В вертикально расположенном закрытом цилиндрическом сосуде

422. Два сосуда, содержащих один и тот же газ при одинаковой температуре, соединены трубкой с краном. Вместимости сосудов V1 и V2, а давления в них р1 и p2. Каким будет давление газа после того, как откроют кран соединительной трубки? Температуру газа считать постоянной.

Решение. После того как откроют кран, каждый из газов станет занимать объем V = V1 + V2, а давления их уменьшаться и станут равными p3 и p4. Общее давление двух газов будет равно

p = p3 + p4. (1)

Так как «температуру газа считать постоянной», то для каждого газа считаем процесс изотермическим:

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
 

[ p_{3} =frac{p_{1} cdot V_{1}}{V_{1} +V_{2}}, ;;; p_{4} =frac{p_{2} cdot V_{2} }{V_{1} +V_{2}}, ;;; p=frac{p_{1} cdot V_{1} +p_{2} cdot V_{2} }{V_{1} +V_{2}}. ]

423. В расположенные вертикально сообщающиеся цилиндрические сосуды, первый из которых имеет площадь поперечного сечения S1, а второй S2, налили жидкость. Затем первый сосуд закрыли и находящийся в нем воздух нагрели от температуры T1 до температуры Т2, в результате чего уровень жидкости во втором сосуде поднялся на величину h. Определить температуру Τ2, если известно, что начальный объем воздуха в закрытом сосуде V1, атмосферное давление p0, плотность жидкости ρ. Тепловым расширением сосуда и жидкости пренебречь.

Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны) (рис. 1):

рА = рВ,

где pА = p2, pВ = ρ⋅g⋅h2 + p0. Тогда

p2 = ρ⋅g⋅h2 + p0. (1)

Из рисунка 1 видно, что

h2 = Δh1 + h,

где Δh1 — высота, на которую опустится жидкость в закрытом сосуде.
Из условия не сжимаемости жидкости

ΔV1 = ΔV2,  S1⋅Δh1 = S2⋅h.

Тогда
 

[  Delta h_{1} =frac{S_{2}}{S_{1} } cdot h, ; ; ; h_{2} =frac{S_{2}}{S_{1}} cdot h+h =left(frac{S_{2} }{S_{1} } +1right)cdot h. ;;; (2) ]

Давление p2 найдем из уравнения Клапейрона для воздуха в закрытом сосуде:
 

[ frac{p_{1} cdot V_{1} }{T_{1} } =frac{p_{2} cdot V_{2} }{T_{2} }, ;;; (3)  ]

где p1 = p0, V2 = V1 + S1⋅Δh1 = V1 + S⋅h.
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
 

[  p_{2} =rho cdot gcdot left(frac{S_{2}}{S_{1} } +1right)cdot h+p_{0}, ; ; ; T_{2} =p_{2} cdot V_{2} cdot frac{T_{1}}{p_{1} cdot V_{1}} =  ]
[ =left(rho cdot gcdot left(frac{S_{2}}{S_{1}} +1right)cdot h+p_{0} right)cdot left(V_{1} +S_{2} cdot hright)cdot frac{T_{1} }{p_{0} cdot V_{1}}. ]

424. Воздух находится в открытом сверху вертикальном цилиндрическом сосуде под поршнем массой m = 20 кг с площадью поперечного сечения S = 20 см2. После того как сосуд стали двигать вертикально вверх с ускорением a = 5,0 м/с2, высота столба воздуха между поршнем и дном сосуда уменьшилась и стала составлять α = 0,80 начальной высоты. Считая температуру постоянной, найти по этим данным атмосферное давление. Трением между поршнем и стенками сосуда пренебречь.

Решение. В задаче описано два состояния воздуха под поршнем: 1) сосуд неподвижен; 2) сосуд движется вверх с ускорением.
На поршень в двух случаях действуют сила тяжести (m⋅g), сила атмосферного давления (F0) и сила давления воздуха под поршнем (F), где F0 = p0⋅S, F = p⋅S, p0 — атмосферное давление, p — давление воздуха под поршнем. Запишем проекцию второго закона Ньютона для двух состояний:
1 состояние (рис. 1)

Y: F1 – F0 – m⋅g = 0

или

p1⋅S – p0⋅S – m⋅g = 0, (1)

2 состояние (рис. 2)

Y: F2 – F0 – m⋅g = m⋅a

или

p2⋅S – p0⋅S – m⋅g = m⋅a. (2)

Так как температура постоянна, то для воздуха под поршнем процесс изотермический. Поэтому

p1⋅V1 = p2⋅V2,

где V1 = S⋅l1, V2 = S⋅l2, l2 = α⋅l1 (по условию). Тогда

p1⋅S⋅l1 = p2⋅S⋅α⋅l1 или p1 = α⋅p2. (3)

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,

p2⋅S = m⋅a + p0⋅S + m⋅g,

[ p_{0} =frac{alpha cdot mcdot a}{Scdot left(1-alpha right)} -frac{mcdot g}{S} =left(frac{alpha cdot a}{1-alpha } -gright)cdot frac{m}{S}, ]

p0 = 1,0⋅105 Па.

