В вертикальном цилиндрическом сосуде диаметр которого 2 см

Абитуриенту

Окончание. См. № 02, 05,
09/09

Вариант 3 (окончание)

5. На длинную цилиндрическую проволочную катушку (соленоид) надет замкнутый проволочный виток. Если через соленоид пропускать переменный ток, в витке возникает индукционный ток. Во сколько раз k изменится сила индукционного тока, если диаметр проволоки, из которой сделан виток, увеличить в n = 2 раза?

Решение

Сопротивление проволочного витка

Здесь l – длина проволоки, а d – её диаметр. По закону Ома, сила тока ЭДС индукции i определяется скоростью изменения тока, протекающего через соленоид, и не зависит от параметров надетого витка. При увеличении диаметра d проволоки витка в 2 раза сила тока увеличится в k = 4 раза.

6. Небольшой брусок толкнули вверх по наклонной плоскости, сообщив начальную скорость υ0 = 2 м/с. Брусок поднялся на максимальную высоту h = 15 cм. Какова средняя скорость бруска при возвращении к основанию наклонной плоскости? Принять g = 10 м/с2.

Решение

Применим закон сохранения энергии. При движении бруска вверх а при движении вниз Здесь υ1 – конечное значение скорости при движении вниз. Важно отметить, что величина работы силы трения одинакова (и при этом, конечно, отрицательна) при движении как вверх, так и вниз. Исключив Атр, находим Как известно*, при равноускоренном движении без начальной скорости средняя скорость υср = υ1 /2. Поэтому

7. При температуре t = 0 °C почва покрыта слоем снега толщиной H = 10 см. Какой минимальной толщины h слой дождевой воды температуры t1 = 4 °C может полностью растопить снег? Удельная теплота плавления снега r = 3,4∙105 Дж/кг, его плотность ρ = 500 кг/м3; удельная теплоёмкость воды c = 4,2 ∙ 103 Дж /(кг ∙ К), а её плотность ρ0 = 103 кг/м3.

Решение

Плавление снега (или льда) может происходить за счёт теплоты, выделяющейся при охлаждении воды. Выделим мысленно на поверхности снега небольшую площадку площадью S. Запишем уравнение теплового баланса для процесса таяния снега и охлаждения воды, находящихся в мысленно выделенном цилиндре с основанием S: rρSH = cρ0ShΔt. Отсюда найдём

Здесь Δt = 4 °C.

8. В вертикальном цилиндрическом сосуде радиусом R = 10 см находится жидкость. В ней плавает шар радиусом r = 5 см. Плотность материала шара в k = 2 раза меньше плотности жидкости. На сколько сантиметров понизится уровень жидкости в сосуде, если шар из неё удалить?

Решение

По закону Архимеда и с учётом соотношения плотностей, плавающий шар погружён в жидкость наполовину. Объём погруженной части шара равен

V = (2/3)πr3.

После удаления шара из жидкости объём ранее вытесненной шаром жидкости «распределится равномерно» по сечению сосуда. Её уровень понизится на

9. Поверхность солнечной батареи, площадь которой S = 1 м2, расположена так, что солнечные лучи падают на неё по нормали. Найти коэффициент полезного действия батареи h, если известно, что батарея обладает (выдаёт на выходе) электрической мощностью W = 20 Вт, а плотность потока энергии солнечных лучей, падающих на батарею, равна I = 1,4 · 103 Дж · с-1 · м-2 .

Решение

По определению интенсивности, мощность излучения, падающего на батарею, Wзатр = IS. Коэффициент полезного действия

10. Небольшой груз подвешен на пружинке жёсткостью k = 40 Н/м перед собирающей линзой оптической силой D = 5 дптр. Расстояние от линзы до груза d = 30 см. Груз совершает вертикальные колебания. Энергия этих колебаний равна W = 2 ∙ 10–3 Дж. Найдите амплитуду колебаний А изображения груза, даваемого линзой.

Решение

При гармонических колебаниях полная энергия колебаний равна Отсюда амплитуда колебаний груза Расстояние от линзы до изображения груза находится из формулы линзы

Амплитуду колебаний изображения можно найти с учётом увеличения, даваемого линзой:

Вариант 4

1. Сформулируйте законы преломления света.

2. Дайте определение понятия «напряжённость электрического поля».

3. Выведите формулу для эквивалентной ёмкости последовательно соединённых конденсаторов С1 и С2.

Решение

При последовательном соединении конденсаторов общее напряжение между крайними обкладками U = U1 + U2, где U1 и U2 – напряжения на обкладках каждого конденсатора. При этом абсолютные величины зарядов на каждой из обкладок одинаковы: |q1| = |q2| = q.

Из определения электроёмкости U1 = q1/С1 и U2 = q2/С2. С учётом написанных соотношений получаем .

Отсюда

4. Материальная точка движется вдоль оси ОХ. На рисунке приведена зависимость её координаты x от времени t. Найдите максимальное значение модуля скорости движения точки υ.

Решение

Модуль скорости пропорционален тангенсу угла наклона графика зависимости координаты от времени. Значение скорости максимально в интервале от t1 = 2 c до t2 = 3 c. По определению скорости, её модуль

Значения Δx = –10 м и Δt = 1 с определяются по графику. Таким образом, υmax = 10 м/с.

5. Предмет помещён перед рассеивающей линзой на двойном фокусном расстоянии. Во сколько раз k линейный размер предмета отличается от размера его изображения?

Решение

Применяем формулу линзы Знак «минус» в левой части говорит о том, что линза – рассеивающая, а в правой – о том, что изображение мнимое и находится перед линзой, как и сам предмет. Учтём, что d = 2F, и найдём отсюда Увеличение, даваемое линзой: Г = f/d = 1/3. То есть предмет больше изображения в k = 1/Г = d/f = 3 раза.

6. Теннисный мячик перелетает горизонтально точно над сеткой и ударяется в корт. Какова высота отскока мячика h, если при ударе о корт теряется h = 0,4 кинетической энергии мячика, связанной с его вертикальным движением? Высота сетки Н = 1 м.

Решение

Согласно условию, потеря энергии ηmgH. Оставшаяся энергия mgH – ηmgH перейдёт в потенциальную энергию подъёма мяча после удара о корт: (1 – η)mgH = mgH. Отсюда h = (1 – η)H = 0,6 м.

7. Неоднородное бревно AB длиной L = 5 м лежит на земле. К концу бревна А прикладывают вертикальную силу. При величине этой силы F1 = 480 Н (или больше) этот конец бревна отрывается от земли. Чтобы оторвать от земли другой конец бревна В, к нему надо приложить силу не меньше, чем F2 = 320 H. На каком расстоянии от конца А находится центр тяжести бревна?

Решение

Рассмотрим неподвижное бревно в горизонтальном положении, когда на него одновременно действуют силы F1, F2 и сила тяжести. Применим правило моментов, вычисляя моменты сил относительно оси, перпендикулярной бревну и проходящей, например, через центр тяжести бревна. Согласно правилу моментов, F1 · x = F2(L – x). Отсюда

* Убедиться в этом несложно, записав соответствующие выражения для перемещения и скорости.