Вертикально стоящий сосуд с газом разделен

2017-10-05   
Сосуд с разреженным газом разделен на две части тонкой перегородкой, в которой имеется отверстие, размер которого мал по сравнению со средней длиной свободного пробега (рис. 1). Найти отношение концентрации газа в разных частях сосуда, если в одной из них поддерживается температура $T_{1}$, в другой $T_{2}$.

Решение:

Будем считать, что газ в сосуде идеальный, т. е. его молекулы взаимодействуют между собой только при столкновениях. По условию задачи газ разрежен настолько, что средняя длина свободного пробега молекул между столкновениями много больше размеров отверстия. В этом случае молекулы свободно проходят через отверстие, причем каждая молекула приходит в другую половину сосуда с той же энергией, которой она обладала до этого. Средняя энергия молекул при термодинамическом равновесии определяется температурой. Поэтому переход молекул из одной части сосуда в другую должен приводить к выравниванию температур.

Говорить об определенной температуре газа каждой части сосуда можно только в том случае, когда отверстие в перегородке достаточно маленькое, так что установление термодинамического равновесия в каждой части сосуда происходит гораздо быстрее, чем выравнивание температур этих частей.

Сколько же молекул проходит в единицу времени через отверстие из одной половины сосуда в другую? Нетрудно сообразить, что среднее число таких молекул $N$ пропорционально концентрации $n$ и средней скорости $langle v rangle$ молекул в той половине сосуда, из которой они переходят, а также площади отверстия $S$:

$N = Cn langle v rangle S$. (1)

Для вычисления числового значения безразмерного коэффициента $C$ нужно знать закон распределения молекул по направлениям скорости. Однако для решения этой задачи значение $C$ нам не потребуется.

В стационарном состоянии полное число молекул в каждой половине сосуда не меняется со временем. Поэтому среднее число молекул, проходящих через отверстие слева направо и справа налево, должно быть одинаковым. Отсюда с помощью соотношения (1) получаем

$n_{1} langle v_{1} rangle = n_{2} langle v_{2} rangle$. (2)

Средние скорости молекул в каждой половине пропорциональны квадратному корню из соответствующей температуры. Поэтому из равенства (2) находим

$n_{1}/n_{2} = sqrt{T_{2}/T_{1}}$. (3)

В горячей части сосуда концентрация молекул меньше. Однако давление газа там больше, чем в холодной части. Учитывая, что давление выражается формулой $p = nkT$, с помощью равенства (3) получаем для отношения давлений в разных половинах сосуда

$p_{1}/p_{2} = sqrt{T_{1}/T_{2}}$. (4)

рис.2

Рассмотренные в этой задаче закономерности, связанные с прохождением молекул газа через отверстие, соединяющее сосуды с разной температурой, позволяют объяснить следующий простой, но очень эффектный опыт. Керамический сосуд с пористыми стенками опускается открытым концом в воду (рис. 2). Внутри сосуда находится спираль, при пропускании тока через которую можно нагревать находящийся в сосуде воздух. При включении спирали температура воздуха повышается, он расширяется и начинает выходить пузырями из находящегося подводой отверстия сосуда. При достижении стационарного состояния , когда подводимая спиралью теплота станет равной теплоте, отдаваемой поверхностью сосуда в окружающую среду, в сосуде установится определенная температура. Казалось бы, что при этом выход пузырей воздуха должен прекратиться. Так бы и произошло, если бы стенки сосуда были непроницаемыми для молекул воздуха, например стеклянными или металлическими.

Но если стенки сосуда пористые, то пузырьки воздуха будут выходить все время, даже тогда, когда температура воздуха в сосуде перестанет повышаться! В чем же здесь дело?

Температура воздуха внутри пористого сосуда выше, чем снаружи, в атмосфере. Давление же воздуха там и там практически одинаково: внутри сосуда оно больше атмосферного всего на несколько сантиметров водяного столба, что соответствует глубине погружения отверстия сосуда код воду. Через поры в стенках сосуда происходит непрерывный обмен молекулами между воздухом внутри сосуда и в атмосфере, так же как это происходит в сосуде с отверстием в перегородке, рассмотренным в данной задаче. В замкнутом сосуде в стационарном состоянии число молекул, проходящих через отверстие в обе стороны, одинаково. В результате, как видно из формулы (3), в частях сосуда устанавливались такие концентрации, что произведение концентрации на корень из термодинамической температуры было одинаково: $n sqrt{T} = const$.

В рассматриваемом случае одинаковыми по обе стороны пористой перегородки будут давления воздуха. Так как $p = nkT$, то теперь $nT = const$. Но это означает, что потоки молекул воздуха через поры в стенках из атмосферы в сосуд и обратно неодинаковы. Какой же из них больше? Так как поток молекул пропорционален произведению $n sqrt{T}$ в той части, откуда он идет, то при выполнении условия $nT = const$ он будет больше оттуда, где температура ниже. Это и дает объяснение описанному опыту: поток воздуха через поры внутрь сосуда больше, чем наружу. В результате в стационарном состоянии входящий через поры в сосуд избыточный воздух нагревается, расширяется и выходит в виде пузырей через отверстие.