430. Определить давление насыщенного водяного пара при температуре t = 17 °С, если в комнате вместимостью V = 50 м3 при относительной влажности φ = 65 % и указанной температуре находится m = 0,476 кг паров воды. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К), молярная масса воды Μ = 18⋅10–3 кг/моль.

Решение. Используя уравнение Клапейрона-Менделеева, найдем давление пара
[ pcdot V=frac{m}{M} cdot Rcdot T, ; ; ; p=frac{mcdot Rcdot T}{Mcdot V}. ]
Тогда давление насыщенного пара pn найдем так (φ = 0,65):
[ varphi =frac{p}{p_{n} }, ; ; ; p_{n} =frac{mcdot Rcdot T}{Mcdot Vcdot varphi }, ]
pn = 1,96⋅103 Па.

431. Смешали V1 = 1,0 м3 воздуха с относительной влажностью φ1 = 20 % и V2 = 2,0 м3 воздуха с влажностью φ2 = 30 %. Обе порции были взяты при одинаковых температурах. Определить относительную влажность получившейся смеси.

Решение. При смешивании разных порций воздуха при одинаковой температуре, получим воздух при той же температуре. Следовательно, давление pn и плотность ρn насыщенного пара воздуха не изменится.
Запишем уравнения для влажности для трех порций воздуха через плотности (φ1 = 0,20, φ2 = 0,30)
[ varphi _{1} =frac{rho _{1} }{rho _{n}}, ; ; ; varphi _{2} =frac{rho _{2} }{rho _{n} }, ; ; ; varphi _{3} =frac{rho _{3} }{rho _{n} }, ]
где плотности пара равны соответственно:
[ rho _{1} =frac{m_{1} }{V_{1} }, ; ; ; rho _{2} =frac{m_{2} }{V_{2} }, ; ; ; rho _{3} =frac{m_{1} +m_{2} }{V_{1} +V_{2}}. ]
Тогда
[ rho _{1} =varphi _{1} cdot rho _{n}, ; ; ; m_{1} =rho _{1} cdot V_{1} =varphi _{1} cdot rho _{n} cdot V_{1}, ; ; ; m_{2} =rho _{2} cdot V_{2} =varphi _{2} cdot rho _{n} cdot V_{2}, ]
[ rho _{3} =frac{left(varphi _{1} cdot V_{1} +varphi _{2} cdot V_{2} right)cdot rho _{n}}{V_{1} +V_{2}}, ; ; ; varphi _{3} =frac{varphi _{1} cdot V_{1} +varphi _{2} cdot V_{2} }{V_{1} +V_{2}}, ]
φ3 = 0,27 = 27 %.

425. По газопроводу течет газ при давлении p = 0,83 МПа и температуре Τ = 300 К. Какова скорость газа в трубе, если за время τ = 2,5 мин через поперечное сечение трубы площадью S = 5,0 см2 протекает m = 20 кг газа? Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К), молярная масса газа Μ = 40⋅10–3 кг/моль.

Решение. Пусть υ — это скорость газа в трубе, тогда объем газа за время τ будет равен:

V = S⋅υ⋅τ.

Используя уравнение Клапейрона-Менделеева, найдем объем газа V:
[ pcdot V=nu cdot Rcdot T=frac{m}{M} cdot Rcdot T, ;;; V=frac{m}{Mcdot p} cdot Rcdot T. ]
Тогда
[ frac{m}{Mcdot p} cdot Rcdot T=Scdot upsilon cdot tau , ; ; ; upsilon =frac{mcdot Rcdot T}{Mcdot pcdot Scdot tau }, ]
υ = 20 м/с.

426. Относительная влажность воздуха в помещении φ = 63%, температура t1 = 18 °С. До какой температуры надо охладить блестящий предмет, чтобы на его поверхности можно было наблюдать осаждение водяных паров? Давление насыщенного водяного пара при 18 °С равно 20,7⋅102 Па, при 10 °С — 12,3⋅102 Па, при 11 °С — 13,1⋅102 Па.

