В вертикальный цилиндрический сосуд частично заполненный водой
Задача 1
На фотографии показана роторная карусель, представляющая собой цилиндрический барабан, вращающийся вокруг вертикальной оси с частотой ν = 33 оборота в минуту. Люди, которые первоначально стоят прислонившись спинами к внутренней вертикальной стенке барабана, движутся с центростремительным ускорением 3g (g = 10 м/с2). В результате этого они «прилипают» к стенке барабана. Для пущего эффекта в некоторый момент пол автоматически опускается. Считая людей достаточно худыми, оцените радиус барабана этой карусели, а также минимальный коэффициент трения между людьми и стенкой барабана карусели, достаточный для того, чтобы люди не скользили вниз.
Возможное решение
Будем считать, что люди являются достаточно худыми, и для того чтобы сделать нужные оценки, пренебрежём их толщиной. Тогда из формулы для центростремительного ускорения, полагая его модуль равным 3g, получаем:
3g = ω2 ∙R = 4∙π2∙ν2∙R, где ω = 2∙π∙ν.
Отсюда
R = 3∙g/4∙π2∙ν2 ≅ 2,5 м.
Для ответа на второй вопрос запишем второй закон Ньютона для движения человека по окружности в проекции на вертикальную ось и на радиальное направление (m – масса человека, N – сила реакции стенки барабана, Fтр. – модуль силы трения): m∙g = Fтр., 3∙m∙g = N.
Учтём, что если коэффициент трения минимален, то Fтр. = µ∙N. Тогда из записанных уравнений находим: µ = 1/3.
Критерии оценивания
| Записана формула для центростремительного ускорения | 1 балл |
| Выражен радиус барабана | 1 балл |
| Частота обращения выражена в единицах СИ | 1 балл |
| Найдено численное значение радиуса барабана | 1 балл |
| Записан второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление | 2 балла |
| Записан второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось | 2 балла |
| Выражен коэффициент трения и найдено его численное значение | 2 балла |
Задача 2
В вертикальном цилиндрическом сосуде, частично заполненном тетрахлорметаном, имеющим плотность 1600 кг/м3 и не смешивающимся с водой, плавает кусок льда массой 1 кг. Как и на сколько изменится высота уровня тетрахлорметана после того, как весь лёд растает? Площадь дна сосуда 200 см2.
Возможное решение
Пусть h1- начальная высота уровня тетрахлорметана. Тогда давление на дно сосуда равно
ρT∙g∙h1,
где ρT – плотность тетрахлорметана.
После таяния льда давление на дно сосуда равно:
ρT ∙g∙h2 + ρ∙g∙H = ρT∙g∙h2 + m∙g/S,
где h2 – конечная высота столба тетрахлорметана, ρ – плотность воды, H – высота столба воды. Масса содержимого сосуда не изменилась, следовательно, давление на дно в начальном и конечном состоянии равно, то есть:
Таким образом, высота уровня тетрахлорметана понизится на ∆h = 3,125 см.
Критерии оценивания
| Использована идея о равенстве давлений/сил давления у дна сосуда | 2 балла |
| Записаны формулы для давлений на дно до и после таяния льда (по 2 балла) | 4 балла |
| Давление воды выражено через её массу | 1 балл |
| Получено выражение для изменения высоты уровня тетрахлорметана | 2 балла |
| Найдено численное значение изменения высоты уровня тетрахлорметана и сделан вывод о его понижении | 1 балл |
Задача 3
На графиках приведены зависимости от времени t давления p и объёма V одного моля одноатомного идеального газа. Определите, как со временем изменялась теплоёмкость данного количества газа. Постройте график зависимости этой теплоёмкости от времени.
Графики зависимости теплоёмкости от времени
Возможное решение
В течение первых 15 минут зависимость давления газа от его объёма имеет вид
Пусть в некоторый произвольный момент времени (в интервале от 0 мин. до 15 мин.) давление газа равно p1, а занимаемый им объём равен V1. Запишем для процесса перехода из состояния (p0, V0) в состояние (p1, V1) первое начало термодинамики:
Здесь C – теплоёмкость одного моля газа в рассматриваемом процессе, ∆T – изменение температуры газа, ∆A – работа, которую совершает газ. Она численно равна площади фигуры под графиком зависимости p(V), и эта фигура – трапеция.
Перепишем последнее выражение, воспользовавшись уравнением состояния p∙V = R∙T для одного моля идеального газа:
или
Учтем, что
Тогда
откуда следует
то есть C = 2∙R.
