В сосуде находиться 11 шаров из которых 4 цветных и 7 белых
Обратная связь
ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ
Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение
Как определить диапазон голоса – ваш вокал
Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими
Целительная привычка
Как самому избавиться от обидчивости
Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам
Тренинг уверенности в себе
Вкуснейший “Салат из свеклы с чесноком”
Натюрморт и его изобразительные возможности
Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.
Как научиться брать на себя ответственность
Зачем нужны границы в отношениях с детьми?
Световозвращающие элементы на детской одежде
Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия
Как слышать голос Бога
Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)
Глава 3. Завет мужчины с женщиной
Оси и плоскости тела человека – Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.
Отёска стен и прирубка косяков – Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.
Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) – В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.
Тема 3.1. Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.
Студент должен знать:
– понятия: событие, частота и вероятность, совместные и несовместные события.
– теорема сложения вероятностей;
– теорема умножения вероятностей;
Студент должен уметь:
-находить вероятность в простейших задачах;
Тема 3.2. Случайная величина, ее функция распределения.
Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины.
Студент должен знать:
– способы задания случайной величины;
– определение непрерывной и дискретной случайных величин;
– закон распределения случайной величины;
Тема 3.3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратичное отклонение случайной величины.
Студент должен знать:
– определение математического ожидания, дисперсии дискретной случайной величины;
– среднее квадратичное отклонение;
Студент должен уметь:
– находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по закону;
– находить среднее квадратичное отклонение случайной величины;
Раздел 4. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.
Тема 4.1. Численное интегрирование.
Формулы прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона. Абсолютная погрешность при численном интегрировании.
Студент должен знать:
– способы представления функции в виде прямоугольников и трапеций;
-формулу Симпсона;
Студент должен уметь:
– вычислять интеграла по данным формулам;
Тема 4.2. Численное дифференцирование.
Численное дифференцирование. Формулы приближенного дифференцирования. Погрешность в определении производной.
Студент должен знать:
– интерполяционные формулы Ньютона;
– таблицу конечных разностей;
Студент должен уметь:
– по табличным данным находить аналитическое выражение производной;
1.Контрольная работа составлена в пяти вариантах.
Варианты работы студенты определяют по начальной букве своей фамилии.
2. Работа выполняется в ученической тетради, синими чернилами разборчивым почерком , без сокращений с соблюдением интервалов между строк и полями для замечаний преподавателя. Контрольная работа должна быть выполнена в установленный срок, срок нахождения контрольной работы в ОУ для проверки составляет 10 дней, после чего студент забирает контрольную работу на доработку или получает рецензию с отметкой, в учебной части ОУ.
3. На титульном листе указать фамилию, имя, отчество слушателя, его адрес с указанием почтового индекса, номер зачетной книжки, номер контрольной работы и вариант, конверт с адресом для отправки.
4. Если контрольная работа выполнена с нарушением данных указаний или не полностью, она возвращается слушателю без проверки.
5. Если работа не зачтена, ознакомьтесь с рецензией на работу и изучите ошибки. Работу следует переделать в соответствии с рекомендациями рецензента.
6. Переделанную работу предоставить на проверку вместе с не зачтенной работой, в срок, который указан в рецензии.
7. В конце работы должен быть приведён список использованной литературы с указанием автора, названия, места и года издания.
| Вариант | Буква фамилии |
| от А до Е | |
| от Ё до И | |
| от К до О | |
| от П до У | |
| от Ф до Я |
Вариант I
1) Найти пределы функций
1.
2.
3.
4.
2) Найти производные функций
1.
2.
3.
3) Найти неопределенный интеграл функций
1.
2.
3.
4) Определить площадь фигуры, заключенной между ветвью кривой у = х2, осью Ох и прямыми х = 0, х = 3.
5) Решить дифференциальное уравнение
6) Решить задачу:
Номер серии выигрышного билета вещевой лотереи состоит из пяти цифр. Определить вероятность того, что номер первой выигравшей серии будет состоять из одних нечетных цифр.
7) С помощью таблицы распределения случайной величины найти:
а) математическое ожидание;
б) дисперсию;
в) среднее квадратичное отклонение.
Вариант II
1) Найти пределы функций
1.
2.
3.
4.
2) Найти производные функций
1.
2.
3.
3) Найти неопределенный интеграл функций
1.
2.
3.
4) Найти площадь фигуры, заключенной между осью Ох и кривой у = х2-4х.
