Внутренняя энергия идеального газа в закрытом сосуде

Âíóòðåííþþ ýíåðãèþ òåëà ñîñòàâëÿþò êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âñåõ åãî ìîëåêóë è ïîòåíöèàëü­íàÿ ýíåðãèÿ èõ âçàèìîäåéñòâèÿ.

Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ âõîäèò â áàëàíñ ýíåðãåòè÷åñêèõ ïðåâðàùåíèé â ïðèðîäå. Ïîñëå îòêðûòèÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè áûë ñôîðìóëèðîâàí çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè. Ðàññìîòðèì âçàèìíîå ïðåâðàùåíèå ìåõàíè÷åñêîé è âíóòðåííåé ýíåðãèé. Ïóñòü íà ñâèíöîâîé ïëèòå ëåæèò ñâèíöîâûé øàð. Ïîäíèìåì åãî ââåðõ è îòïóñòèì. Êîãäà ìû ïîäíÿëè øàð, òî ñîîáùèëè åìó ïîòåí­öèàëüíóþ ýíåðãèþ. Ïðè ïàäåíèè øàðà îíà óìåíüøàåòñÿ, ò. ê. øàð îïóñêàåòñÿ âñå íèæå è íèæå. Íî ñ óâåëè÷åíèåì ñêîðîñòè ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàåòñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ øàðà. Ïðîèñõîäèò ïðåâðàùåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè øàðà â êèíåòè÷åñêóþ. Íî âîò øàð óäàðèëñÿ î ñâèíöîâóþ ïëèòó è îñòàíîâèëñÿ. È êèíåòè÷åñêàÿ, è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè åãî îòíîñèòåëüíî ïëèòû ñòàëè ðàâíûìè íóëþ. Ðàññìàòðèâàÿ øàð è ïëèòó ïîñëå óäàðà, ìû óâèäèì, ÷òî èõ ñîñòîÿíèå èçìåíèëîñü: øàð íåìíîãî ñïëþùèëñÿ, è íà ïëèòå îáðàçîâàëàñü íåáîëüøàÿ âìÿòèíà; èçìåðèâ æå èõ òåìïåðàòó­ðó, ìû îáíàðóæèì, ÷òî îíè íàãðåëèñü.

Íàãðåâ îçíà÷àåò óâåëè÷åíèå ñðåäíåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìîëåêóë òåëà. Ïðè äåôîðìàöèè èç­ìåíÿåòñÿ âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ÷àñòèö òåëà, ïîýòîìó èçìåíÿåòñÿ è èõ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ.

Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî â ðåçóëüòàòå óäàðà øàðà î ïëèòó ïðîèñõîäèò ïðåâðàùåíèå ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè, êîòîðîé îáëàäàë â íà÷àëå îïûòà øàð, âî âíóòðåííþþ ýíåðãèþ òåëà.

Íåòðóäíî íàáëþäàòü è îáðàòíûé ïåðåõîä âíóòðåííåé ýíåðãèè â ìåõàíè÷åñêóþ.

Íàïðèìåð, åñëè âçÿòü òîëñòîñòåííûé ñòåêëÿííûé ñîñóä è íàêà÷àòü â íåãî âîçäóõ ÷åðåç îòâåðñòèå â ïðîáêå, òî ñïóñòÿ êàêîå-òî âðåìÿ ïðîáêà èç ñîñóäà âûëåòèò.  ýòîò ìîìåíò â ñîñóäå îáðàçóåòñÿ òóìàí. Ïîÿâëåíèå òóìàíà îçíà÷àåò, ÷òî âîçäóõ â ñîñóäå ñòàë õîëîäíåå è, ñëåäîâàòåëüíî, åãî âíóò­ðåííÿÿ ýíåðãèÿ óìåíüøèëàñü. Îáúÿñíÿåòñÿ ýòî òåì, ÷òî íàõîäèâøèéñÿ â ñîñóäå ñæàòûé âîçäóõ, âûòàëêèâàÿ ïðîáêó (ò. å. ðàñøèðÿÿñü), ñîâåðøèë ðàáîòó çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ ñâîåé âíóòðåííåé ýíåðãèè. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïðîáêè óâåëè÷èëàñü çà ñ÷åò âíóòðåííåé ýíåðãèè ñæàòîãî âîçäóõà.

