В тонкостенный металлический сосуд имеющий форму куба

и следовательно,

T14 d 2 =T24 .

2L

Поэтому искомое расстояние между отверстиями

L = dT12 = 2 (2000)2 = 25 см. 2T22 2 (400)2

Ответ: L = 25 см.

Задача 11.2.7. Показать с помощью формулы Вина (11.6), что максимальное значение спектральной плотности энергии теплового излучения пропорционально Т3.

Решение

Согласно формуле Вина (11.6)

uω (T )= ω3 f ω .T

При фиксированной температуре производная

∂∂ωuω = 3ω2 f + ω3 Tf ′

обращается в нуль, если

ω = ωmax = −T 3ff′((ωmax )) .

ωmax

Таким образом,

Ответ: (uω )max T 3 .

Замечание. Для спектральной плотности uλ формула Вина

имеет вид (11.7):

uλ (T )= ϕ(λλ5Т) ,

поэтому с учетом закона смещения (11.8):

(uλ )max ~ T 5 .

Задача 11.2.8. Медный шарик диаметром d помещен в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близ-

кой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика Т0 = 400 К. За время t=4 часа температура шарика уменьшается в η = 2 раза. Считая поверхность шарика абсолютно черной, определить его диаметр d.

Решение

При температуре Т за время dt с поверхности шарика излучается энергия

dW = σT 4 πd 2 dt .

В результате этого внутренняя энергия шарика изменяется на величину

dU = c m dT ,

где m − масса шарика, с − удельная теплоемкость. Полагая

dW = dU ,

получаем уравнение:

σT 4 πd 2 dt = c ρ πd63 dT ,

где ρ − плотность шарика.

Разделяя переменные и интегрируя по t и T, находим:

Ответ:d = 0,55 см.

Задача 11.2.9. Найти с помощью формулы Планка число фотонов dN в единице объема при температуре Т для спектральных ин-

тервалов (ω,ω+ dω) и (λ,λ + dλ).

Решение

Согласно (11.2):

du (ω,ω+ dω)= uωdω,

где в соответствии с формулой Планка (11.9):

Так как энергия фотона c частотой ω равна ω, то du (ω,ω+ dω)= dN ω .

Следовательно, число фотонов в единице объема при температуре Т:

Делая замену переменных:

ω= 2πcλ

и

dω = 2λπ2c dλ ,

для интервала (λ,λ + dλ) получим:

Задача 11.2.10. При каких температурах расхождение между значениями uω, рассчитанными по формулам Вина (11.11) и формуле Планка (11.9), для видимой части спектра (400 ≤ λ ≤ 750 нм)

не превышает 1%?

Решение

По формуле Вина (11.11):

а по формуле Планка (11.9):

j (r ) =

I (r )=

Ответ: Для видимой части спектра (400 ≤ λ ≤ 750) Т ≤ 4150 К для λ = 750 нм.

Задача 11.2.11. Световая мощность излучения точечного изотропного монохроматического (λ = 589 нм) источника равна 10 Вт. Найти: а) среднюю плотность потока фотонов на расстоянии r = = 2 м от источника; б) расстояние R от источника до точки, где средняя концентрация фотонов равна 100 см−3.

Решение:

а) В соответствии с (11.13) на расстоянии r от точечного источника интенсивность излучения равна

P . 4πr2

где P – излучательная мощность источника.

Поскольку энергия одного фотона равна ε = hcλ , то средняя

плотность потока фотонов на расстоянии r от источника:

Pλ . 4πr2hc

При r = 2 м

j ≈ 6 1017 м−2 с−1 .

б) В случае точечного источника можно считать, что

j(R) = n(R) c ,

где n(R) − концентрация фотонов на расстоянии R от источника. Поэтому

и при n =100 см−3:

R ≈ 9 м.

Ответ: а) j ≈ 6 1017 м−2 с−1 ; б) R ≈ 9 м.

11.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 11.3.1. В спектре некоторой звезды максимуму излучения соответствует частота ≈1015 Гц. Найти температуру поверхности этого космического объекта.

Ответ: ≈10 000 К.

Задача 11.3.2. Найти температуру черного тела, если длина волны, соответствующая максимуму его излучательной способности, на λ = 0,5 мкм больше, чем при температуре 2500 К.

Ответ: ≈ 1750 К.

Задача 11.3.3. При какой длине волны излучательная способность абсолютно черного тела с энергетической светимостью 3,0 Вт/см2 максимальна?