5) Решить дифференциальное уравнение
6) Решить задачу:
В сосуде находится 11 шаров, из которых 4 цветных и 7 белых. Найти вероятность двукратного извлечения из сосуда цветного шара: а) если вынутый шар возвращается обратно в сосуд и б) если вынутый шар в сосуд не возвращается.
7) С помощью таблицы распределения случайной величины найти:
а) математическое ожидание;
б) дисперсию;
в) среднее квадратичное отклонение.
Вариант III
1) Найти пределы функций
1.
2.
3.
4.
2) Найти производные функций
1.
2.
3.
3) Найти неопределенный интеграл функций
1.
2.
3.
4) Найти площадь фигуры, заключенной между у = х3, х = -1, х = 2 и осью Ох.
5) Решить дифференциальное уравнение
6) Решить задачу:
В мешке смешаны нити трех цветов: белых – 50%, красных – 30%, черных – 20%. Определить вероятность того, что при последовательном вытягивании наугад трех нитей окажется: а) все нити – одного цвета; б) все нити разных цветов.
7) С помощью таблицы распределения случайной величины найти:
а) математическое ожидание;
б) дисперсию;
в) среднее квадратичное отклонение.
Вариант IV
1) Найти пределы функций
1.
2.
3.
4.
2) Найти производные функций
1.
2.
3.
3) Найти неопределенный интеграл функций
1.
2.
3.
4) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями xу = – 6, у – х = 7
5) Решить дифференциальное уравнение
6) Решить задачу:
Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,15. Какова вероятность того, что, по крайней мере, один из четырех билетов выиграет?
7) С помощью таблицы распределения случайной величины найти:
а) математическое ожидание;
б) дисперсию;
в) среднее квадратичное отклонение.
| х | ||||||
| р | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,1 | 0,05 | 0,05 |
Вариант V
1) Найти пределы функций
1.
2.
3.
4.
2) Найти производные функций
1.
2.
3.
3) Найти неопределенный интеграл функций
1.
2.
3.
4) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = ex, у = 0, x=-1 ,x=1
5) Решить дифференциальное уравнение
y`=10x+y
6) Решить задачу:
В партии из 100 одинаковых по наружному виду изделий смешаны 40 штук I сорта и 60 штук II сорта. Найти вероятность того, что взятые наудачу два изделия окажутся: а) одного сорта; б) разных сортов.
7) С помощью таблицы распределения случайной величины найти:
а) математическое ожидание;
б) дисперсию;
в) среднее квадратичное отклонение.
| х | ||||||
| р | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,25 | 0,75 | 0,3 |
Вопросы к зачету
1. первый и второй замечательные пределы;
2. определение производной;
3. формулы производных суммы, произведения и частного;
4. основные методы интегрирования;
5. формула Ньютона-Лейбница;
6. свойства интегралов;
7. определение дифференциального уравнения;
8. определение общего и частного решений дифференциальных уравнений;
9. методы решения дифференциальных уравнений;
10. определение числовых и функциональных рядов;
11. признаки сходимости;
12. определение множества и отношения;
13. операции и свойства операций над множествами;
14. свойства отношений;
15. определение графов и его элементов;
16. виды графов и операции над ними;
17. понятия: событие, частота и вероятность, совместные и несовместные события.
18. теорема сложения вероятностей;
19. теорема умножения вероятностей;
20. способы задания случайной величины;
21. определение непрерывной и дискретной случайных величин;
22. закон распределения случайной величины;
23. определение математического ожидания, дисперсии дискретной случайной величины;
24. среднее квадратичное отклонение;
25. способы представления функции в виде прямоугольников и трапеций;
26. формула Симпсона;
27. интерполяционные формулы Ньютона;
28. таблица конечных разностей;
Литература
1. Филимонова Е.В. Математика : Учебное пособие для средних специальных учебных заведений, 2004- 416с.
2. Ермакова В.И. Справочник по математике для экономистов, 1987-336с.
3. Лапчик М.П. Численные методы.
4. Баврик И.И. Высшая математика.
5. Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике.
6. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.
7. Щипачев В.С. Основы высшей математики.
Источник
Из
60 вопросов, входящих в экзаменационные
билеты, студент подготовил 50. Какова
вероятность того, что вытянутый студентом
билет, содержащий два вопроса, будет
состоять из подготовленных им вопросов?
Задание
2
В
сосуде находится 11 шаров, из которых 4
цветных и 7 белых. Найти вероятность
двукратного извлечения из сосуда
цветного шара:
а)
если вынутый шар возвращается обратно
в сосуд;
б)
если вынутый шар в сосуд не возвращается.
Задание
3
Трое
рабочих обрабатывают однотипные детали.
