совместно с некоторой гипотезой , то необходимо воспользоваться формулой Бейеса

.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.30. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой 2 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 1 черный шар, в третьей – 3 белых шара. Наугад выбирается одна из урн и из нее вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Опыт предполагает 3 гипотезы:

выбор первой урны; ;

выбор второй урны; ;

выбор третьей урны; .

Рассмотрим интересующее нас событие.

A – вынутый шар белый. Данное событие может произойти только с одной из гипотез .

Тогда .

ПРИМЕР 13.2.31. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Можно сделать два предположения (гипотезы):

деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) ;

деталь произведена вторым автоматом, причем .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом , если произведена вторым автоматом .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна

.

ПРИМЕР 13.2.32. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку (исход «обе пробоины совпали» отбрасываем, как ничтожно маловероятный).

Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:

ни первый, ни второй стрелки не попадут;

оба стрелка попадут;

первый стрелок попадет, а второй – нет;

первый стрелок не попадет, а второй попадает.

Доопытные (априорные) вероятности гипотез:

,

,

,

.

Условные вероятности осуществленного события A – в мишени одна пробоина, при этих гипотезах равны:

.

После опыта гипотезы и становятся невозможными, а послеопытные (апостериорные) вероятности гипотез и по формуле Бейеса будут

; .

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить задачи, используя формулу полной вероятности и формулу Бейеса

13.2.5.1. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.

Отв.:0,86

13.2.5.2. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, извлекается наудачу один шар и перекладывается в другую урну, которая до этого содержала 2 белых и 7 черных шаров. Цвет перекладываемого шара не фиксируется. Из второй урны наудачу извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар окажется белым?

Отв.:21/80

13.2.5.3. В урну, содержащую шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Отв.:(n+2)/(2(n+1))

13.2.5.4. В условиях предыдущей задачи из урны был извлечен белый шар. Найти вероятность того, что в урне было белых шаров.

Отв.:2(m+1)/((n+1)(n+2))

13.2.5.5. В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; для винтовки с обычным прицелом эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Отв.:0,85

13.2.5.6. В условиях предыдущей задачи стрелок попал в мишень. Определить вероятность того, что он стрелял а) из винтовки с оптическим прицелом; б) из винтовки с обычным прицелом.

Отв.:а)57/85; б)28/85

13.2.5.7. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй – 6, из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?

Отв.:18/59;21/59;20/59

13.2.5.8. Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую извлеченную наудачу кость можно приставить к первой.

Отв.:7/18

13.2.5.9. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

Отв.:0,5

13.2.5.10. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. Найти вероятность того, что наудачу выбранная машина потребует заправки.

Отв.:

13.2.5.11. В условиях предыдущей задачи к бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

Отв.:3/7

13.2.5.12. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены на отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно, 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент знает все 20 вопросов, хорошо подготовленный – 16 вопросов, посредственно подготовленный – 10 вопросов и двоечник – 5 вопросов. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен а) отлично; б) плохо.

Отв.:а)114/197; б)1/591

13.2.5.13. При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С-1 с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-11 срабатывает с вероятностью 1. Вероятности того, что автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-11 соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разделке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-11?

Отв.:P(С-1)= 6/11, Р(С-11)= 5/11

13.2.5.14. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

Отв.:0,4

13.2.5.15. Имеется урн, в каждой из которых белых и черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывается наудачу один шар, затем из второй в третью и так далее. Затем из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.

Отв.:a/(a+b)

13.2.5.16. По объекту производится три одиночных независимых выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4; при втором – 0,5; при третьем – 0,7. Для вывода объекта из строя заведомо достаточно трех попаданий, при двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6; при одном – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов объект будет выведен из строя.

Отв.:0,458

13.2.5.17. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

Отв.:4/29

13.2.5.18. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6; 0,5 и 0,4.

Отв.:10/19

13.2.5.19. Ребенок, не умеющий читать, рассыпал разрезанное на буквы слово “каракатица”. Какова вероятность того, что, потеряв одну из гласных букв, неизвестно какую именно, и взяв затем, друг за другом 5 букв он составит слово “карат”?

Отв.:1/1050

13.2.5.20. В урне 3 белых и 2 черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не вкладывая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.

Отв.:0,7

13.2.5.21. Для передачи сообщения путем подачи сигналов “точка” и “тире” используется телеграфная система. Статистические свойства помех таковы, что искажается в среднем 2/5 сообщений “точка” и 1/5 сообщений “тире”. Известно, что среди передаваемых сигналов “точка” и “тире” встречаются в отношении 5:3. Определить вероятности того, что при приеме сигналов “точка” и “тире” в действительности были переданы эти сигналы.

Отв.:5/6;6/11

Онлайн помощь по математике >

Лекции по высшей математике >

Примеры решения задач >

Источник