В сосуде с водой плавает железный коробок

Закон Архимеда для неподвижных тел

Любое тело, погруженное в жидкость, подвергается сжимающему и выталкивающему действию со стороны жидкости.

Представим такую ситуацию: ученый, владеющий современными приборами и мощным математическим аппаратом, решил вычислить силу, выталкивающую из жидкости погруженное в нее тело.

Он экспериментально установит, что на единицу поверхности тела, погруженного в жидкость с плотностью rдействует по нормали к поверхности сила гидростатического давления p, зависящая от глубины погружения h по определенному закону (rgh) и не зависящая от ориентации поверхности.

Он сложит векторы сил давления, действующих на различные элементы поверхности тела и направленные по нормали к ним; для этого потребуется вычислить так называемый поверхностный интеграл от некоторой векторной функции по поверхности тела сложной формы. С помощью современного математического аппарата и мощных компьютеров этот интеграл может быть вычислен. Но каково же будет изумление этого ученого, когда окажется, что полученный результат численно равен весу жидкости в объеме погруженной части тела! Этот результат был получен греческим ученым Архимедом 2200 лет назад, причем в общем виде – для тел любой формы!

Попробуем восстановить ход рассуждений Архимеда и вывести его закон.

На рис. 1, изображено тело, помещенное в жидкость. На это тело со стороны жидкости действует описанная выше сила гидростатического давления. Для нахождения этой силы вместо вычисления сложных интегралов проведем мысленный эксперимент: уберем тело и рассмотрим жидкость в объеме V, который занимала погруженная часть тела (рис. 2). На эту жидкость действует сила тяжести mg= Vg и сила гидростатического давления F. Выделенный объем находится в равновесии, следовательно, сила, действующих на жидкость в этом объеме, равны: F=rVg.

Отсюда следует выражение для силы гидростатического давления: F=rVg.

Мы нашли силу, действующую на поверхность жидкости, заполняющей объем V. Но поверхность тела, погруженного в жидкость, совпадает с поверхностью жидкости в нашем мысленном эксперименте, следовательно, найденное выражение и есть “выталкивающая” сила – сила Архимеда

FАрх=rgV.

Это равенство и носит название закон Архимеда.

Сила Архимеда. Условие плавания тел.

Решение задачи №1

Способ №1

Вспомним условие плавание тел: вес вытесненной жидкости равен весу плавающего тело. На основе этого в данной задаче можно утверждать, что:

1. Когда в сосуд опустили лед с шариком, уровень воды в нем поднялся на столько, чтобы вытеснялся вес воды равный весу льда и шарика.
2. Вес той части воды, которая вытеснялась за счет веса льда, имеет равный ему вес.

Поэтому:

1. когда лед растает, и соответствующая часть воды уже не будет вытесняться, ее место займет равное количество талой воды.
2. Вода, вытесненная за счет веса шарика, останется в прежнем количестве.

Следовательно, уровень воды останется прежним

Способ №2

Рассуждаем так:

1. Уровень воды в сосуде определяет давление на дно по формуле:

   p=rgh.

2. Давление определяет силу давления на дно сосуда по формуле:

   F=pS, где S – площадь дна сосуда.

3. Сила давления на дно сосуда – это просто вес его содержимого.

Так как вес содержимого не изменился после того, как лед растаял, то сила давления на дно осталась прежней, и, следовательно, давление на дно осталось прежним, и, следовательно, уровень воды остался прежним.

Решение задачи №2

Так как тело плавает, вес вытесненной воды будет равен весу шарика с диском (условие плавания тел).

Будем считать, что при перевороте диска, свинцовый шарик продолжает плавать вместе с ним. Следовательно, вес вытесненной воды не изменится и уровень воды в сосуде тоже.

Решение задачи №3

Шар и коробок плавают вместе: они вытесняют вес воды равный сумме веса коробка и веса шара.

Коробок плавает, а шар лежит на дне: вытесняется вес воды равный весу коробка и вес воды в объеме шара.