Для подготовки к экзамену предлагаются варианты заданий части «С» Единого государственного экзамена по физике. Часть задач дается с подсказкой решения, часть – для самостоятельного решения. При решении этих заданий важно не только найти верные формулы или законы, но и обосновать необходимость применения этих формул и получить верный ответ, как в общем виде, так и в численном выражении. И обязательно – с единицами измерения.

Задача 1. В колбе вместимостью V=0,5л находится кислород при нормальных условиях. Определить среднюю энергию Еср поступательного движения всех молекул, содержащихся в колбе.

Решение. Средняя энергия поступательного движения всех молекул может быть выражена соотношением Еср=Еср.1N, где Еср.1 – средняя энергия поступательного движения одной молекулы, N – число всех молекул содержащихся в колбе.

Среднюю энергию поступательного движения одной молекулы определяем по формуле: , где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура.

Число молекул, содержащихся в колбе, найдем по формуле N=νNA, где ν – количество вещества кислорода, NA – постоянная Авогадро.

Количество вещества найдем из следующих соображений: известно, что при нормальных условиях молярный объем Vm равен 22,4∙10-3м3/моль. Так как, по условия задачи, кислород в колбе находится при нормальных условиях, то количество вещества кислорода в колбе выражается соотношением . Подставив это выражение в формулу для нахождения числа молекул .

Тогда выражение для определения энергии поступательного движения молекул примет вид

Подставив значение величин и произведя вычисления, найдем Еср=75,9Дж.

Задача 2. Стоящий вертикально цилиндрический закрытый сосуд высотой 0,8м разделен на две части невесомым, скользящим без трения тонким поршнем. На какой высоте установится поршень, если в верхней части сосуда находится гелий (Мне=0,004кг/моль), а в нижней – азот (МN=0,028кг/моль)? Массы газов в обеих частях равны.

Решение. При условии равновесия давления в обеих частях сосуда одинаково. Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева для газов массой m в верхней и нижней частях сосуда , где , а . В этих уравнениях S – площадь сечения цилиндрического сосуда.

Решая эту систему уравнений, получим .

Задача 3. Идеальный одноатомный газ сжимается сначала адиабатно, а затем изобарно. Конечная температура газа равна начальной (рис). При адиабатном сжатии газа внешние силы совершили работу, равную 6кДж. Чему равна работа внешних сил за весь процесс 1-2-3?

Решение. Работа внешних сил за весь процесс определяется следующим образом А123=А12+А23, где А23=νRΔT23.

Так как 1-2 процесс адиабатный, то А12=ΔU12, где .

Учитывая, что и А12=ΔU12 можно записать

. Отсюда получаем выражение для ΔT23: .

Проведя преобразования получим выражение для расчета работы газа за весь процесс: Проведя вычисления, получаем А123=10кДж.

Задача 4. Рабочим телом тепловой машины является гелий, который в ходе работы меняет свое состояние циклически, как показано на рисунке. Каков КПД такой тепловой машины?

Решение. КПД тепловой машины определяется по формуле , где Аполез=А1234 – работа газа за цикл, Qзатрач=Q13 – суммарное количество теплоты, полученное на участках цикла 1-2 и 2-3.

Работа газа за цикл равна площади прямоугольника 1-2-3-4, изображающего график цикла в координатах p-V: А1234=2р0V.

На участках 1-2 по первому закону термодинамики подведенное количество теплоты затрачивается только на увеличение внутренней энергии, а на участке 2-3 на увеличение внутренней энергии и совершение работы в изобарном процессе: Q13=ΔU13+A13=ΔU13+A12+A23=ΔU13+A23,

где .

Тогда

.

Тогда .

Задача 5. В цилиндр объемом 0,5м3 насосом закачивается воздух со скоростью 0,002кг/с. В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии стержнем, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке А (см. рисунок). К свободному концу стержня подвешен груз массой 2 кг. Клапан открывается через 580с работы насоса, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Площадь закрытого клапаном отверстия 5∙10-4м2, расстояние АВ равно 0,1 м. Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна 300 К. Определите длину стержня, если его можно считать невесомым.

Решение. Клапан откроется, когда избыточная сила F давления воздуха на клапан изнутри цилиндра сравняется с силой давления стержня на этот клапан. Если превышение давления воздуха в цилиндре над атмосферным Δр, а площадь клапана S, то F=S∙Δp.

Сила действия стержня на клапан равна , где m, L и l соответственно масса груза, длина стержня и длина его участка АВ. Итак, должно выполняться условие .

Дополнительное давление воздуха определяется увеличением массы Δmв воздуха в цилиндре.

Согласно уравнению Клапейрона–Менделеева, , где M – молярная масса воздуха. Поэтому условие открытия клапана имеет вид:

, или .

