В сосуде объемом 1 л под невесомым поршнем

Продолжение. См. № 1, 3, 5, 7/08

С.С.ЧЕСНОКОВ sergeychesnokov@mail.ru,

проф. В.А.МАРКОВ, С.Ю.НИКИТИН, И.П.НИКОЛАЕВ, Н.Б.ПОДЫМОВА,

М.С.ПОЛЯКОВА, проф. В.И.ШМАЛЬГАУЗЕН,

физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2007 г.

II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА (продолжение)

4 В космический корабль, совершающий межпланетный перелёт, попал метеорит, пробивший в корпусе маленькое отверстие, через которое наружу стал выходить воздух. Объём корабля V = 100 м3, начальное давление воздуха в нём p0 = 105 Па, температура t = 27° C. Через какое время после попадания метеорита давление воздуха в корабле уменьшится на p = 103 Па, если площадь отверстия S = 1 см2? Молярная масса воздуха M = 29 г/моль, универсальная газовая постоянная R = 8,3 Дж/(моль · К). При решении учесть, что p p0, температуру воздуха внутри корабля считать постоянной, а процесс истечения воздуха квазиравновесным.

Решение

Записывая для вытекающего воздуха уравнение Бернулли и учитывая, что давление воздуха за рассматриваемый промежуток времени меняется незначительно, имеем откуда скорость истечения воздуха – плотность воздуха, которая также практически постоянна. Следовательно, массовый расход воздуха равен

Из уравнения Клапейрона-Менделеева находим изменение давления воздуха за время

Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

5 Два теплоизолированных сосуда объёмом V = 40 л каждый содержат идеальные одноатомные газы. Масса газа в первом сосуде m1 = 20 г, его молярная масса M1 = 4 г/моль, температура T1 = 300 К. Масса газа во втором сосуде m2 = 20 г, его молярная масса M2 = 20 г/моль, температура T2 = 400 К. Сосуды соединяют тонкой трубкой, объёмом которой можно пренебречь. Какое давление p установится в сосудах после достижения теплового равновесия? Универсальная газовая постоянная R = 8,3 Дж/(моль · К).

Решение

Поскольку система теплоизолирована и газы работу не совершают, внутренняя энергия системы остаётся постоянной. Обозначив через T температуру газов после установления теплового равновесия, имеем

Парциальные давления газов в конечном состоянии:

По закону Дальтона, p = p1 + p2.

Ответ.

6 В закрытом цилиндрическом сосуде под невесомым тонким поршнем находится 1 моль идеального одноатомного газа при температуре T = 300 К. В пространстве над поршнем создан вакуум. Поршень удерживается в равновесии пружиной, помещённой между поршнем и крышкой цилиндра, причём пружина не деформирована, если поршень располагается у дна цилиндра. Какое количество теплоты Q нужно сообщить газу, чтобы его объём увеличился в n = 1,5 раза? Универсальная газовая постоянная R = 8,3 Дж/(моль · К). Теплоёмкостью сосуда и теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Решение

Пусть p0, V0 и T0 – начальные, а p, V и T – конечные давление, объём и температура газа. По первому закону термодинамики, Q = U + A, где U = (3/2)R(T – T0) – изменение внутренней энергии, A – работа газа. Поскольку сжатие пружины x совпадает с высотой поршня над дном сосуда, давление газа p = kx/S пропорционально его объёму: p ~ V и

При этом работа газа

Из уравнения состояния газа имеем:

p0V0 = RT0; pV = np0nV0 = RT.

Отсюда T = n2T0. Следовательно,

и Q = 2RT0(n2 – 1) = 6225 Дж.

7 Водяной пар занимает объём V0 = 5 л при температуре t = 100 °C. Давление пара p = 0,5 · 105 Па. Какая масса m пара превратится в воду, если объём пара изотермически ум еньшить до величины V = 1 л? Молярная масса воды M = 18 г/моль.