Заметим, что давление p1 и объём V1, взятые в произвольный момент времени, при проведении выкладок сокращаются. Это справедливо, в том числе и для двух произвольных состояний газа, разделённых очень малым промежутком времени. Это доказывает, что теплоёмкость в рассматриваемом процессе является постоянной величиной, то есть она будет равна 2∙R в любой момент в течение первых 15 минут.
По истечении первых пятнадцати минут процесс становится изобарическим.
Следовательно, при этом C = 5/2∙R.
Соответствующий график зависимости теплоёмкости одного моля одноатомного идеального газа от времени изображён на рисунке.
График зависимости теплоёмкости одного моля одноатомного идеального газа от времени
Критерии оценивания
| Получена зависимость давления от объёма для первого процесса | 1 балл |
| Записано первое начало термодинамики для изменения температуры газа при переходе в произвольное промежуточное состояние (в интервале от 0 мин. до 15 мин.) | 1 балл |
| Записано выражение для работы газа при переходе в промежуточное состояние | 1 балл |
| Найдена теплоёмкость в первом процессе и доказано, что она является постоянной величиной (если нет обоснования постоянства теплоёмкости, то за этот пункт ставится 2 балла) | 3 балла |
| Указано, что второй процесс изобарический | 1 балл |
| Указана теплоёмкость во втором процессе | 1 балл |
| Построен график, на котором указаны характерные значения | 2 балла |
Задача 4
В точку А поместили первый точечный заряд, и он создал в точке В потенциал 2 В. Затем первый заряд убрали, и в точку В поместили второй точечный заряд. Он создал в точке А потенциал 9 В. Далее первый заряд вернули обратно в точку А. С какой силой взаимодействуют эти заряды?
Возможное решение
Пусть модули зарядов, которые помещали в точки A и B, равны q1 и q2 соответственно, а расстояние между ними равно R. Записывая формулы для потенциалов, создаваемых точечными зарядами в точках B и A, получим:
Согласно закону Кулона, искомая сила взаимодействия зарядов равна:
С учётом записанных выражений для потенциалов получим:
Ответ: F = 2 нН
Критерии оценивания
| Записаны формулы для потенциалов точечных зарядов (по 2 балла) | 4 балла |
| Записан закон Кулона | 2 балла |
| Получено выражение для силы взаимодействия зарядов | 2 балла |
| Найдено численное значение силы | 2 балла |
Задача 5
Определите показание идеального амперметра в цепи, схема которой приведена на рисунке (Рис. 5.1).
Рис. 5.1
Зависимость силы тока I, протекающего через диод Д, от напряжения U на нём описывается выражением: I = α∙U2, где α = 0,02 А/В2. ЭДС источника E = 50 В. Внутреннее сопротивление источника напряжения и резистора равны r = 1 Ом и R = 19 Ом, соответственно.
Возможное решение
Запишем закон Ома для участка цепи, включающего в себя резистор, источник напряжения и амперметр:
I(R + r) = E – U,
где I – сила тока, текущего через диод (и через амперметр), U – напряжение на диоде.
Используя вольт-амперную характеристику диода, получаем:
Решая квадратное уравнение, находим:
Второй корень квадратного уравнения, соответствующий знаку «+» перед квадратным корнем (3,125 А), не является корнем исходного уравнения. Это можно установить либо при помощи непосредственной подстановки в указанное исходное уравнение, либо заметив, что сила тока, протекающего через амперметр в данной цепи, не может превышать
Imax = E/(R+r) = 2,5 А.
Решение задачи выглядит несколько проще, если сразу подставлять в получаемые уравнения числа. Например, перепишем закон Ома в виде:
α∙U2(R +r) = E – U
Корень этого уравнения соответствует пересечению параболы
y1(U) = α∙U2(R + r) = 0,4∙U2
и графика линейной функции
y2(U) = E – U = 50 – U.
Пересечение происходит в точке с абсциссой U0 = 10 В (это можно установить либо аналитически, решив соответствующее квадратное уравнение, либо графически). При таком напряжении на диоде сила текущего через него тока равна:
Ответ: I0 = 2A
Критерии оценивания
| Записан закон Ома для участка цепи (или для полной цепи) | 2 балла |
| Получено квадратное уравнение относительно силы тока или напряжения | 2 балла |
| Получено решение квадратного уравнения (любым способом) и, при необходимости, обоснованно исключён лишний корень | 4 балла |
| Найдено численное значение силы тока | 2 балла |
Общие рекомендации по оцениванию работы
- За каждое верно выполненное действие баллы складываются.
- При арифметической ошибке (в том числе ошибке при переводе единиц измерения) оценка снижается на 1 балл.
- Максимум за 1 задание – 10 баллов.
- Всего за работу – 50 баллов.