Первый обработал за смену 20 деталей,
второй – 25, третий – 15. Вероятность
брака для первого рабочего равна 0,03,
для второго – 0,02, для третьего – 0,04. Из
общей выработки за смену наудачу взята
и проверена одна деталь, которая оказалась
бракованной. Найти вероятность того,
что она обработана вторым рабочим.
Задание
4
Вероятность
того, что деталь окажется бракованной,
равна p =
0,3. Составить ряд распределения для
случайной величины X,
представляющей собой число бракованных
деталей в выборке объема n =
4. Определить вероятность того, что в
выборке будет:
а)
ровно k =
2 бракованных деталей;
б)
не более k =
2 бракованных деталей;
в)
ни одна деталь не бракованная.
Найти
функцию распределения F(x),
математическое ожидание M(x),
дисперсию D(x).
Задание
5
Случайная
величина X задана
функцией распределения F(x):
Найти:
1)
плотность распределения вероятностей f(x);
2)
математическое ожидание;
3)
построить графики функций f(x), F(x).
Задание
6
Требуется
найти вероятность попадания в заданный
интервал (4, 8) нормально распределенной
случайно величины, если известны ее
математическое ожидание m =
5 и среднее квадратическое отклонение =
3.
Задание
7
Известны x1, x2,
…, xn –
результаты независимых наблюдений над
случайной величиной X.
50 | 52 | 140 | 138 | 165 | 165 | 210 | 165 | 170 | 142 | 150 | 168 |
103 | 63 | 68 | 88 | 85 | 105 | 110 | 112 | 131 | 125 | 126 | 135 |
148 | 92 | 99 | 102 | 110 | 115 | 118 | 125 | 121 | 118 | 130 | 133 |
141 | 182 | 199 | 205 | 127 | 132 | 135 | 98 | 105 | 119 | 115 | 125 |
124 |
1)
Сгруппировать эти данные в интервальную
таблицу, подобрав длину интервала или
воспользовавшись заданной длиной
интервала.
2)
Построить гистограмму и эмпирическую
функцию распределения.
3)
Найти несмещенные оценки для математического
ожидания и дисперсии случайной величины X.
4)
По критерию Пирсона проверить гипотезу
о том, что случайная величина Xимеет
нормальный закон распределения.
5)Найти
интервальные оценки математического
ожидания и среднего квадратического
отклонения случайной величины X с
уровнем доверия 0,99
Вариант №5
Задание
1
Среди
17 студентов группы, из которых 8 девушек,
разыгрывается 7 билетов. Какова вероятность
того, что среди обладателей билетов
окажутся 4 девушки?
Задание
2
От
группы студентов, состоящей из 14 юношей
и 11 девушек, на профсоюзную конференцию
выбирается два человека. Какова
вероятность того, что среди выбранных
будет хотя бы одна девушка?
Задание
3
Радиолампа
может принадлежать к одной из трех
партий с вероятностью P1,P2, P3,
где P1 = P2 =
0,25, P3 =
0,5. Вероятность того, что радиолампа
проработает заданное число часов, равна
соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить
вероятность того, что радиолампа
проработает заданное число часов.
Задание
4
Вероятность
того, что деталь окажется бракованной,
равна p =
0,3. Составить ряд распределения для
случайной величины X,
представляющей собой число бракованных
деталей в выборке объема n =
5. Определить вероятность того, что в
выборке будет:
а)
ровно k =
4 бракованных деталей;
б)
не более k =
4 бракованных деталей;
в)
ни одна деталь не бракованная.
Найти
функцию распределения F(x),
математическое ожидание M(x),
дисперсию D(x).
Задание
5
Случайная
величина X задана
функцией распределения F(x):
Найти:
1)
плотность распределения вероятностей f(x);
2)
математическое ожидание;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Источник
Следствием теорем сложения и умножения является формула полной вероятности.
Допустим, что предполагается провести опыт, об условиях которого можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) ,, причем .
Вероятность некоторого события A, которое может появиться только вместе с одной из гипотез, вычисляется по формуле
.
Эта формула носит название формулы полной вероятности..
Получить решение
Если же событие A совершилось и необходимо найти вероятность того, что оно произошло совместно с некоторой гипотезой , то необходимо воспользоваться формулой Бейеса
.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 13.2.30. Имеются три одинаковые на вид урны; в первой 2 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 1 черный шар, в третьей – 3 белых шара. Наугад выбирается одна из урн и из нее вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
Решение. Опыт предполагает 3 гипотезы:
выбор первой урны; ;
выбор второй урны; ;
выбор третьей урны; .