Решение

Пусть m0 и m – массы водяного пара в начальном и конечном состояниях. Давление насыщенного водяного пара при температуре 100 °C равно нормальному атмосферному: p0 = 105 Па. Поскольку при сжатии объём пара уменьшается в 5 раз, а p = p0/2, пар достигнет насыщения, и часть его превратится в воду. Из уравнений начального и конечного состояний пара:

–

получаем ответ:

8 В закрытом с одного конца цилиндрическом сосуде находятся два тонких поршня, способных перемещаться без трения и разделяющих пространство внутри сосуда на два отсека. В левом отсеке заключён водяной пар при давлении p, а в правом – воздух при том же давлении, причём длины отсеков одинаковы и равны L. Правый поршень медленно передвинули влево на расстояние l. На какое расстояние x сместится при этом левый поршень? Температуру пара и воздуха считать постоянной. Давление насыщенного водяного пара при этой температуре равно 2p.

Решение

Пусть перемещение l правого поршня таково, что пар в левом отсеке остаётся ненасыщенным. Обозначив через x смещение левого поршня, по закону Бойля-Мариотта, имеем:

pSL = p1S(L – l + x) – для воздуха;

pSL = p1S(L – x) – для пара.

Отсюда x = l/2, что справедливо, пока p1 2p, т.е. при l L. Когда перемещение правого поршня превысит L, пар в левом отсеке начнёт конденсироваться, давление в обоих отсеках станет постоянным и равным 2p. Следовательно, постоянным и равным L/2 будет и расстояние между поршнями. Длина левого отсека при этом

L” = 2L – (l + L/2) = 3L/2 – l,

смещение левого поршня составит

x = L – L” = l – L/2.

Если l 3L/2, пар полностью сконденсируется и левый поршень перестанет перемещаться. Пренебрегая объёмом образовавшейся в левом отсеке воды, получаем ответ:

x = l/2 при l L;

x = l – L/2 при L l 3L/2;

x = L при 2L > l > 3L/2.

_______________________________

Все опубликованные в рубрике «Абитуриенту» задачи, а также пакет задач на вступительных экзаменах, не вошедших в публикации, будут размещены на диске «Физика-2008», который можно будет приобрести в ИД «1 сентября» с апреля 2009 г.

Продолжение см. в № 12/08

Источник

2011 год 109 вариант СЗ

В сосуде лежит кусок льда. Температура льда t1 = 0°С. Если сообщить ему количество теплоты Q = 50 кДж, то 3/4 льда растает. Какое количество теплоты q надо после этого сообщить содержимому сосуда дополнительно, чтобы весь лёд растаял и образовавшаяся вода нагрелась до температуры t2 = 20°С? Тепловыми потерями на нагрев сосуда пренебречь. (Решение)

2011 год. 01-2 вариант. С3

В бутылке объемом V = 1 л находится гелий при нормальном атмосферном давлении. Горлышко бутылки площадью S = 2 см2 заткнуто короткой пробкой, имеющей массу m = 20 г. Если бутылка лежит горизонтально, то для того, чтобы медленно вытащить из ее горлышка пробку, нужно приложить к пробке горизонтально направленную силу F = 1 Н. Бутылку поставили на стол вертикально горлышком вверх. Какое количество теплоты нужно сообщить гелию в бутылке для того, чтобы он выдавил пробку из горлышка? (Решение)

2011 год. 01-1 вариант. С3

Один моль идеального одноатомного газа переводят из состояния 1 с температурой Т1 = 300 К в состояние 2 таким образом, что в течение всего процесса давление газа возрастает прямо пропорционально его объему. В ходе этого процесса газ получает количество теплоты Q = 14958 Дж. Во сколько раз n уменьшается в результате этого процесса плотность газа? (Решение)