Решение. На блестящей поверхности предмета можно будет наблюдать осаждение водяных паров, если пар у поверхности станет насыщенным.
Найдем давление водяных паров при температуре 18 °С при помощи следующей формулы:
[ varphi =frac{p}{p_{n}}, ]
где φ = 0,63, pn = 20,7⋅102 Па — давление насыщенного пара при температуре 18 °C. Тогда

p = pn⋅φ,

p = 1,30⋅103 Па. С таким давлением пар становится насыщенным при температуре меньше 11 °С.

427. Воздух в помещении имеет температуру t1 = 24 °С и относительную влажность φ1 = 50 %. Определить влажность воздуха после его охлаждения до t2 = 20 °С. Процесс охлаждения считать изохорным. Давление насыщенного водяного пара при 24 и 20 °С — соответственно p01 = 2943 Па и p02 = 2330 Па.

Решение. В задаче описано два состояния газа. Запишем уравнения для расчета относительной влажности для воздуха при температуре t1 = 24 °С и t2 = 20 °С:
[ varphi _{1} =frac{p_{1}}{p_{01}}, ;;; (1) ;;; varphi _{2} = frac{p_{2}}{p_{02}}, ;;; (2) ]
где φ1 = 0,50. По условию процесс охлаждения изохорный, т.е.
[ frac{p_{1} }{T_{1} } =frac{p_{2} }{T_{2} }. ;;; (3) ]

Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
[ frac{p_{1}}{p_{2}} =frac{T_{1}}{T_{2}}, ;;; frac{varphi _{1}}{varphi _{2}} =frac{p_{1}}{p_{2}} cdot frac{p_{02}}{p_{01}} =frac{T_{1}}{T_{2}} cdot frac{p_{02}}{p_{01}}, ;;; varphi _{2} =varphi _{1} cdot frac{p_{01} cdot T_{2}}{p_{02} cdot T_{1}}, ]
φ2 = 0,62 = 62 %.

428. Над поверхностью площадью S = 5,0 км2 слой воздуха толщиной h = 1000 м имеет температуру t1 = 20 °С при относительной влажности φ = 73 %. Воздух охладился до температуры t2 = 10 °С. Найти массу выпавшего дождя. Плотность насыщенного водяного пара при температурах t1 и t2 — соответственно ρ01 = 17,3⋅10–3 кг/м3 и ρ02 = 9,4⋅10–3 кг/м3.

Решение. Найдем плотность пара при температуре t1 = 20 °С и влажности φ:
[ varphi =frac{rho _{1}}{rho _{01}}, ;;; rho _{1} = phi cdot rho _{01}, ]
где φ = 0,73. Тогда ρ1 = 12,6⋅10–3 кг/м3. Тогда масса пара равна

m1 = ρ1⋅V = ρ1⋅S⋅h = φ⋅ρ01⋅S⋅h. (1)

Плотность ρ1 больше плотности насыщенного пара ρ02 при температуре t2 = 10 °С. Следовательно, пар при температуре t2 станет насыщенным и его плотность будет равна ρ02. Тогда масса пара равна

m2 = ρ02⋅V = ρ02⋅S⋅h. (2)

Масса выпавшего дождя, с учетом уравнений (1) и (2), равна:

Δm = m1 – m2 = (φ⋅ρ01 – ρ02)⋅S⋅h,

Δm = 1,6⋅107 кг.

429. Калорифер подает в помещение V = 5,0⋅104 м3 воздуха при температуре t1 и относительной влажности φ1 = 60 %, забирая его с улицы при температуре t2 и относительной влажности φ2 = 80 %. Сколько воды дополнительно испаряет калорифер в подаваемый воздух? При температуре t1 плотность насыщенного водяного пара ρ01 = 15,4⋅10–3 кг/м3, а при температуре t2 — ρ02 = 9.4⋅10–3 кг/м3.

Решение. Масса воды, которую нужно дополнительно испарить в каждый кубометр воздуха Δm = m1 – m2, где m1 и m2 — массы водяных паров при температурах t1 и t2 соответственно. Масса водяных паров в воздухе равна

m = ρ⋅V,

где плотность ρ найдем через относительную влажность
[ varphi =frac{rho }{rho _{0}}, ;;; rho =varphi cdot rho _{0}. ]
Тогда массы паров при температурах t1 и t2 будут равны

m1 = ρ1⋅V = φ1⋅ρ01⋅V,    m2 = ρ2⋅V = φ2⋅ρ02⋅V,

где φ1 = 0,60, φ2 = 0,80. В итоге получаем

Δm = (φ1⋅ρ01 – φ2⋅ρ02)⋅V,

Δm = 86 кг.