Вес стального шара больше веса воды в объеме этого шара. Следовательно, в первом случае вытесняется больше воды, чем во втором и уровень воды понизится.

Решение задачи №5

Что происходит с правой чашкой весов?

После полного погружения тела в воду, на него будет действовать выталкивающая сила (сила Архимеда) и оно станет легче на величину веса воды в объеме тела (закон Архимеда). Следовательно, вес на правой чашке на эту величину станет меньше.

Что происходит с левой чашкой весов?

Уровень воды в сосуде повысится, увеличится давление на дно, следовательно, возрастет сила давления на дно сосуда и, следовательно, вес на левой чашке возрастет.

На какую величину возрастет вес на левой чашке?

Полностью погруженное тело вытесняет вес воды в объеме тела. Легко сообразить, что именно вытесненная вода оказывает дополнительное давление на дно сосуда и создает дополнительный вес равный собственному весу. Следовательно, вес на левой чашке увеличится на вес воды в объеме погруженного тела.

(К такому же выводу можно прийти и быстрее: на тело со стороны воды действует выталкивающая сила равная весу в объеме тела, но действие одного тела на другое всегда носит характер взаимодействия. Следовательно, со стороны тела на жидкость действует такая же по величине сила, направленная в противоположную сторону.)

Поэтому, чтобы уравновесить весы надо на правую чашку положить гирю, имеющую удвоенный вес воды в объеме погруженного тела.

Решение задачи №4

Так как содержимое сосуда не меняется, то остается неизменной сила давления на дно сосуда. Посчитаем силу давления на дно до того, как растаял лед:

F=pS, p=r 2gH

F=Sr 2gH (где H – уровень воды в сосуде до того, как лед растаял).

После того, как лед растает, сила давления на дно складывается из силы гидростатического давления(F1)и веса шарика, лежащего на дне (F2):

F= F1+ F2

F1= Sr 2g(H-h), уровень воды понизился на h по условию задачи.

Вес шарика, полностью погруженного в воду (F2), вычисляется как разность силы тяжести (Mg=r1gVшарика) и действующей на него силы Архимеда (Fарх=r 2gVшарика), поэтому :

F2=Mg – r2gVшарика=r1gVшарика-r2gVшарика=(r1-r2)gVшарика

Но силы давления на дно до и после равны, поэтому получаем следующее уравнение:

Sr 2gH = Sr2g(H-h)+(r1-r2)gVшарика

Из этого уравнения можно легко найти объем шарика (Vшарика), а потом и его массу:

M=r1Vшарика

Некоторые формулы и законы

Запомни, пожалуйста, как связаны между собой масса (M), плотность (r )и объем (V):

M=r V, r =M/V, V=M/r

Сила тяжести

F=Mg, где g=9,8Н/кг

Вес тела

Вес тела – сила, действующая на опору или подвес. Мы ее, пока, вычисляем по формуле:

P=mg

Закон Архимеда (сила Архимеда)

На тело в жидкости или газе действует выталкивающая сила равная весу газа или жидкости в погруженном в жидкость или газ объеме тела.

Если жидкость (газ) одна (однородна), то формула получается такой:

F=r gV,

где V – объем части тела, погруженной в жидкость (газ).

Если тело находится на границе двух жидкостей (газов), тогда формула получается такой:

F=r 1gV1+r 2gV2,

где r 1 и V1 – плотность первой жидкости и часть объема тела, погруженного в нее, а r 2 и V2плотность второй жидкости и часть объема тела, погруженного в нее.

Подъемная сила

Подъемной силой называется равнодействующая силы Архимеда и силы тяжести, действующих на тело. Формула получается такой:

Fпод=Fарх – Mg

Механическая работа

Механическая работа:

A=Fs, где F- сила, s – путь в направлении действия силы

Если сила противоположна перемещению тела, то формула будет такой:

A=-Fs

Если сила перпендикулярна перемещению, то

A=0

К уроку

Сайт создан в системе uCoz

Источник