Источник
В.Л.БУЛЫНИН,
ЦО № 17 ЦАО, г. Москва
Согласно школьной программе, законы гидростатики изучаются лишь в 7-м классе, возвращение к их изучению и закреплению в дальнейшем не предусмотрено. Тем не менее задачи на гидростатику относятся к весьма трудным и, если в старших классах не было решено достаточно подобных задач, то на вступительных экзаменах в технические вузы ученик может столкнуться с очень серьёзными, а то и непреодолимыми трудностями. Предлагаемая подборка задач имеет своей целью дать школьнику и преподавателю физики представление об уровне сложности материала по этой теме.
Задача 1 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). Плотность раствора соли с глубиной меняется по закону = 0 + Ah, где 0 = 1 г/см3, А = 0,01 г/см4. В раствор опущены два шарика, связанные нитью такой длины, что расстояние между центрами шариков не может превышать L = 5 см. Объём каждого шарика V = 1 см3, массы m1 = 1,2 г и m2 = 1,4 г. На какой глубине находится каждый шарик?
Решение.
В силу симметрии шариков относительно горизонтальной плоскости, пороходящей через их центры, сила Архимеда для каждого шарика равна gV, где – плотность жидкости на уровне центра шарика. Запишем условие равновесия для каждого из шариков и сложим уравнения:
где
Объединяя все уравнения, находим:
h2 = h1 + L.
Подставляя числовые данные, получаем:
h1 = 27,5 см; h2 = 32,5 см.
Задача 2 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). В водоёме укреплена вертикальная труба с поршнем так, что нижний конец её погружён в воду. Поршень, лежавший вначале на поверхности воды, медленно поднимают на высоту H = 15 м. Какую работу пришлось на это затратить, если площадь поршня 1 дм2, атмосферное давление p0 = 105 Па? Массой поршня пренебречь.
Решение. Сила, которую надо прикладывать к поршню, линейно возрастает от 0 до Fmax = p0S. Зависимость этой силы от высоты столба поднятой воды равна F(h) = ghS, где – плотность воды, h – высота столба поднятой воды, S – площадь поршня.
Максимально возможная высота столба воды, поднятой таким способом, h1 = 10 м, при этом gh1 = p0. График зависимости F = F(h) изображён на рисунке. Очевидно, что работа по подъёму поршня равна площади трапеции под графиком F(h):
Подставив числовые данные, получаем A = 104 Дж.
Задача 3. Льдина площадью 1 м2 и толщиной 0,4 м плавает в воде. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду? Плотность льда 900 кг/м3, g = 10 м/с2.
Решение. Пусть в исходном состоянии h – глубина погружения плавающей льдины. Запишем условие равновесия и следствия из него:
где в, л – плотности воды и льда соответственно, Vпогр – объём погружённой части льдины, V – её полный объём, Н – толщина льдины, h – толщина погружённой части.
При погружении льдины сила нажима линейно возрастает от нуля до Fmax, совершая работу
Задача 4. Бетонная однородная свая массой m лежит на дне водоёма глубиной h, большей, чем длины сваи l. Привязав трос к одному концу сваи, её медленно вытаскивают из воды так, что центр тяжести сваи поднимается на высоту H от поверхности воды (H > l). Какая работа совершается при подъёме сваи? Плотность бетона в n раз больше плотности воды. Силами сопротивления пренебречь.
Решение
1-й способ. Разобьём работу на три этапа:
Подъём верхнего конца сваи до поверхности воды:
– центр тяжести поднимается на высоту
– сила натяжения троса постоянна и равна mg – FA;
– работа (плотность бетона, по условию, в n раз больше плотности воды).
Подъём сваи на высоту l – такую, чтобы нижний конец сваи касался поверхности воды:
– сила натяжения троса линейно возрастает от mg – FA до mg, и работа этой силы равна
Наконец, подъём центра тяжести на высоту H над поверхностью воды:
– сила натяжения троса постоянна и равна mg;
– работа (на высоту центр тяжести уже был поднят на предыдущем этапе).
Общая работа A = A1 + A2 + A3:
2-й способ. Применим закон сохранения энергии. Работа равна изменению энергии системы свая-вода. Потенциальная энергия сваи возросла на mg(H + h). Потенциальная энергия воды уменьшилась на – вода из верхнего слоя водоёма опустилась на дно и заняла объём, прежде занятый сваей. Отсюда:
Задача 5 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). В сосуде находятся три несмешивающиеся жидкости плотностями (сверху вниз) , 2 и 3. Толщина этих слоёв Н/3, H и H соответственно. На дне сосуда лежит стержень из материала плотностью 6, массой m, длиной H. Какую работу надо совершить, поднимая стержень за один конец вертикально, чтобы его верхний торец коснулся поверхности жидкости плотностью ? Толщиной стержня пренебречь. Трение отсутствует.