Òàêèì îáðàçîì, îäíèì èç ñïîñîáîâ èçìåíåíèÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè òåëà ÿâëÿåòñÿ ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ìîëåêóëàìè òåëà (èëè äðóãèìè òåëàìè) íàä äàííûì òåëîì. Ñïîñîáîì èçìåíåíèÿ âíóò­ðåííåé ýíåðãèè áåç ñîâåðøåíèÿ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ òåïëîïåðåäà÷à.

Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà .

Ïîñêîëüêó ìîëåêóëû èäåàëüíîãî ãàçà íå âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ äðóãîì, èõ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñ÷èòàåòñÿ ðàâíîé íóëþ. Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî ãàçà îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé áåñïîðÿäî÷íîãî ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ åãî ìîëåêóë. Äëÿ åå âû÷èñëåíèÿ íóæíî óìíîæèòü ñðåäíþþ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ îäíîãî àòîìà íà ÷èñëî àòîìîâ . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî k NA = R, ïîëó÷èì çíà÷åíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè èäåàëüíîãî ãàçà:

.

Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà åãî òåìïåðàòóðå. Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèåì Êëàïåéðîíà-Ìåíäåëååâà, òî âûðàæåíèå äëÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè èäåàëüíîãî ãàçà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:

.

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî, ñîãëàñíî âûðàæåíèþ äëÿ ñðåäíåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè îäíîãî àòîìà  è â ñèëó õàîòè÷íîñòè äâèæåíèÿ, íà êàæäîå èç òðåõ âîçìîæíûõ íàïðàâëåíèé äâèæåíèÿ, èëè êàæäóþ ñòåïåíü ñâîáîäû, ïî îñè X, Y è Z ïðèõîäèòñÿ îäèíàêîâàÿ ýíåðãèÿ .

×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû — ýòî ÷èñëî âîçìîæíûõ íåçàâèñèìûõ íàïðàâëåíèé äâèæåíèÿ ìîëåêóëû.

Ãàç, êàæäàÿ ìîëåêóëà êîòîðîãî ñîñòîèò èç äâóõ àòîìîâ, íàçûâàåòñÿ äâóõàòîìíûì. Êàæäûé àòîì ìîæåò äâèãàòüñÿ ïî òðåì íàïðàâëåíèÿì, ïîýòîìó îáùåå ÷èñëî âîçìîæíûõ íàïðàâëåíèé äâè­æåíèÿ — 6. Çà ñ÷åò ñâÿçè ìåæäó ìîëåêóëàìè ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû óìåíüøàåòñÿ íà îäíó, ïî­ýòîìó ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû äëÿ äâóõàòîìíîé ìîëåêóëû ðàâíî ïÿòè.

Ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ äâóõàòîìíîé ìîëåêóëû ðàâíà . Ñîîòâåòñòâåííî âíóòðåí­íÿÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî äâóõàòîìíîãî ãàçà ðàâíà:

.

Ôîðìóëû äëÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè èäåàëüíîãî ãàçà ìîæíî îáîáùèòü:

.

ãäå i — ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ìîëåêóë ãàçà (i = 3 äëÿ îäíîàòîìíîãî è i = 5 äëÿ äâóõàòîìíîãî ãàçà).

Äëÿ èäåàëüíûõ ãàçîâ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ çàâèñèò òîëüêî îò îäíîãî ìàêðîñêîïè÷åñêîãî ïàðàìåòðà — òåìïåðàòóðû è íå çàâèñèò îò îáúåìà, ò. ê. ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà íóëþ (îáúåì îïðåäåëÿåò ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ìåæäó ìîëåêóëàìè).

Äëÿ ðåàëüíûõ ãàçîâ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ íå ðàâíà íóëþ. Ïîýòîìó âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ â òåð­ìîäèíàìèêå â îáùåì ñëó÷àå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðàìè, õàðàêòåðèçóþùèìè ñîñòîÿ­íèå ýòèõ òåë: îáúåìîì (V) è òåìïåðàòóðîé (T).

