В три сосуда различной формы

Физика
Учебник для 10 класса

• В этом параграфе мы рассмотрим закон природы, выполняющийся только для жидкостей и газов и не применимый к твердым телам.

Мысленно представим себе, что внутри жидкости в данной ее точке расположена маленькая площадка. Жидкость производит давление на эту площадку. Существенно, что давление жидкости на эту маленькую площадку не зависит от ориентации площадки.

Чтобы доказать справедливость данного утверждения, воспользуемся так называемым принципом отвердевания. Согласно этому принципу любой объем жидкости или газа в статическом случае, когда элементы жидкости друг относительно друга не смещаются, можно рассматривать как твердое тело и применить к этому объему условия равновесия твердого тела.

Выделим в жидкости небольшой объем в виде длинной треугольной призмы (рис. 9.23, а), одна из граней которой (грань OBCD) расположена горизонтально. Площади оснований призмы будем считать малыми по сравнению с площадью боковых граней. Малым будет объем призмы, следовательно, и сила тяжести, действующая на эту призму. Этой силой можно пренебречь по сравнению с силами давления, действующими на грани призмы(1).

Рис. 9.23

На рисунке 9.23, б изображено поперечное сечение призмы. На боковые грани призмы действуют силы 1, 2, 3. Силы давления на основания призмы не учитываем, так как они уравновешены. Тогда согласно условию равновесия

Векторы этих сил образуют треугольник, подобный треугольнику АОВ, так как углы в этих двух треугольниках соответственно равны (рис. 9.23, в). Из подобия треугольников следует, что

Умножим знаменатели этих дробей соответственно на OD, ВС и КА (OD = ВС = КА):

Из рисунка 9.23, а видно, что знаменатель каждой дроби равен площади соответствующей боковой грани призмы. Обозначив площади этих граней призмы через S1, S2, S3, получим:

или

Итак, давление в неподвижной жидкости (или газе) не зависит от ориентации площадки внутри жидкости.

Согласно же формуле (9.5.3) давление одинаково во всех точках, лежащих на данном уровне. Это давление на нижележащие слои жидкости создается столбом жидкости высотой h. Поэтому можно заключить, что давление верхних слоев жидкости на слои жидкости, расположенные под ними, передается нижележащими слоями одинаково по всем направлениям.

Но давление на жидкость можно произвести внешними силами, например с помощью поршня. Учитывая это, мы приходим к закону Паскаля: давление, производимое внешними силами на покоящуюся жидкость, передается жидкостью во все стороны одинаково.

В этой формулировке закон Паскаля остается верным и для общего случая, т. е. для случая, когда мы учитываем силу тяжести. Если сила тяжести создает внутри покоящейся жидкости давление, зависящее от глубины погружения, то приложенные внешние (поверхностные) силы увеличивают давление в каждой точке жидкости на одну и ту же величину.

Закон Паскаля можно подтвердить экспериментально. Если, например, наполнить водой металлический шар, в котором проделано несколько отверстий, и затем сжать воду поршнем, то одинаковые струи воды брызнут из всех отверстий (рис. 9.24, а). Закон Паскаля справедлив также и для газов (рис. 9.24, б).

Рис. 9.24

Гидростатический парадокс

Возьмем три сосуда различной формы (рис. 9.25). В сосуд А налита вода весом 3 Н, в сосуд В — весом 2 Н, а в сосуд С — весом 1 Н. Уровень воды во всех трех сосудах оказался на высоте 0,1 м. Площадь дна у каждого сосуда равна 20 см2 = 0,002 м2. Применяя формулу р = ρgh, мы найдем, что давление на дно каждого сосуда равно 1000 Па. Зная давление, мы по формуле F = pS найдем, что сила давления на дно сосуда во всех трех случаях равна 2 Н. Не может быть, скажете вы. Как может вода весом 1 Н в третьем сосуде создавать силу давления на дно в 2 Н? Это положение, которое кажется противоречащим здравому смыслу, известно под названием «гидростатического парадокса», или «парадоксаПаскаля».

Рис. 9.25

Пытаясь разрешить загадку гидростатического парадокса, Паскаль ставил сосуды, подобные показанным на рисунке 9.25, на специальные весы, позволяющие измерить силу давления на дно каждого сосуда (рис. 9.26, а, б, в). Дно сосуда, стоящее на весах, не было жестко связано с сосудом, а сам сосуд закреплялся неподвижно на особой подставке. Показания весов подтвердили расчеты. Таким образом, вопреки здравому смыслу сила давления на дно сосуда не зависит от формы сосуда, а зависит лишь от высоты столба жидкости, ее плотности и площади дна.