Ответ: 3,4 мкм.

Задача 11.3.4. Излучательная способность Солнца максимальна вблизи длины волны 0,48 мкм. В предположении, что Солнце излучает как абсолютно черное тело, оценить: 1) какую массу теряет Солнце ежесекундно за счет теплового излучения? и 2) за какое время масса Солнца должна уменьшаться на 1%?

Ответ: 1) 0,5 1010 кг/с; 2) ≈1011 лет.

Задача 11.3.5. Черный тонкостенный металлический сосуд, имеющий форму куба, заполнен водой, нагретой до 50°С. За какое время сосуд остынет до 10°С, если он находится внутри замкнутой

откачанной черной полости, температура стенок которой поддерживается на уровне 0°С. Масса воды в сосуде − 1 кг.

Ответ: ≈1,64 час.

Задача 11.3.6. Найти мощность Р электрического тока, необходимую для накаливания металлической нити диаметром 1 мм и длиной 20 см до температуры 3500 К. Считать, что нить излучает в соответствии с законом Стефана-Больцмана. Потери на теплопроводность не учитывать.

Ответ: Р = 5350 Вт.

Задача 11.3.7. При Т = 3500 К отношение энергетической светимости вольфрама к энергетической светимости абсолютно черного тела равно 0,35. Найти: 1) радиационную температуру Тr (температуру черного тела, энергетическая светимость которого равна энергетической светимости вольфрама при данной температуре) и 2) мощность электрического тока Р для вольфрамовой нити из предыдущей задачи.

Ответ: 1) Тr ≈ 2690 К, 2) Р ≈ 1870 Вт.

Литература

1.Ландсберг Г.С. Оптика. − М.: Наука, 1976, глава XXXVI.

2.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. − М.: Наука, 1980, глава X.

3.Матвеев А.Н. Оптика. − М.: Высш. шк., 1985, §50.

4.Бутиков Е.И. Оптика. − М.: Высш. шк., 1986, 9.1.

5.Гинзбург В.Л., Левин Л.М., Сивухин Д.В., Четверикова Е.С.,

Яковлев И.А. Сборник задач по общему курсу физики. В 5 т. Кн. IV.

Оптика/ Под ред. Д.В.Сивухина. − М.: ФИЗМАТЛИТ; ЛАНЬ, 2006, §12.

6.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. − М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006, 6.6.

7.Ильичева Е.Н., Кудеяров Ю.А., Матвеев А.Н. Методика ре-

шения задач оптики/ Под ред. А.Н.Матвеева − М.: Изд-во Моск. унта, 1981, раздел X.

Источник

1. g , 10 , . B G .

2. .

3. , , , . h =1. h , i = 600?

4. (n = 1,6) i = 45. d , h = 2 .

5. (. .). , n1, n2, n (n ] n1). i1. i2, .

6. (n = 1,5) d = 3 , . S S.

7. θ = 600 α1 = 450. β2 δ .

8. θ =1000 α1 = 650. γ3 (n = 1,812) .

9. , , . , , 40 . n = 3/2 n = 4/3.

10. (-) AB. .

11. , . (. 1()). (. 1()) , .

12. . , 24 . .

13. F2 , , , F1 20 .

14. . 60 . F ?

15. . D 5,3 . F .

16. R = 20 . F .

17. , , 18 . , , 2 40 . .

18. l1 , , l2 = 3 .

19. A, λ 0,4∙10-6 , 2,0∙10-6 .

20. 2- λ = 0,75∙10-6 . d =12∙10-6 n = 1,5 , . : ?

21. S1 S2 (. .). . , . dmin ?

22. λ1 = 600 , λ2. , 7 – 10- .

23. d = 0,9 . , λ = 640 , l = 3,5 . , 1 .

24. , α = 10, S , r = 0,1 . , a = 2,7 , ∆x = 2,9∙10-3 . λ .

25. 1,26, , . ? 0,55 , 30.

26. λ = 0,6 . m , l, 10. α (.).

27. (λ =5∙10-7), . . d , .

28. (n =1,6) . , , 0,5 . D , λ = 550, .

29. . S – , (λ0=0,589 ); 1 2 , l = 10 ; . 2 , N = 17 . n , n = 1,00029.

30. , 1 0,5 . , ?

31. 6- 5- λ = 0,5, 1 ? .