Глава 13. Основы термодинамики

Тепловые явления можно описывать с помощью величин (макроскопических параметров), измеряемых такими приборами, как манометр и термометр. Эти приборы не реагируют на воздействие отдельных молекул. Теория тепловых процессов, в которой не учитывается молекулярное строение тел, называется термодинамикой. В термодинамике рассматриваются процессы с точки зрения превращения теплоты в другие виды энергии.

Вспомните из курса физики основной школы, что такое внутренняя энергия.

Какие способы изменения внутренней энергии вы знаете?

Термодинамика была создана в середине XIX в. после открытия закона сохранения энергии. В её основе лежит понятие внутренняя энергия. Само название «внутренняя» предполагает рассмотрение системы как ансамбля движущихся и взаимодействующих молекул. Остановимся на вопросе о том, какая связь существует между термодинамикой и молекулярно-кинетической теорией.

Термодинамика и статистическая механика. Первой научной теорией тепловых процессов была не молекулярно-кинетическая теория, а термодинамика.

Сейчас в науке и технике при изучении тепловых явлений используется как термодинамика, так и молекулярно-кинетическая теория. В теоретической физике молекулярно-кинетическую теорию называют статистической механикой.

Главное содержание термодинамики состоит в двух основных её законах, касающихся преобразования энергии. Эти законы установлены опытным путём. Они справедливы для всех веществ независимо от их внутреннего строения.

Внутренняя энергия в молекулярно-кинетической теории.

Основным понятием в термодинамике является понятие внутренней энергии.

Механическая энергия тела (системы) как целого не входит во внутреннюю энергию. Например, внутренняя энергия газов в двух одинаковых сосудах при равных условиях одинакова независимо от движения сосудов и их расположения относительно друг друга.

Вычислить внутреннюю энергию тела (или её изменение), учитывая движение отдельных молекул и их положения относительно друг друга, практически невозможно из-за огромного числа молекул в макроскопических телах. Поэтому необходимо уметь определять значение внутренней энергии (или её изменение) в зависимости от макроскопических параметров, которые можно непосредственно измерить.

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа. Вычислим внутреннюю энергию идеального одноатомного газа.

Согласно модели молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом, следовательно, потенциальная энергия их взаимодействия равна нулю. Вся внутренняя энергия идеального газа определяется кинетической энергией беспорядочного движения его молекул.

Для вычисления внутренней энергии идеального одноатомного газа массой т нужно умножить среднюю кинетическую энергию одного атома на число атомов. Учитывая, что kNA = R, получим формулу для внутренней энергии идеального газа:

Она не зависит от объёма и других макроскопических параметров системы.

Если идеальный газ состоит из более сложных молекул, чем одноатомный, то его внутренняя энергия также пропорциональна абсолютной температуре, но коэффициент пропорциональности между U и Т другой. Объясняется это тем, что сложные молекулы не только движутся поступательно, но ещё и вращаются и колеблются относительно своих положений равновесия. Внутренняя энергия таких газов равна сумме энергий поступательного, вращательного и колебательного движений молекул. Следовательно, внутренняя энергия многоатомного газа больше энергии одноатомного газа при той же температуре.

Зависимость внутренней энергии от макроскопических параметров. Мы установили, что внутренняя энергия идеального газа зависит от одного параметра — температуры.

У реальных газов, жидкостей и твёрдых тел средняя потенциальная энергия взаимодействия молекул не равна нулю. Правда, для газов она много меньше средней кинетической энергии молекул, но для твёрдых и жидких тел сравнима с ней.

Средняя потенциальная энергия взаимодействия молекул газа зависит от объёма вещества, так как при изменении объёма меняется среднее расстояние между молекулами. Следовательно,

Значения макроскопических параметров (температуры Т, объёма V и др.) однозначно определяют состояние тел. Поэтому они определяют и внутреннюю энергию макроскопических тел.

Внутренняя энергия U макроскопических тел однозначно определяется параметрами, характеризующими состояние этих тел: температурой и объёмом.

Вопросы к параграфу

1. Приведите примеры превращения механической энергии во внутреннюю и обратно в технике и быту.

2. От каких физических величин зависит внутренняя энергия тела?

3. Чему равна внутренняя энергия идеального одноатомного газа?