Рис. 9.26

Этот опыт приводит к мысли, что при надлежащей форме сосуда можно при помощи очень небольшого количества жидкости создать очень большие силы давления на дно. Паскаль прикрепил к плотно закупоренной бочке трубку площадью сечения 1 см2 и налил в нее воды до высоты 4 м (вес воды в трубке Р = mg = 4 Н). Возникшие силы давления разорвали бочку (рис. 9.27). Приняв площадь дна бочки равной 7500 см2, получим силу давления на дно в 30 000 Н, и эта огромная сила вызвана всего одной кружкой воды (400 см3), налитой в трубку.

Рис. 9.27

Как же объяснить парадокс Паскаля? Сила тяжести создает внутри покоящейся жидкости давление, которое, согласно закону Паскаля, передается и на дно, и на стенки сосуда. Если жидкость давит на дно и стенки сосуда, то и стенки сосуда производят давление на жидкость (третий закон Ньютона).

Если стенки сосуда вертикальные (рис. 9.28, а), то силы давления стенок сосуда на жидкость направлены горизонтально. Следовательно, вертикальной составляющей эти силы не имеют. Поэтому сила давления жидкости на дно сосуда равна в этом случае весу жидкости в сосуде. Если же сосуд кверху расширяется (рис. 9.28, б) или сужается (рис. 9.28, в), то сила давления стенок сосуда на жидкость имеет вертикальную составляющую, направленную в первом случае вверх, а во втором — вниз. Поэтому в расширяющемся кверху сосуде сила давления на дно равна разности веса жидкости и вертикальной составляющей силы давления стенок. Следовательно, сила давления на дно в этом случае меньше веса жидкости. В сужающемся кверху сосуде, наоборот, сила давления на дно равна сумме веса жидкости и вертикальной составляющей силы давления стенок на жидкость. Теперь сила давления на дно больше веса жидкости.

Рис. 9.28

Разумеется, если поставить на чашки весов различные сосуды без отделяющегося дна и не закрепленные на подставках, то показания весов будут различными (2Н, 3Н и 1Н, если массой сосудов можно пренебречь). В этом случае к силе давления жидкости на дно в расширяющемся сосуде будет добавляться вертикальная составляющая сил давления жидкости на боковую поверхность. В сужающемся сосуде соответствующая составляющая сил давления будет вычитаться из силы давления на дно.

Гидравлический пресс

Закон Паскаля позволяет объяснить действие распространенного в технике устройства — гидравлического пресса.

Гидравлический пресс состоит из двух цилиндров разного диаметра, снабженных поршнями и соединенных трубкой (рис. 9.29). Пространство под поршнями и трубка заполняются жидкостью (минеральным маслом). Обозначим площадь первого поршня через S1, а второго — через S2. Приложим ко второму поршню силу 3. Найдем, какую силу 1 необходимо приложить к первому поршню, чтобы сохранить равновесие.

Рис. 9.29

Согласно закону Паскаля давление во всех точках жидкости должно быть одним и тем же (действием силы тяжести на жидкость пренебрегаем). Но давление под первым поршнем равно , а под вторым .

Следовательно,

Отсюда

Модуль силы 1 во столько же раз больше модуля силы 2, во сколько раз площадь первого поршня больше площади второго. Таким образом, при помощи гидравлического пресса можно посредством малой силы, приложенной к поршню небольшого сечения, получить огромные силы, действующие на поршень большого сечения. Принцип гидравлического пресса используется в гидравлических домкратах для подъема тяжелых грузов.

Благодаря закону Паскаля возможны парадоксальные ситуации, когда кружка воды, добавленная в бочку, приводит к ее разрыву. Тот же закон Паскаля лежит в основе устройства гидравлических прессов.

Вопросы для самопроверки

1. Сосуд с водой установлен на ребре доски (рис. 9.30). Нарушится ли равновесие, если на поверхность воды положить дощечку и на нее поставить гирьку так, что дощечка с гирькой будут плавать на поверхности воды не в середине сосуда?

Рис. 9.30

(1) Площадь поверхности пропорциональна квадрату линейных размеров тела, а объем — кубу. Поэтому у призмы малых размеров силой тяжести, пропорциональной объему, всегда можно пренебречь по сравнению с силой давления, пропорциональной площади поверхности.

504. Сосуд с жидкостью наклонили (рис. 131). Одинаковое ли давление оказывает после этого жид¬кость на боковые стенки А и В в точках, лежащих на одном горизонтальном уровне?
Жидкость оказывает одинаковое давление на одном горизонтальном уровне везде, в том числе и на стенках А и В (см. рис. 131).

505. Сосуд с водой имеет форму, изображенную на рисунке 132. Одинаково ли давление воды на боковые стенки сосуда на уровне аб?
На уровне ab давление воды на боковые стенки одно и то же (см. рис. 132).

