В вертикальном цилиндрическом сосуде с гладкими

Окончательно с.

Задача 2. Метеорологическая ракета. Метеорологическая ракета стартует в вертикальном направлении с по­верхности Земли. Ее топливо сгорает за τ = 40 с полета. В течение этого времени ускорение ракеты возрастает линейно от а0 = g до аτ = 5g. Найдите мощность двигателя ракеты перед окончанием его работы. Масса не заправ­ленной ракеты m0 = 10 кг, ускорение свободного падения g = 10 м/с2.

Возможное решение

Ускорение ракеты а(t) = а0 + (аτ – а0).

По аналогии с тем, что пройденному пути соот­ветствует площадь под графиком скорости, нахо­дим скорость Vτ ракеты в момент τ как площадь под графиком ускорения (рис.13): Vτ= τ ( аτ + а0)/2.

Согласно второму закону Ньютона, m аτ =F–mg, где F — сила тяги в конце полета. Мощность двигателя в этот момент

N = F Vτ = ( аτ + g) ( аτ + а0) = 720 кВт.

Задача 3. Тяжелый поршень. В теплоизолированном цилиндрическом сосуде с вертикаль­ными гладкими стенками на небольших опорах лежит тяже­лый однородный поршень толщиной h и плотностью ρ (рис. 14). Под поршнем находится газ массой m c удельной теплоемко­стью C. Первоначально давление газа внутри цилиндра равно атмосферному. Газ начинают нагревать, при этом увеличение его давления Δp = α mΔt, где α – заданная константа, Δt – изменение температуры. Какое минимальное количество Q подвести к газу, чтобы поршень сдвинулся с места?

Возможное решение

Пусть М — масса поршня, S — площадь его основания, тогда чтобы он сдвинулся с места, давление газа в цилиндре должно превысить атмосферное на величину

.

Из связи Δр и Δt находим . Следовательно, Q=cmΔt = .

Задача 4. Сосуд на опорах Легкий цилиндрический сосуд с жидкостью плотностью ρ0 стоит на двух параллельных опорах, силы реакций ко­торых составляют N1 и N2 (рис. 15). В сосуд опустили на нити шарик массой m и плотностью ρ так, что он оказался на одной вертикали со второй опорой. При этом шарик пол­ностью погружен в воду и не касается сосуда. Определите новые силы N‘1 и N‘2 реакций опор.

Возможное решение

Пусть F и F’ — силы давления жидкости на основание сосуда до и после погружения шарика, тогда F’ =F +.

Поскольку сосуд легкий и цилиндрический, то при увеличении уровня воды центр масс сосуда с водой не смещается по горизонтали. Следовательно, точ­ки приложения сил F и F‘ совпадают. Запишем условия равновесия сосуда до и после погружения шарика:

N1+N2= F, N‘1+N‘2= F‘, N1l1 = N2l2, N‘1l1 = N‘2l2, где l1 и l2 — плечи реакций опор относительно точки приложения силы F.

Откуда N‘1 = N1, N‘2 = N2.

Заметим, что ответ не зависит от места погружения шарика.

Задача 5. Измерения в электрической цепи. Семь резисторов сопротивлениями R1=1кОм, R2=2кОм, R3=0,5кОм, R4=2,5кОм, R5=2кОм, R6=1кОм, R7=1кОм соединены с источни­ком постоянного напряжения U=30 В (рис.16). К резисторам подключили два вольтметра и два амперметра. Определите их показания V1, V2, I1, I2. Приборы считайте идеальными.

Возможное решение

Перерисуем схему без вольтметров (рис. 17). Сопротивление каждой из параллельных ветвей цепи составляет r = R1 + R2 = R3 + R4= R5 + R6 = 3 кОм, поэтому полное сопротивление цепи

кОм.

Через резистор R7 сила тока I = U/R. Через каждую из параллельных ветвей цепи течет одинаковый ток, поэтому сила тока в каждой из них i = I/3, откуда

I1= I2=2i=2U/3R=10 мА.

Показания V1 и V2 вольтметров найдем как напряжения между соответству­ющими точками: В, В.

10 класс

Задача 1. Клин и шайба (1). Вблизи вершины клина массой М, высотой Н и с длиной основания L удерживают небольшую шай­бу массой m (рис. 18). Клин покоится на гладкой го­ризонтальной поверхности. Шайбу отпускают и она соскальзывает к основанию клина. На какое рассто­яние S при этом переместится клин?

Возможное решение

Поскольку внешние силы, действующие на систему «клин-шайба», не име­ют горизонтальных составляющих, горизонтальная координата центра масс системы не меняется: m(L – S) – MS = 0, откуда S = .

Задача 2. Клин и шайба (2). При выполнении условий предыдущей задачи най­дите максимальную скорость V клина. Трением меж­ду клином и шайбой пренебречь.

Возможное решение

Скорость клина будет максимальной, когда шайба достигнет его основания. Пусть – ско­рость шайбы в этот момент относительно кли­на, а – ее скорость в неподвижной системе отсчета (рис. 22). По теореме косину­сов для треугольника скоростей:

v2 = u2 + V2 – 2uVcos a. (1)

Поскольку внешние силы, действующие на систему «клин-шайба» вертикальны, проекция импульса системы на ось х не меняется: О = m(u cos a – V) – MV, откуда

(2).

По закону сохранения энергии: mgH =

Подставив (1) и (2) в последнее уравнение и учитывая, что cos а = , найдем .

Задача 3. Стакан-поплавок. В глубоком цилиндрическом сосуде с внутренним диаметром D находится вода, в которой дном вниз плавает тонкостенный металлический стакан мас­сой m и высотой H. Благодаря направляющим стенки стакана и цилиндра остаются параллельными. Какую минимальную работу А нужно совершить, чтобы утопить этот стакан, то есть заставить его пойти ко дну? Известно, что утопленный стакан не всплывает, а максимальная масса вмещаемой им воды равна М.

Возможное решение

Будем медленно опускать стакан в воду. Для этого к нему нужно прикла­дывать вертикально вниз силу F, уравновешивающую сумму силы Архимеда и силы тяжести, действующие на стакан. Пока в стакане нет воды, F линейно зависит от глубины погружения х, причем F(0) = 0.

Край стакана сравняется с уровнем жидкости в сосуде при х = х1, (рис. 20). При этом

F(x1) = Мg – mg = F.