В сосуде объемом содержится идеальный газ

5.4. Практическое применение уравнения состояния идеального газа

5.4.1. Уравнение состояния для идеального газа в открытом сосуде

При рассмотрении идеального газа, находящегося в открытом сосуде, необходимо учитывать, что вследствие изменения термодинамических параметров часть газа выходит из сосуда. При этом уравнение состояния записывается только для той части газа, которая остается в сосуде.

Для идеального газа, находящегося в открытом сосуде, необходимо учитывать следующее:

• масса газа изменяется в результате изменения его термодинамических параметров:

m ≠ const;

• рассматривается газ, оставшийся в сосуде определенного объема, т.е. объем газа фиксирован:

V = const;

• давление газа может изменяться или оставаться постоянным (в зависимости от условия задачи), причем на изменение давления в условии задачи обычно бывает четкое указание.

Если давление идеального газа в открытом сосуде по условию задачи изменяется (p ≠ const), то уравнение Менделеева — Клапейрона записывается для двух состояний газа в виде системы (рис. 5.7):Рис. 5.7

p1V=m1MRT1,p2V=m2MRT2,}

где p
1, m
1, T
1 — давление, масса и температура газа в начальном состоянии; p
2, m
2, T
2 — указанные параметры газа в конечном состоянии; V — объем сосуда; M — молярная масса газа; R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К).

Если давление идеального газа в открытом сосуде по условию задачи остается постоянным (p = const), то изменения некоторых характеристик газа в открытом сосуде можно вычислить по следующим формулам:

• изменение массы

Δm=m1−m2=m1(1−T1T2),

где m
1 — первоначальная масса газа; m
2 — масса газа в конце процесса; T
1 — термодинамическая (абсолютная) температура газа в начале процесса; T
2 — термодинамическая (абсолютная) температура газа в конце процесса;

• изменение плотности

Δρ=ρ1−ρ2=ρ1(1−T1T2),

где ρ1 — первоначальная плотность газа; ρ2 — плотность газа в конце процесса;

• изменение количества вещества

Δν=ν1−ν2=ν1(1−T1T2),

где ν1 — первоначальное количество вещества (газа) в сосуде; ν2 — количество вещества (газа) в сосуде в конце процесса.

Пример 11. В открытом сосуде объемом 450 дм3 содержится некоторое количество идеального газа. Температуру газа увеличивают от 27 до 177 °С. Давление газа остается постоянным и равным 166 кПа. Сколько моль газа выйдет из сосуда?

Решение. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для двух состояний газа, находящегося в открытом сосуде, при нагревании:

• для начального состояния

pV = ν1RT
1;

• для конечного состояния

pV = ν2RT
2;

где p — давление газа, p = const; V — объем газа (сосуда), V = const; ν1, ν2 — количество вещества (газа) в начале и в конце процесса; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T
1, T
2 — температура газа в начале и в конце процесса.

Первое уравнение позволяет получить формулу для расчета количества вещества (газа) в начале процесса:

ν1=pVRT1.

Подстановка полученной формулы в уравнение

Δν=ν1(1−T1T2)

дает искомую разность

Δν=pVRT1(1−T1T2)=pV(T2−T1)RT1T2.

Для вычисления искомой величины необходимо перевести температуру из градусов Цельсия в кельвины:

T
1 = t
1 + 273 = 27 + 273 = 300 К,

T
2 = t
2 + 273 = 177 + 273 = 450 К.

Произведем вычисление:

Δν=166⋅103⋅450⋅10−3(450−300)8,31⋅450⋅300=10 моль.

При нагревании из сосуда вышло 10 моль газа.

Пример 12. В баллоне при температуре 15 °С находится идеальный газ. Из баллона выходит 40 % газа, а температура при этом понижается на 8,0 °С. Во сколько раз уменьшится давление газа в баллоне?

Решение. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для двух состояний газа, находящегося в открытом сосуде:

• для начального состояния

p
1V = ν1RT
1;

• для конечного состояния

p
2V = ν2RT
2;

где p
1 — давление газа в начальном состоянии; p
2 — давление газа в конечном состоянии; V — объем газа (сосуда), V = const; ν1, ν2 — количество вещества (газа) в начале и в конце процесса соответственно; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T
1, T
2 — температура газа в начале и в конце процесса соответственно.

Искомой величиной является отношение давлений p
1/p
2, которое определим из отношения уравнений:

p1Vp2V=ν1RT1ν2RT2, т.е. p1p2=ν1T1ν2T2.

В результате процесса из баллона выходит 40 % газа, поэтому количество вещества (газа) ν2, оставшегося в баллоне, составляет 60 % от количества вещества (газа) ν1, которое было в начале процесса:

ν2 = 0,6ν1.

Для вычисления искомой величины необходимо сделать перевод температуры, заданной в градусах Цельсия, в кельвины:

T
1 = t
1 + 273 = 15 + 273 = 288 К,

T
2 = t
2 + 273 = (t
1 − Δt) + 273 = (15 − 8,0) + 273 = 280 К.

Подстановка температур и количества вещества (газа), оставшегося в баллоне, в выражение для искомой величины дает

p1p2=ν1T10,6ν1T2=T10,6T2=2880,6⋅280=1,7.

Давление газа в баллоне понизится в 1,7 раза.