Решение
Пусть V – объём стержня, A1 – работа по подъёму стержня в жидкости плотностью 3 в вертикальное положение (подъём центра масс на высоту H/2):
При перемещении стержня из жидкости плотностью 3 до верхнего уровня жидкости плотностью 2 сила линейно изменяется от При этом центр тяжести стержня перемещается на высоту H. Следовательно, работа равна:
A3 – работа по подъёму части стержня длиной внутри жидкости плотностью 2 (при этом нижний конец стержня и соответственно центр тяжести этой части стержня поднимается на ):
A4 – работа по перемещению части стержня длиной из жидкости плотностью 2 в жидкость плотностью :
Полная работа равна:
A = A1 + A2 + A3 + A4 =
где – масса стержня.
Задача 6. Акселерометр представляет собой изогнутую под прямым углом трубку, заполненную маслом. Трубка располагается в вертикальной плоскости, угол При движении трубки в горизонтальном направлении с ускорением a уровни масла в коленах трубки соответственно равны h1 = 8 см и h2 = 12 см. Найдите величину ускорения a.
Решение
Рассмотрим сосуд с жидкостью (аквариум), который движется в горизонтальном направлении с ускорением a. При таком движении поверхность жидкости составляет угол с горизонтальной плоскостью, такой что
Такой же перепад высот имеет и жидкость в трубке акселерометра, движущегося с тем же ускорением. Получаем l = h2 + h1,
т.к., по условию, = 45°.
Задача 7 (НГУ). Вертикальный цилиндрический сосуд радиусом R, частично заполненный жидкостью, вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси.
К боковой стенке сосуда на нити длиной l привязан воздушный шарик радиусом r; во время вращения нить образует со стенкой угол . Найдите угловую скорость вращения сосуда.
Решение
Задача 8 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). Цилиндрический сосуд с жидкостью плотностью вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси ОО1. Внутри сосуда к оси OO1 в точке A прикреплён тонкий горизонтальный стержень AB, по которому без трения может скользить муфта в виде шара радиусом r. Шар связан с концом A стержня пружиной жёсткостью k, длина которой в нерастянутом состоянии равна L0. Определите расстояние до центра шара от оси вращения, если плотность материала шара в четыре раза меньше плотности жидкости.
Решение
Направим ось X по направлению стержня AB, а ось Y по вертикальной оси OO1. По условию задачи, перемещение шара возможно лишь вдоль стержня. Так как плотность шара меньше плотности жидкости, составляющая силы Архимеда вдоль оси X больше составляющей силы mgэфф, и шар будет вытесняться жидкостью к оси вращения, сжимая пружину. Исходное положение центра шара L0 + r. Пусть во время вращения центр шара находится на расстоянии x от оси, при этом пружина сжата на величину L0 + r – x. Уравнение движения шара массой m по окружности радиусом x с угловой скоростью имеет вид m2x = Fц, где сила Fц – результат сложения горизонтальной составляющей силы Архимеда и силы упругости сжатой пружины: Fупр = k(L0 + r – x).
Если – плотность материала шара, то
Отсюда получаем:
По условию, В итоге получаем ответ:
Задача 9 (НГУ). Цилиндрический космический корабль радиусом R вращается вокруг своей оси с угловой скоростью . Бассейн в корабле имеет глубину H, а дном бассейна служит боковая стенка корабля. Определите плотность плавающей в бассейне палочки длиной l < H, если из воды выступает её верхняя часть длиной .
Решение
Во вращающейся неинерциальной системе отсчёта роль силы тяжести играет центробежная сила инерции Fц = m2r, где r – расстояние элемента массы m от оси вращения. Центр масс погружённой части палочки находится от оси вращения на расстоянии
Сила Архимеда, действующая на погружённую часть палочки длиной l – , равна FA = ж2rц(l – )S, где ж – плотность жидкости (воды), S – площадь поперечного сечения палочки.
Центр масс всей палочки находится от оси вращения на расстоянии
Условие плавания палочки: P = FA, где P – вес палочки.
где – плотность палочки;
Приравняв P и FА, находим плотность палочки:
Вячеслав Леонидович Булынин окончил физический факультет Ленинградского государственного университета в 1964 г. и по 1992 г. работал в научно-исследовательских институтах в области прикладной сверхпроводимости. С 1993 г. преподаёт в школе физику, астрономию, математику; педагогический стаж 15 лет. Учитель высшей квалификационной категории, методист ЦО № 17. Автор двух пособий по физике, изданных «Континентом-Пресс» в 2004 г.: «Физика. Тесты и задачи» и «Физика. Пособие для подготовки к государственному экзамену». Женат, имеет двух дочерей.
Источник