Рассмотрим интересующее нас событие.
A — вынутый шар белый. Данное событие может произойти только с одной из гипотез .
Тогда .
ПРИМЕР 13.2.31. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
Решение. Можно сделать два предположения (гипотезы):
деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) ;
деталь произведена вторым автоматом, причем .
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом , если произведена вторым автоматом .
Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна
.
Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна
.
ПРИМЕР 13.2.32. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку (исход «обе пробоины совпали» отбрасываем, как ничтожно маловероятный).
Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:
ни первый, ни второй стрелки не попадут;
оба стрелка попадут;
первый стрелок попадет, а второй – нет;
первый стрелок не попадет, а второй попадает.
Доопытные (априорные) вероятности гипотез:
,
,
,
.
Условные вероятности осуществленного события A — в мишени одна пробоина, при этих гипотезах равны:
.
После опыта гипотезы и становятся невозможными, а послеопытные (апостериорные) вероятности гипотез и по формуле Бейеса будут
; .
Примеры и задачи для самостоятельного решения
Решить задачи, используя формулу полной вероятности и формулу Бейеса
13.2.5.1. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
Отв.:0,86
13.2.5.2. Из урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, извлекается наудачу один шар и перекладывается в другую урну, которая до этого содержала 2 белых и 7 черных шаров. Цвет перекладываемого шара не фиксируется. Из второй урны наудачу извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар окажется белым?
Отв.:21/80
13.2.5.3. В урну, содержащую шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
Отв.:(n+2)/(2(n+1))
13.2.5.4. В условиях предыдущей задачи из урны был извлечен белый шар. Найти вероятность того, что в урне было белых шаров.
Отв.:2(m+1)/((n+1)(n+2))
13.2.5.5. В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; для винтовки с обычным прицелом эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
Отв.:0,85
13.2.5.6. В условиях предыдущей задачи стрелок попал в мишень. Определить вероятность того, что он стрелял а) из винтовки с оптическим прицелом; б) из винтовки с обычным прицелом.
Отв.:а)57/85; б)28/85
13.2.5.7. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй – 6, из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?
Отв.:18/59;21/59;20/59
13.2.5.8. Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую извлеченную наудачу кость можно приставить к первой.
Отв.:7/18
13.2.5.9. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Отв.:0,5
13.2.5.10. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. Найти вероятность того, что наудачу выбранная машина потребует заправки.
Отв.:
13.2.5.11. В условиях предыдущей задачи к бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
Отв.:3/7
13.2.5.12. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены на отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно, 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент знает все 20 вопросов, хорошо подготовленный – 16 вопросов, посредственно подготовленный – 10 вопросов и двоечник – 5 вопросов. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен а) отлично; б) плохо.
Отв.:а)114/197; б)1/591
13.2.5.13. При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С-1 с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-11 срабатывает с вероятностью 1. Вероятности того, что автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-11 соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разделке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-11?
Отв.:P(С-1)= 6/11, Р(С-11)= 5/11
13.2.5.14. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.
Отв.:0,4
13.2.5.15. Имеется урн, в каждой из которых белых и черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывается наудачу один шар, затем из второй в третью и так далее. Затем из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.
Отв.:a/(a+b)
13.2.5.16. По объекту производится три одиночных независимых выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4; при втором – 0,5; при третьем – 0,7. Для вывода объекта из строя заведомо достаточно трех попаданий, при двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6; при одном – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов объект будет выведен из строя.
Отв.:0,458
13.2.5.17. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
Отв.:4/29
13.2.5.18. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6; 0,5 и 0,4.
Отв.:10/19
13.2.5.19. Ребенок, не умеющий читать, рассыпал разрезанное на буквы слово “каракатица”. Какова вероятность того, что, потеряв одну из гласных букв, неизвестно какую именно, и взяв затем, друг за другом 5 букв он составит слово “карат”?
Отв.:1/1050
13.2.5.20. В урне 3 белых и 2 черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не вкладывая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.
Отв.:0,7
13.2.5.21. Для передачи сообщения путем подачи сигналов ”точка” и ”тире” используется телеграфная система. Статистические свойства помех таковы, что искажается в среднем 2/5 сообщений ”точка” и 1/5 сообщений ”тире”. Известно, что среди передаваемых сигналов ”точка” и ”тире” встречаются в отношении 5:3. Определить вероятности того, что при приеме сигналов ”точка” и ”тире” в действительности были переданы эти сигналы.
Отв.:5/6;6/11
Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >
Источник