32. 2 λ = 0,5 . . 6- 5- ? .

33. r = 1 λ = 0,5. , , . bmax , .

34. a = 0,1 (λ = 0,6). , , l = 1. b , .

35. a = 0,05 λ = 694 . ( ).

36. 2 λ = 0,599 . φi .

37. λ = 0,6 a = 12 α0 = 450 . , .

38. λ = 0,5. , l = 1. b , , 20,2

:

1. d ;

2. n 1 ;

3. ,

4. φmax , .

39. d =0,005 . λ1 = 760 , λ2 = 440 .

40. . d = 2. (λ1=0,7 ) (λ2=0,41 )?

41. λ = 0,5. , L = 1, , , , l = 15 . 1 .

42. , , 300 1 , 120.

43. d = 5 β = 300 λ = 0,5. φ .

44. (λ = 147 ). d , 2 , θ = 31030 .

45. λ = 245 θ NaCl (M = 58,5 /), ρ = 2,16 /3. θ, 2 .

46. D 10. φ , . , λ = 0,55.

47. λ = 0,6 . 300, δλ = 0,2 . l .

48. d , (λ1=578 λ2=580 ). l = 1.

49. N = 1000 d = 10. Dφ φ = 300 . R .

50. Dφ λ=6,68∙10-7 2,02∙105 /. Dl ( /) d, , , f = 40.

51. N1 N2 , α = 600. , I0 : 1) N1; 2) . k = 0,05. .

52. – . , – . φ = 600 k = 2 . I/I – , – , P .

53. , , , , . , i0, .

54. n = 1,73. , r , .

55. d = 2 ( 15 /), , . , , , .

56. d1 = 1 , , φ1=200. : 1) d2 , , ; 2) l C = 0,4 / ? [α] 0,665 /∙∙3.

57. , , 0,6 , (λ=0,589 ), , . , : no= 1,544, ne =1,553.

58. (n0 ne) () () , dmin λ0 = 530 13,3.

59. e, , 34 . T , S = 62.

60. W , t = 1 S = 82 , T = 1,2K.

61. , 252, 600. 12 1?

62. T = 600K 0,8, :

1) Rce ;

2) W , S = 52 t = 10.

63. P = 1. T S = 252 1,2 . , , , ω .

64. P R = 10 T 1 . , T = 0,25.

65. 2450, 30% . S .

66. (rλ,T)max λm = 580 . , , T .

67. (rλ,T)max λ1= 2,4 λ2= 0,8 . R , (rλ,T)max?

68. , 0,48. , .

69. T 2 . : 1) (rλ,T) λ = 600; 2) Re λ1 = 590 λ2 = 610. , , λ = 600.

70. , d = 0,5 ℓ = 20 , 3000 . , . 1000 . 0,3.

71. ׸ = 10 1 = 80. τ 2 = 30, . .

72. . 106 .

73. , , , 10 .

74. 5,3 . , λm, (rλ,T)max .

75. T , (rλ,T)max (λ1=750 ), (λ2=380 ).

76. T1 = 500K T2 = 2000K. : 1) ; 2) , .

77. T1=2900. , ∆λ = 9 . T2, .

78. = 1,013∙105 .

79. A , λ0 = 500 .

80. , , U0 = 3 . ν0= 6∙1014 -1; : 1) ; 2) .

81. 500 . : 1) ; 2) 400 .

82. U0 = 1,2 . , λ = 400 . .

83. λ1 = 0,4 φ1 = 2 . , λ2 = 0,3 .

84. λ = 83 . , , = 10 /. λ0 = 264 .

85. λ = 310 . 25%, 0,8. , .

86. υmax , γ- ε = 1,53 .

87. . (: 1, 2 3) . .

88. λ = 220 . υmax .

89. λ , , , 10 /. .

90. , , (1 2) (.). , .

91. , λ = 208 . = 4,7 .

92. λ = 0,5 : 1) m; 2) ε; 3) p.

93. , γ , U =9,8 .

94. , , e γ, λ = 2 .

95. , S = 5 2, t = 3 . , W = 9 . :

1) ;

2) , .

96. λ = 500 , , 0,12 . N, 1 2 .

97. 10 4 . 500 . , . ρ 10%.

98. 150- , , , 15 % . r = 4 .

99. , S = 1,5 2, . p , , φ, , 0,1/2. t =1.

100. 600 . r = 1 d = 2 . , , F .

Источник