506. Цилиндрические сосуды уравновешены на весах (рис. 133). Нарушится ли равновесие весов, если в них налить воды столько, что поверхность ее установится на одинаковом уровне от дна сосудов? Одинаково ли будет давление на дно сосудов?
Равновесие весов нарушается, так как в разных сосудах различная масса воды. Давление на дно сосуда будет одинаковым, так как высота столба воды в обоих сосудах одна и та же (см. рис. 133)

507. Цилиндрические сосуды уравновешены на весах (см. рис. 133). Мальчик налил в оба сосуда воду одинаковой массы. Нарушилось ли равновесие весов? Одинаково ли будет давление воды на дно сосудов?
Равновесие весов не нарушилось. Давление воды на дно сосуда будет различным, так как уровень налитой воды будет различным (см. рис. 133).

508. В цилиндрический сосуд, частично заполненный водой, опустили деревянный брусок. Изменилось ли давление воды на дно сосуда?
Давление воды на дно увеличилось, так как при опускании в воду деревянного бруска ее уровень поднялся.

509. В трех сосудах с одинаковой площадью дна налита вода до одного уровня (рис. 134). В каком сосуде налито больше воды? Одинаково ли давление на дно в этих сосудах? Почему?
Воды налито больше в крайнем левом сосуде. Давление на дно будет одинаковым во всех трех сосудах, так как везде вода налита до одного уровня (см. рис. 134).

510. Уровень воды в сосудах одинаковый (рис. 135). Будет ли переливаться вода из одного сосуда в другой, если открыть кран?
При открывании крана вода из одного сосуда в другой переливаться не будет, так как уровень воды в сосудах будет одинаковый, а следовательно давление воды на любом уровне так же одинаково (см. рис. 135).

511. Уровень жидкостей в сосудах (см. рис. 135) одинаковый. В левом налита вода, в правом — керосин. Одинаковы ли давления на дно? Одинаковы ли давления на кран? Будет ли переливаться жидкость из одного сосуда в другой, если открыть кран?
Давление воды на дно и на кран больше, чем давление керосина. Объясняется это тем, что плотность воды больше плотности керосина. Если кран открыть, то вследствие разности давлений вода потечет в сосуд с керосином (см. рис. 135).

512. В левой части сосуда над жидкостью находится воздух (рис. 136). Какую высоту столба жидкости следует учитывать при расчете давления на дно сосуда: высоту Н или высоту H1? Ответ объясните.

513. В полиэтиленовый мешок налита вода (рис. 137). Что показывают динамометры: давление или силы, действующие на столики динамометров? Стрелка правого динамометра закрыта листом бумаги. Каково показание правого динамометра? Будут ли изменяться показания динамометров, если воду в мешок доливать (выливать)? Ответы обоснуйте.
Динамометры показывают силы давления жидкости на боковые стенки сосуда с водой. Показания их одинаковы и равны 70Н. Если воду в мешок доливать, то показания динамометров увеличатся, а если воду выливать, то уменьшатся, т.к. увеличится либо уменьшится давление столба жидкости (см. рис.137).

514. Одинаково ли давление воды на дно сосудов (рис. 138)? Чему равно это давление? Изменится ли давление, если воду заменить керосином? Чему оно будет равно в этом случае?

515. Высота столба воды в стакане 8 см. Какое давление на дно стакана оказывает вода? Какое давление оказывала бы ртуть, налитая до того же уровня?

516. Какое давление на дно сосуда оказывает слой керосина высотой 0,5 м?

517. В цилиндрический сосуд налиты ртуть, вода и керосин. Определите общее давление, которое оказывают жидкости на дно сосуда, если объемы всех жидкостей равны, а верхний уровень керосина находится на высоте 12 см от дна сосуда.

518. Сосуды с водой имеют равные площади дна (рис. 139). В каком из них избыточное давление воды на дно (без учета атмосферного давления) больше и во сколько раз?

519. Водолаз в жестком скафандре может погружаться в море на глубину 250 м, искусный ныряльщик — на глубину 20 м. На сколько и во сколько раз отличаются давления воды на этих глубинах?

520. Рассчитайте давление воды: а) на самой большой глубине Тихого океана — 11 035 м; б) на наибольшей глубине Азовского моря — 14 м (плотность воды в нем принять равной 1020 кг/м3).

521. Определите по графику (рис. 140) глубину погружения тела в озеро, соответствующую давлению воды 100, 300 и 500 кПа.
10 м; 30 м; 50 м (рис. 140).

522. Аквариум наполнен доверху водой. С какой силой давит вода на стенку аквариума длиной 50 см и высотой 30 см?

523. В аквариум высотой 32 см, длиной 50 см и шириной 20 см налита вода, уровень которой ниже края на 2 см. Рассчитайте: а) давление воды на дно; б) вес воды; в) силу, с которой вода действует на стенку шириной 20 см.

