В сосуде с водой на подставках находится цилиндр без дна

Классика в гидростатике

В статье пойдет речь о законе Архимеда и его применении в задачах на плавание тел погруженных в цилиндрический сосуд с вертикальными стенками. Формулировка закона известна с древних времен. На целиком погруженное в жидкость или газ тела действует выталкивающая сила модуль которой равен весу жидкости или газа в объеме погруженной части тела. За такое большое время придумали огромное количество задач, и несколько приемов их решения. остановимся на классическом решении которое применяют большинство учеников использующих условие плавания тел и то что объем жидкости изначально налитой в сосуд не изменяется. Рассмотрим как реализуют этот прием в решении конкретных задач предлагаемых в различные вузы.

Задача 1. В цилиндрический сосуд с водой опустили железную коробочку, из-за чего уровень воды в сосуде поднялся на 2 см. На сколько опустится уровень воды, если коробочку утопить.

Сделаем рисунок, на котором укажем развитие ситуации. Был объем воды SH стал SH1–Vж где Vж объем жидкости вытесненнной плавающим телом найдем его из условия плавания mg = r0gVж

Получим Для первого и третьего рисунка где объем железной коробочки. Перепишем эти выражения

(1)

(2)

Разделив первое на второе получим откуда

и ∆h = ∆h1 – ∆h2

Задача 2. В одном из двух одинаковых заполненных водой цилиндрических сообщающихся сосудах плавает шарик (рис). Масса шарика m, площадь сечения дна каждого сосуда S. На сколько изменится уровень воды, если вынуть шарик?

В решении изменим условие. Пусть шарик плавает

в цилиндрическом сосуде, изобразим как развивалось ситуация. Объем жидкости в сосуде не меняется

SH1 = SH2 – Vж

Vж – объем жидкости вытесненный погруженной частью тела. Из условия плавания

mg = rgVж

Для нашей задачи очевидно

Задача 3. В прямой цилиндрический сосуд, площадь основания которого 100см2, налили 1л соленой воды плотностью 1,15 г/см3 и опустили льдинку из пресной воды массой 1кг. Определите, как изменится уровень воды в сосуде, если половина льдинки растает. Считать, что при растворении соли в воде объем жидкости не изменится.

Найдем плотность воды после таяния льда r2 если до этого ее плотность была по условию

r1 =1,15 г/см3

r2 =1,1 г/см3

Изобразим развитие действия

Объем воды не меняется Из условия плавания mg = r1 gVж

Для второго случая

Задача 4. В цилиндрическом сосуде площадью сечения 11см2 находится кубик льда массой 11г при температуре -100С. Какое минимальное количество теплоты нужно сообщить льду для того, чтобы уровень воды в сосуде не изменялся. При расчете принять, что при плавлении лед сохраняет форму куба.

Уровень вод в сосуде не будет меняться в процессе плавления льда когда он плавает так как в этом случае объем содержимого не меняется и давление на дно остается постоянным. Количество теплоты идет на нагревание и частичное плавление льда Q =cm∆t + l∆m; ∆m масса растаявшего льда ∆m = m –m1;

m1 масса плавающего льда. Изобразим процесс на рисунке. В момент плавания льда m1g = rgVж =rgHa2 Объем воды равен . Заменим Н в последнем выражении раскрыв скобки получим с другой стороны m1=ra3 Заменим а отсюда Окончательно

Упражнения

1.  В цилиндрическом стакане с водой плавает льдинка, притянутая нитью ко дну. Когда льдинка растаяла, уровень воды изменился на ∆h. Каково было натяжение нити? Площадь дна стакана S

(Ответ T =r0gS∆h)

2.  Дубовый цилиндр высотой 12см плавает в стакане с водой, как изменится уровень воды в стакане, если поверх воды налить слой керосина толщиной 2 см. Площадь поперечного сечения стакана в четыре раза больше площади цилиндра. Плотность керосина и дуба равна 0,8 г/см3

(Ответ ∆Н = 4мм)

3.  В двух цилиндрических сообщающихся сосудах имеющих одинаковые поперечные сечения 11,5см2, находится ртуть. В один из сосудов поверх ртути наливают один литр воды, в другой один литр масла. На какое расстояние переместится уровень ртути в сосудах? Каков будет ответ, если в воду опустить плавать тело массой 150г? rm = 800кг/м3

(Ответ: 0,64см, 1,2см)

4.  В сосуд с водой цилиндрической формы, отпустили кусок льда, в который был вморожен осколок стекла. В результате уровень воды в сосуде поднялся на 11мм, а лед стал плавать целиком погрузившись в воду. На сколько опустится уровень воды в сосуде за время таяния льда? Плотность стекла 2г/см3

(Ответ ∆h =1мм)

5.  В цилиндрический сосуд радиусом 10см налили воду до уровня 15см. В сосуд бросили губку массой 60г которая впитала в себя часть воды, но продолжала плавать на поверхности. Найдите установившийся уровень воды в сосуде

(Ответ 15,3см)

Окончательно с.

Задача 2. Метеорологическая ракета. Метеорологическая ракета стартует в вертикальном направлении с по­верхности Земли. Ее топливо сгорает за τ = 40 с полета. В течение этого времени ускорение ракеты возрастает линейно от а0 = g до аτ = 5g. Найдите мощность двигателя ракеты перед окончанием его работы. Масса не заправ­ленной ракеты m0 = 10 кг, ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Возможное решение

Ускорение ракеты а(t) = а0 + (аτ – а0).

По аналогии с тем, что пройденному пути соот­ветствует площадь под графиком скорости, нахо­дим скорость Vτ ракеты в момент τ как площадь под графиком ускорения (рис.13): Vτ= τ ( аτ + а0)/2.

