В сосуде объемом 15 л находятся 3 моль

30. Молекулярная физика (расчетная задача)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

В двух сосудах объемами (V) находились углекислый газ и азот, их плотности составляли (rho_1) = 44(cdot) 10(^{-3}) кг/м(^3) и (rho_2) = 56(cdot) 10(^{-3}) кг/м(^3), затем их слили в сосуд объемом (V). Найдите установивишееся давление в сосуде, если температура в нем (T) = 300 К.

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева: [pV=nu R T,] где (p) – давление газа, (V) – объем газа, (nu) – количество вещества газа, (R) – универсальная газовая постоянная, (T) – температура газа в Кельвинах.

Количество вещества можно найти по формуле: [nu=dfrac{m}{mu}, ; ; ; ; (1)] где (m) – масса газа, (mu) – молярная масса газа.

Выразим давление из уравнения Клапейрона-Менделеева: [p=dfrac{nu R T}{V},; ; ; ; (2)] По закону Дальтона, давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов: [p=p_1+p_2, ; ; ; ; (3)] где (p_1) и (p_2) – давления углекислого газа и азота соответственно, (p) – общее давление смеси.

Подставим (1), (2) в (3) с учетом того, что объемы газов и их температуры равны (так как находятся в одном сосуде): [p=dfrac{m_1 R T}{mu_1 V}+dfrac{m_2 R T}{mu_2 V}] Так как (dfrac{m}{V}) это плотность, то суммарное давление смеси: [displaystyle p=dfrac{rho_1 R T}{mu_1 }+dfrac{rho_2 R T}{mu_2 }=RTleft(dfrac{rho_1}{mu_1}+dfrac{rho_2}{mu_2} right)] Найдем общее давление смеси: [p=8,31 text{ Дж/(моль$cdot$ К)}cdot 300 text{ К}cdot left(dfrac{56cdot 10^{-3} text { кг/м$^3$} }{28cdot 10^{-3}text{ кг/моль}}+dfrac{44cdot 10^{-3} text { кг/м$^3$} }{44cdot 10^{-3}text{ кг/моль}}right)=7479text{ Па}]

Ответ: 7479 Па

Баллон, содержащий (m_1) =1 кг азота, при испытании на прочность взорвался при температуре (T_1) = 600 К. Какую массу водорода (m_2) можно было бы хранить в таком баллоне при температуре (T_2 ) = 300 К , если баллон сможет выдержать нагрузку в 5 раз больше? Молярная масса азота (Mr_1) = 28 г/моль, водорода (Mr_2) = 2 г/моль.

Запишем уравнение Клапейрона – Менделеева: [pV=nu R T,] где (p) – давление газа, (V) – объем газа, (nu) – количество вещества газа, (R) – универсальная газовая постоянная, (T) – температура газа в Кельвинах.

Количество вещества можно найти по формуле: [nu=dfrac{m}{Mr}, ; ; ; ; (1)] где (m) – масса газа, (Mr) – молярная масса газа.

Выразим давление из уравнения Клапейрона – Менделеева с учетом (1): [p=dfrac{m R T}{Mr V}, quad (2)] Так как запас прочности во втором случае в 5 раз больше, то и давление, которое может выдержать сосуд в 5 раз больше, а значит: [dfrac{p_2}{p_1}=5 ; ; ; Rightarrow ; ; ; p_2=5p_1] Перепишем данное уравнение с учетом (2): [dfrac{m_2 R T_2}{Mr_2 V}=5cdotdfrac{m_1 R T_1}{Mr_1 V}] Выразим искамую массу (m_2) и найдем ее: [m_2=dfrac{5 m_1 T_1 Mr_2 }{Mr_1 T_2}] [m_2 =dfrac{5 cdot 1 text{ кг}cdot 600 text{ К} cdot 2cdot 10^{-3}text{ кг/моль}}{ 28cdot 10^{-3} text{ кг/моль} cdot 300 text{ К}} approx 0,7 text{ кг}]

Ответ: 0,7 кг

В горизонтальной трубке запаянной с одного конца, помещена ртуть длина столбика которой (h) = 7,5 см. Столбик ртути отделяет воздух в трубке от атмосферы. Трубку расположили вертикально запаянным концом вниз и нагрели на (Delta T) = 50 К. При этом объем, занимаемый воздухом, не изменился. Давление атмосферы в лаборатории – 750 мм рт. ст. Какова температура воздуха в лаборатории?

Давление воздуха будет уравновешивать давление окружающей среды (p_o) и давление столбика ртути (p_h), то есть: [p=p_o+p_h=rho g H + rho g h] [p = rho g (H+h), ; ; ; ; ; (1)] где (rho) – плотность ртути, (g) – ускорение свободного падения, (H) – столб ртути (750 мм = 75 см).