Если насос закачивает каждую секунду V0кг воздуха, то массу Δmв он закачает в цилиндр за время t. Следовательно, клапан откроется в момент, когда выполнится равенство . Подставив числовые данные получаем L=0,5м.

Задачи для самостоятельного решения.

11.2.1. Газ имеет следующие параметры: V1 = 0,01 м3, р1 = 0,2МПа, Т1=300К, Т2=320К, Т3 = 350 К. Найти работу А при переходе газа из состояния 1 в состояние 3 (см. рис.).

11.2.2. Идеальный газ из состояния с давлением 2.105Па и объемом 4 л переводят в состояние с давлением 105Па и объемом 1л двумя различными способами. В первом случае переход сначала осуществляется по изобаре, а затем по изохоре, а во втором случае сначала по изохоре, а затем по изобаре. В каком случае выделяется большее количество теплоты? Определить разницу в тепловыделении.

11.2.3. В цилиндре под поршнем находится идеальный одноатомный газ. Какое количество теплоты получил газ, если при давлении 1,2.105Па он изобарно расширился с 0,12 м3 до 0,14м3 ? (ответ в кДж)

11.2.4. Карбюраторный двигатель внутреннего сгорания работает по циклу, состоящему из двух адиабат и двух изохор. Рассчитать КПД двигателя при следующих значениях температур: T1=300 К, T2 = 530 К, Т3 = 790 К, Т4 = 460 К.

11.2.5. Найдите работу тепловой машины за один цикл, изображенный на рисунке.

11.2.6. В котле паровой машины температура равна 160ºC, а температура холодильника 10ºC. Какую максимальную работу можно теоретически получить от машины, если в топке, коэффициент полезного действия которой 60%, сожжено 200кг угля с удельной теплотой сгорания 2,9.107Дж/кг?

11.2.7. Паровая машина мощности 14,7кВт потребляет за 1ч работы 8,1кг угля с удельной теплотой сгорания 3,3.107Дж/кг. Температура котла 200ºC, холодильника 58ºC. Найдите кпд этой машины и сравните с кпд идеальной тепловой машины.

11.2.8. Гелий в количестве ν=1,5 моль находится при комнатной температуре в равновесии в вертикальном цилиндре под поршнем массой 3,3кг и площадью 30см2, способным свободно перемещаться. Трение между поршнем и стенками цилиндра отсутствует. Внешнее атмосферное давление р0=105Па. В результате медленного нагревания гелия поршень передвинулся вверх на расстояние Δh=3см. На какую величину ΔT изменилась температура гелия?

11.2.9. Из баллона со сжатым водородом вместимостью 10л вследствие неисправности вентиля утекает газ. При 70С манометр показывает давление 5МПа. Показание манометра не изменилось и при 170С. Определить массу вытекшего газа.

11.2.10. Во сколько раз изменится подъемная сила воздушного шара, если наполняющий его гелий заменить водородом? Весом оболочки шара пренебречь.

11.2.11. Сосуд разделен пополам полунепроницаемой перегородкой, пропускающей водород и не пропускающий кислород. В правую половину сосуда впускают 36г кислорода и 4г водорода. Объем сосуда 20л, температура 27°С. Определить давление в левой и правой половинах сосуда, когда установится равновесие.

11.2.12. Давление воздуха внутри бутылки, закрытой пробкой, равно 0,1МПа при температуре t1=7°С. На сколько градусов нужно нагреть воздух в бутылке, чтобы пробка вылетела? Без нагревания пробку можно вынуть, прикладывая к ней силу 30Н. Сечение пробки 2см2.

11.2.13. На поверхность воды капают раствор подсолнечного масла в бензине. Сначала на поверхности воды образуется круглое радужное пятно, затем бензин испаряется, пятно исчезает. Посыпание поверхности воды тальком через тонкое ситечко позволяет обнаружить границы невидимого до этого масляного пятна диаметром 20см. Оцените по этим данным размер молекул масла, если концентрация масла в бензине 0,1% (по объему), а объем капли бензина 0,05мл. Плотности бензина и масла примерно равны.

11.2.14. Стоящий вертикально цилиндрический закрытый сосуд высотой 0,8м разделен на две части невесомым, скользящим без трения тонким поршнем. На какой высоте установится поршень, если в верхней части сосуда находится гелий (Мне=0,004кг/моль), а в нижней – азот (МN=0,028кг/моль)? Массы газов в обеих частях равны.

11.2.15. На диаграмме (см. рисунок) представлены изменения давления и объема идеального одноатомного газа. Какое количество теплоты было получено или отдано газом при переходе из состояния 1 в состояние 3?

11.2.16. С разреженным азотом, который находится в сосуде под поршнем, провели два опыта. В первом опыте газу сообщили, закрепив поршень, количество теплоты Q1=742Дж, в результате чего его температура изменилась на 1 К. Во втором опыте, предоставив азоту возможность изобарно расширяться, сообщили ему количество теплоты Q2=1039Дж, в результате чего его температура изменилась также на 1 К. Определите массу азота в опытах.