2010 год. 11 вариант. С1

В кабинете физики проводились опыты с разреженным газом постоянной массы. По невнимательности ученик, отметив на графике начальное и конечное состояния газа (см. рисунок), не указал, какие две величины из трёх (давление р, объём V, температура Т) отложены по осям. В журнале осталась запись, согласно которой названные величины изменялись следующим образом: p1 < р2, V1 > V2, Τ1 < Ί2. Пользуясь этими данными, определите, какие величины были отложены на горизонтальной и вертикальной осях. Ответ поясните, указав, какие физические закономерности вы использовали. (Решение)

2010 год 304 вариант СЗ

Некоторое количество одноатомного идеального газа расширяется из одного и того же начального состояния (p1, V1) до одного и того же конечного объёма V2 первый раз по изобаре, а второй – по адиабате (см. рисунок). Отношение количества теплоты Q12, полученного газом на изобаре от нагревателя, к модулю изменения внутренней энергии газа |U3 – U1| на адиабате k = Q12/|U3 – U1| = 6 . Чему равно отношение х работы газа на изобаре А12 к работе газа на адиабате А13? (Решение)

2010 год. 135 вариант. С5

В цилиндр закачивается воздух со скоростью 0,002 кг/с. В верхнем торце цилиндра есть отверстие площадью 5·10-4 м2, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии невесомым стержнем длиной 0,5 м, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке А (см. рисунок). Расстояние АВ равно 0,1 м. К свободному концу стержня подвешен груз массой 2 кг. Клапан открывается через 580 с работы насоса, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна 300 К. Определите объём цилиндра. (Решение)

2009 год. 133 вариант. С1

В цилиндрическом сосуде под поршнем длительное время находятся вода и ее пар. Поршень начинают вдвигать в сосуд. При этом температура воды и пара остается неизменной. Как будет меняться при этом масса жидкости в сосуде? Ответ поясните. (Решение)

2009 год. 133 вариант. С3

Один моль одноатомного идеального газа переходит из состояния 1 в состояние 3 в соответствии с графиком зависимости его объёма V от температуры T (T0 = 100 К). На участке 2 − 3 к газу подводят 2,5 кДж теплоты. Найдите отношение работы газа А123 ко всему количеству подведенной к газу теплоты Q123. (Решение)

2009 год. 304 вариант. С3

Постоянная масса одноатомного идеального газа совершает циклический процесс, показанный на рисунке. За цикл от нагревателя газ получает количество теплоты QH = 8 кДж. Какую работу совершают внешние силы при переходе газа из состояния 2 в состояние 3? (Решение) 2008 год. 131 вариант. С2

Разогретый сосуд прикрыли поршнем, который с помощью вертикальной нерастяжимой нити соединили с потолком. На сколько процентов от начальной понизится температура воздуха в сосуде к моменту, когда сосуд оторвется от поверхности, на которой он расположен? Масса сосуда 5 кг. Поршень может скользить по стенкам сосуда без трения. Площадь дна сосуда 125 см2. Атмосферное давление 105 Па. Тепловым расширением сосуда и поршня пренебречь. (Решение)

2008 год. 5941 вариант. С2

В калориметре находился m1 = 1 кг льда при температуре t1 = -5°С. После добавления в калориметр m2 = 25 г воды в нем установилось тепловое равновесие при температуре t = 0°С. Какова температура t2 добавленной в калориметр воды, если в калориметре оказался в итоге только лёд? Теплоёмкостью калориметра пренебречь. (Решение)

2008 год. 05205939 вариант. С2

В горизонтально расположенной трубке постоянного сечения, запаянной с одного конца, помещен столбик ртути длиной 15 см, который отделяет воздух в трубке от атмосферы. Трубку расположили вертикально запаянным концом вниз. На сколько градусов следует нагреть воздух в трубке, чтобы объём, занимаемый воздухом, стал прежним? Температура воздуха в лаборатории 300 К, а атмосферное давление составляет 750 мм рт.ст. (Решение)