524. Ширина шлюза 10 м. Шлюз заполнен водой на глубину 5 м. С какой силой давит вода на ворота шлюза?

525. В цистерне, заполненной нефтью, на глубине 3 м имеется кран, площадь отверстия которого 30 см2. С какой силой давит нефть на кран?

526. Прямоугольный сосуд вместимостью 2 л наполовину наполнен водой, а наполовину керосином, а) Каково давление жидкостей на дно сосуда? б) Чему равен вес жидкостей в сосуде? Дно сосуда имеет форму квадрата сo стороной 10 см.

527. Определите силу, с которой действует керосин на квадратную пробку площадью поперечного сечения 16 см2, если расстояние от пробей до уровня керосина в сосуде равно 400 мм (рис. 141).

528. Какую силу испытывает каждый квадратный метр площади поверхности водолазного костюма при погружении в морскую воду на глубину 10 м?

529. Плоскодонная баржа получила пробоину в дне площадью 200 см2. С какой силой нужно давить на пластырь, которым закрывают отверстие, чтобы сдержать напор воды на глубине 1,8 м? (Вес пластыря не учитывать.)

530. Определите высоту уровня воды в водонапорной башне, если манометр, установленный у ее основания, показывает давление 220000 Па.

531. На какой глубине давление воды в море равно 412 кПа?

532. Напор воды в водокачке создается насосом. Определите на какую высоту поднимается вода, если давление, созданное насосом, равно 400 кПа?

533. Брусок размером 0,5×0,4×0,1 м находится в баке с водой на глубине 0,6 м (рис. 142). Вычислите: а) с какой силой вода давит на верхнюю грань бруска; б) на нижнюю грань бруска; в) сколько весит вода, вытесненная бруском.

534. Произведите расчет, взяв данные предыдущей задачи, предполагая, что воду заменили керосином.

535. Используя результаты двух предыдущих задач, вычислите, на сколько сила, действующая на тело снизу, больше силы, действующей на тело сверху: а) в воде; б) в керосине. Сравните полученные результаты с весом вытесненной воды и с весом вытесненного керосина.

536. Один из кофейников, изображенных на рисунке 143, вмещает больше жидкости, чем другой. Укажите какой и объясните.
Правый кофейник вмещает больше жидкости, чем левый, гак как у него кончик носика находится выше.

537. Точкой А обозначен уровень воды в левом колене трубки (рис. 144). Сделайте рисунок и на нем отметьте точкой В уровень воды в правом колене трубки.

538. В сообщающиеся сосуды налита вода. Что произойдет и почему, если в левый сосуд долить немного воды (рис. 145); в средний сосуд долить воды (рис. 146)?
Уровень воды увеличится во всех сосудах на одинаковую высоту. Таким образом, уровни снова выравнятся (рис. 145, 146).

539. Справедлив ли закон сообщающихся сосудов в условиях невесомости? Объясните почему.
Закон сообщающихся сосудов в условиях невесомости не действует, так как жидкости в состоянии невесомости не обладают весом и потому не оказывают давления на дно сосудов.

540. Как при помощи сообщающихся сосудов проверить, горизонтально ли нанесена филенка (линия, отделяющая окраску панели от верхней части стены)?
Нужно взять длинную тонкую резиновую трубку, вставить стеклянные трубки на концах, залить эту систему водой, а концы стеклянных трубок подвести к филенке. Используя свойство сообщающихся сосудов, пройтись с одной из стеклянных трубок вдоль стены.

541. Объясните действие фонтана (рис. 147).
Действие фонтана объясняется тем, что давление жидкости в верхнем конце правой трубки будет больше атмосферного, так как уровень воды в этой трубке меньше уровня воды в левой трубке.

542. В левом колене сообщающихся сосудов налита вода, в правом — керосин (рис. 148). Высота столба керосина 20 см. Рассчитайте, на сколько уровень воды в левом колене ниже верхнего уровня керосина.

543. В сообщающихся сосудах находятся ртуть и вода (рис. 149). Высота столба воды 68 см. Какой высоты столб керосина следует налить в левое колено, чтобы ртуть установилась на одинаковом уровне?

544. В сообщающихся сосудах находилась ртуть. Когда в правую трубку налили слой керосина высотой 34 см, то уровень ртути в левой трубке поднялся на 2 см. Какой высоты следует налить слой воды в левую трубку, чтобы ртуть в трубках установилась на одинаковом уровне (рис. 149)?

545. В сообщающихся сосудах находятся ртуть, вода и керосин (рис. 150). Какова высота слоя керосина, если высота столба воды равна 20 см и уровень ртути в правом колене ниже, чем в левом, на 0,5 см?