Согласно второму закону Ньютона, m аτ =F–mg, где F — сила тяги в конце полета. Мощность двигателя в этот момент

N = F Vτ = ( аτ + g) ( аτ + а0) = 720 кВт.

Задача 3. Тяжелый поршень. В теплоизолированном цилиндрическом сосуде с вертикаль­ными гладкими стенками на небольших опорах лежит тяже­лый однородный поршень толщиной h и плотностью ρ (рис. 14). Под поршнем находится газ массой m c удельной теплоемко­стью C. Первоначально давление газа внутри цилиндра равно атмосферному. Газ начинают нагревать, при этом увеличение его давления Δp = α mΔt, где α – заданная константа, Δt – изменение температуры. Какое минимальное количество Q подвести к газу, чтобы поршень сдвинулся с места?

Возможное решение

Пусть М — масса поршня, S — площадь его основания, тогда чтобы он сдвинулся с места, давление газа в цилиндре должно превысить атмосферное на величину

.

Из связи Δр и Δt находим . Следовательно, Q=cmΔt = .

Задача 4. Сосуд на опорах Легкий цилиндрический сосуд с жидкостью плотностью ρ0 стоит на двух параллельных опорах, силы реакций ко­торых составляют N1 и N2 (рис. 15). В сосуд опустили на нити шарик массой m и плотностью ρ так, что он оказался на одной вертикали со второй опорой. При этом шарик пол­ностью погружен в воду и не касается сосуда. Определите новые силы N‘1 и N‘2 реакций опор.

Возможное решение

Пусть F и F’ — силы давления жидкости на основание сосуда до и после погружения шарика, тогда F’ =F +.

Поскольку сосуд легкий и цилиндрический, то при увеличении уровня воды центр масс сосуда с водой не смещается по горизонтали. Следовательно, точ­ки приложения сил F и F‘ совпадают. Запишем условия равновесия сосуда до и после погружения шарика:

N1+N2= F, N‘1+N‘2= F‘, N1l1 = N2l2, N‘1l1 = N‘2l2, где l1 и l2 — плечи реакций опор относительно точки приложения силы F.

Откуда N‘1 = N1, N‘2 = N2.

Заметим, что ответ не зависит от места погружения шарика.

Задача 5. Измерения в электрической цепи. Семь резисторов сопротивлениями R1=1кОм, R2=2кОм, R3=0,5кОм, R4=2,5кОм, R5=2кОм, R6=1кОм, R7=1кОм соединены с источни­ком постоянного напряжения U=30 В (рис.16). К резисторам подключили два вольтметра и два амперметра. Определите их показания V1, V2, I1, I2. Приборы считайте идеальными.

Возможное решение

Перерисуем схему без вольтметров (рис. 17). Сопротивление каждой из параллельных ветвей цепи составляет r = R1 + R2 = R3 + R4= R5 + R6 = 3 кОм, поэтому полное сопротивление цепи

кОм.

Через резистор R7 сила тока I = U/R. Через каждую из параллельных ветвей цепи течет одинаковый ток, поэтому сила тока в каждой из них i = I/3, откуда

I1= I2=2i=2U/3R=10 мА.

Показания V1 и V2 вольтметров найдем как напряжения между соответству­ющими точками: В, В.

10 класс

Задача 1. Клин и шайба (1). Вблизи вершины клина массой М, высотой Н и с длиной основания L удерживают небольшую шай­бу массой m (рис. 18). Клин покоится на гладкой го­ризонтальной поверхности. Шайбу отпускают и она соскальзывает к основанию клина. На какое рассто­яние S при этом переместится клин?

Возможное решение

Поскольку внешние силы, действующие на систему «клин-шайба», не име­ют горизонтальных составляющих, горизонтальная координата центра масс системы не меняется: m(L – S) – MS = 0, откуда S = .

Задача 2. Клин и шайба (2). При выполнении условий предыдущей задачи най­дите максимальную скорость V клина. Трением меж­ду клином и шайбой пренебречь.

Возможное решение

Скорость клина будет максимальной, когда шайба достигнет его основания. Пусть – ско­рость шайбы в этот момент относительно кли­на, а – ее скорость в неподвижной системе отсчета (рис. 22). По теореме косину­сов для треугольника скоростей:

v2 = u2 + V2 – 2uVcos a. (1)

Поскольку внешние силы, действующие на систему «клин-шайба» вертикальны, проекция импульса системы на ось х не меняется: О = m(u cos a – V) – MV, откуда

(2).

По закону сохранения энергии: mgH =

Подставив (1) и (2) в последнее уравнение и учитывая, что cos а = , найдем .

Задача 3. Стакан-поплавок. В глубоком цилиндрическом сосуде с внутренним диаметром D находится вода, в которой дном вниз плавает тонкостенный металлический стакан мас­сой m и высотой H. Благодаря направляющим стенки стакана и цилиндра остаются параллельными. Какую минимальную работу А нужно совершить, чтобы утопить этот стакан, то есть заставить его пойти ко дну? Известно, что утопленный стакан не всплывает, а максимальная масса вмещаемой им воды равна М.

Возможное решение

Будем медленно опускать стакан в воду. Для этого к нему нужно прикла­дывать вертикально вниз силу F, уравновешивающую сумму силы Архимеда и силы тяжести, действующие на стакан. Пока в стакане нет воды, F линейно зависит от глубины погружения х, причем F(0) = 0.

Край стакана сравняется с уровнем жидкости в сосуде при х = х1, (рис. 20). При этом

F(x1) = Мg – mg = F.