2008 год. 2 вариант. С2

Вертикально расположенный замкнутый цилиндрический сосуд высотой 50 см разделен подвижным поршнем весом 110 Н на две части, в каждой из которых содержится одинаковое количество водорода при температуре 361 К. Какая масса газа находится в каждой части цилиндра, если поршень находится на высоте 20 см от дна сосуда? Толщиной поршня пренебречь. (Решение)

2007 год. 19 вариант. С2

В сосуде находится одноатомный идеальный газ, масса которого 12 г, а молярная масса 0,004 кг/моль. Вначале давление в сосуде было равно 4•105 Па при температуре 400 К. После охлаждения газа давление понизилось до 2•105 Па. Какое количество теплоты отдал газ? (Решение)

2006 год. 61 вариант. С2

В водонепроницаемый мешок, лежащий на дне моря на глубине 73,1 м, закачивается сверху воздух. Вода вытесняется из мешка через нижнее отверстие, и когда объём воздуха в мешке достигает 28,0 м3- мешок всплывает вместе с прикреплённым к нему грузом. Масса оболочки мешка 2710 кг. Определите массу груза. Температура воды равна 7°С, атмосферное давление на уровне моря равно 105 Па. Объёмом груза и стенок мешка пренебречь. (Решение)

2006 год. 86 вариант. С2

Теплоизолированный сосуд объемом V = 2 м3 разделен теплоизолирующей перегородкой на две равные части. В одной части сосуда находится 2 моль гелия, а в другой – такое же количество молей аргона. Начальная температура гелия равна 300 К, а температура аргона 600 К. Определите давление смеси после удаления перегородки. Теплоемкостью сосуда пренебречь. (Решение)

2006 год. 33 вариант. С2

Воздушный шар объемом 2500 м3 с массой оболочки 400 кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. Температура окружающего воздуха 7°С, его плотность 1,2 кг/м3. При какой минимальной разности температур воздуха внутри шара и снаружи шар взлетит вместе с грузом (корзиной и воздухоплавателем) массой 200 кг? Оболочку шара считать нерастяжимой. (Решение)

2006 год. 222 вариант. С2

С одним молем идеального одноатомного газа совершают процесс 1-2-3-4, показанный на рисунке в координатах V-Т. Во сколько раз количество теплоты, полученное газом в процессе 1-2-3-4, больше работы газа в этом процессе? (Решение)

2005 год. 58 вариант. С2

Идеальный одноатомный газ в количестве 1 моль сначала изотермически расширился при температуре T1 = 300 К. Затем газ изобарно нагрели, повысив температуру в 3 раза. Какое количество теплоты получил газ на участке 2-3? (Решение)

2004 год. 92 вариант. С2

10 моль одноатомного идеального газа сначала охладили, уменьшив давление в 3 раза, а затем нагрели до первоначальной температуры 300 К (см. рисунок). Какое количество теплоты получил газ на участке 2-3? (Решение)

2004 год. 77 вариант. С5

Идеальный одноатомный газ используется в качестве рабочего тела в тепловом двигателе. В ходе работы двигателя состояние газа изменяется в соответствии с циклом, состоящим из двух адиабат и двух изохор (см. рисунок). Вычислите КПД такого двигателя. (Решение)

2004 год. 49 вариант. С5

При электролизе воды образуется кислород О2 и водород Н2. Газы отводят в сосуд объёмом 100 л, поддерживая в нём температуру 300 К. Чему равна масса воды, которая разложилась в результате электролиза, чтобы суммарное давление в сосуде достигло 0,1 атм? Считать, что ничего не взрывается. (Решение)

2004 год. 35 вариант. С5

Смесь одинаковых масс гелия, водорода и азота помещена в сосуд и нагрета до температуры 350 К. Плотность смеси оказалась равной 50 г/м3. Чему равно давление в сосуде? (Решение)

Источник