Так как объем воздуха не изменился, то нагревание изохорное, а значит оно подчиняется закону Шарля: [dfrac{p_o}{T_o}=dfrac{p}{T} ; ; ; Rightarrow ; ; ; dfrac{T}{T_o}=dfrac{p}{p_o} ; ; ; ; (2)] Так как происходит нагревание на (Delta T), то: [T=T_o+Delta T ; ; ; ; ; (3)] Подставив (1) и (3) в (2), получим: [dfrac{T_o +Delta T}{T_o}=dfrac{rho g (H+h)}{rho g H} ; ; ; Rightarrow ; ; ; 1+dfrac{Delta T}{T_o}=dfrac{H+h}{H}=1+dfrac{h}{H}] [T_o=dfrac{Hcdot Delta T}{h}] [T_o = dfrac{75text{ см}cdot 50text{ К}}{7,5 text{ см}}=500text{ К}]

Ответ: 500

Два моля идеального газа сначала изотермически расширяются. При этом его объём увеличивается вдвое: (V_2 = 2V_1). Затем газ нагревается при постоянном объёме до первоначального давления (p_3 = p_1). Далее происходит изобарическое расширение газа до объёма, втрое превышающего начальный объём: (V_4 = 3V_1). Температура и давление газа в начальном состоянии 1 равны (t_1) = 7 (^circ)C и (p_1 ) =10(^5) Па , соответственно. Определите значения неизвестных температур, объёмов и давлений газа в состояниях 1, 2, 3 и 4. В ответ дайте давления, температуры и объемы для каждого состояния в порядке 1,2,3,4.

Переведём градусы Цельсия в градусы Кельвина 7(^circ)С = 280 К

Процессы:

1-2 – изотермическое расширение

2-3 – изохорное нагревание

3-4 – изобарическое расширение

Неизвестные параметры будем находить используя закон Менделеева-Клапейрона [pV=nu RT,] а также законы изопроцессов (так как количество вещества остается постоянным, то эти законы применимы):

изобарный – (Vsim T; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; (1))

изохорный – (psim T; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;(2) )

изотермический – (psim dfrac{1}{V} ; ; ; ; (3))

где (nu) – количество вещества газа, (R) – универсальная газовая постоянная, (T) – абсолютная температура газа.

Состояние 1:

Выразим из уравнения Менделеева – Клапейрона объем газа (для состояния 1): [V_1=dfrac{nu R T_1}{p_1}] [V_1=dfrac{2text{ моль}cdot8,31text{ Дж/(моль$cdot$К)}cdot280text{ К}}{10^5text{ Па}}approx0,0465 text{ м$^3$}] Состояние 2:

Так как процесс 1-2 – изотермический, то (T_1) = (T_2) = 280 К

По условию (V_2=2V_1 ; ; ; Rightarrow ; ; ; V_2 =) 0,093 м(^3)

По уравнению (3) при увеличении объема в два раза давление уменьшится в 2 раза, следовательно, давление в состоянии 2 равно: (p_2=dfrac{p_1}{2}=0,5cdot 10^5text{ Па})

Состояние 3:

Так как процесс 2-3 – изохорный, то (V_3=V_2=) 0,093 м(^3)

По условию (p_3=p_1=) 10(^5) Па

Из уравнения Менделеева – Клапейрона выразим температуру газа (для состояния 3): [T_3=dfrac{p_3V_3}{nu R}] [T_3=dfrac{10^5text{ Па}cdot0,093text{ м$^3$}}{2text{ моль}cdot8,31text{ Дж/(моль$cdot$К)}}approx560text{ К}] Состояние 4:

Так как процесс изобарный, то (p_4=p_3=p_1) = 10(^5) Па

По условию (V_4=3V_1 ; ; ; Rightarrow ; ; ; V_4=) 3(cdot) 0,0465 м(^3) = 0,1395 м(^3)

Температура газа в состоянии 4 равна: [T_4=dfrac{p_4V_4}{nu R}] [T_4=dfrac{10^5text{ Па}cdot0,1395text{ м$^3$}}{2text{ моль}cdot8,31text{ Дж/(моль$cdot$К)}}=840text{ К}]

состояние 1: (p_1) = 10(^5) Па, (T_1) = 280 К, (V_1) = 0,0465 м(^3)

состояние 2: (p_2) = 0,5(cdot)10(^5) Па, (T_2) = 280 К, (V_2) = 0,093 м(^3)

состояние 3: (p_3) = 10(^5) Па, (T_3) = 560 К, (V_3) = 0,093 м(^3)

состояние 4: (p_4) = 10(^5) Па, (T_4) = 840 К, (V_4) = 0,1395 м(^3)

Ответ: p₁ = 10⁵ Па, T₁ = 280 К, V₁ = 0,0465 м³ p₂ = 0,5⋅10⁵ Па, T₂ = 280 К, V₂ = 0,093 м³ p₃ = 10⁵ Па, T₃ = 560 К, V₃ = 0,093 м³ p₄ = 10⁵ Па, T₄ = 840 К, V₄ = 0,1395 м³

8 часовой стрим по Математике

Источник