Внутренняя энергия идеального одноатомного газа в закрытом сосуде
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Некоторое число молей одноатомного идеального газа расширяется изотермически из состояния (p_1 = 10^5) Па и (V_1 = 1) литр до объема (V_2 = 2V_1). Чему равно изменение внутренней энергии этого газа? (Ответ дайте в джоулях.)
Изменение внутренней энергии равно: [Delta U=dfrac{3}{2}nu RDelta T,] где (nu) — количество вещества газа, (R) — универсальная газовая постоянная, (Delta T) — изменение абсолютной температуры газа.
По условию задачи процесс изотермический, следовательно: [T_1=T_2=const hspace{2 mm} Rightarrow hspace{2 mm} Delta T=0] Подставим в формулу: [Delta U=dfrac{3}{2}nu Rcdot0] Получим, что изменение внутренней энергии также равно нулю: [Delta U=0]
Ответ: 0
В сосуде с небольшой трещиной находится воздух. Воздух может медленно просачиваться сквозь трещину. Во время опыта объем сосуда уменьшили в 8 раз, давление воздуха в сосуде увеличилось в 2 раза, а его абсолютная температура увеличилась в 1,5 раза. Во сколько раз уменьшилась внутренняя энергия газа в сосуде? (Воздух считать идеальным газом.)
Внутренняя энергия газа равна: [hspace{4 mm} U=dfrac{i}{2}nu RT, hspace{4 mm} (1)] где (nu) — количество вещества газа, (R) — универсальная газовая постоянная, (T) — абсолютная температура газа, (i) — число степеней свободы.
Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона: [hspace{4 mm} pV=nu RT, hspace{4 mm} (2)] где (p) — давление газа, (V) — объем, занимаемый газом.
Из (2) выразим (nu RT= pV) и подставим в (1), получим: [hspace{4 mm} U=dfrac{i}{2}pV hspace{4 mm} (3)] Запишем (3) для первого и второго состояния с учетом того, что по условию (V_2=dfrac{1}{8}V_1) и (p_2=2p_1): [U_1 = dfrac{i}{2}p_1V_1 hspace{10 mm} U_2 = dfrac{i}{2}p_2V_2] [hspace{10 mm} U_1 = dfrac{i}{2}p_1V_1 hspace{10 mm} U_2 = dfrac{i}{2}cdot2p_1cdotdfrac{1}{8}V_1] Найдем, во сколько раз уменьшилась внутренняя энергия газа: [dfrac{U_2}{U_1} = dfrac{dfrac{i}{2}cdot2p_1cdotdfrac{1}{8}V_1}{dfrac{i}{2}p_1V_1} = dfrac{1}{4}] Таким образом, внутрення энергия газа уменьшилась в 4 раза.
Ответ: 4
В процессе адиабатного сжатия двух молей идеального одноатомного газа внешние силы совершили работу 575 Дж. Определите изменение температуры данной порции газа в результате этого процесса. (Ответ дайте в кельвинах и округлите до целых).
При адиабатном процессе количество теплоты равно нулю: (Q=0).
Запишем первое начало термодинамики: [Q=Delta U+A,] где (Delta U) — изменение внутренней энергии газа, (A) — работа газа. Для адиабатного процесса имеем: [Delta U = -A] Работа внешних сил равна: [A_text{внеш. сил} = -A] С учетом этого получаем, что: [hspace{5 mm} Delta U = A_text{внеш. сил} hspace{5 mm} (1)] Изменение внутренней энергии газа равно: [hspace{5 mm} Delta U=dfrac{i}{2}nu RDelta T, hspace{5 mm} (2)] где (nu) — количество вещества газа, (R) — универсальная газовая постоянная, (Delta T) — изменение абсолютной температуры газа, (i) — число степеней свободы (так как газ одноатомный, то (i = 3)).
Приравняем (1) и (2) и выразим изменение температуры газа: [dfrac{3}{2}nu RDelta T=A_{text{внеш.сил}}] [Delta T = dfrac{2}{3}cdotdfrac{A_text{внеш. сил}}{nu R}] [Delta T = dfrac{2}{3}cdotdfrac{575text{ Дж}}{2text{ моль}cdot 8,31text{ }dfrac{text{Дж}}{text{моль}cdottext{К}}} approx 23text{ К}]
Ответ: 23
Во сколько раз изменяется внутренняя энергия идеального газа при повышении его температуры в 2 раза при неизменном объеме?
Изменение внутренней энергии газа равно: [Delta U=dfrac{i}{2}nu R Delta T,] где (nu) — количество вещества газа, (R) — универсальная газовая постоянная, (T) — абсолютная температура газа, (i) — число степеней свободы.
Изменение внутренней энергии газа прямо пропорционально изменению его температуры. Так как температура газа увеличилась в 2 раза, то и внутренняя энергия газа изменилась в 2 раза.
Ответ: 2
Одноатомный идеальный газ в количестве одного моля совершает работу, равную 2700 Дж, при этом к газу было подведено количество теплоты, равное 3,2 кДж. Начальная температура газа равна (T_1 = 100^circ)С . Чему равна конечная температура (T_2)? (Ответ дайте в градусах Цельсия и округлите до целых).
Первое начало термодинамики: [Q=Delta U+A,] где (Q) — количество теплоты, (Delta U) — изменение внутренней энергии газа, (A) — работа газа. Выразим изменение внутренней энергии газа: [hspace{5 mm} Delta U=Q-A hspace{5 mm} (1)] Изменение внутренней энергии газа равно: [Delta U=dfrac{i}{2}nu R Delta T,] где (nu) — количество вещества газа, (R) — универсальная газовая постоянная, (Delta T) — изменение абсолютной температуры газа, (i) — число степеней свободы (так как газ одноатомный, то (i = 3)).
Выразим изменение температуры: [hspace{5 mm} Delta T=dfrac{2}{3}cdotdfrac{Delta U}{nu R} hspace{5 mm} (2)] Подставим (1) в (2): [Delta T = dfrac{2}{3}cdotdfrac{Q-A}{nu R} = T_2 – T_1] Выразим конечную температуру (T_2) и подставим известные значения в СИ: [T_2= T_1 + dfrac{2}{3}cdotdfrac{Q-A}{nu R}] [T_2= 373text{ К} + dfrac{2}{3}cdotdfrac{3200text{ Дж}-2700text{ Дж}}{1text{ моль}cdot8,31text{ }dfrac{text{Дж}}{text{моль}cdottext{К}} } approx 413text{ К} = 140^circ text{С}]
Ответ: 140
Один моль аргона, находящийся в цилиндре при температуре (T_1=600) К и давлении (p_1=4cdot10^5) Па, расширяется и одновременно охлаждается так, что его температура при расширении обратно пропорциональна объёму. Конечное давление газа (p_2=1cdot10^5) Па. Чему равна внутренняя энергия газа после расширения? (Ответ дайте в джоулях.)
По условию температура газа при расширении обратно пропорциональна объёму: [Tsim dfrac{1}{V}] Тогда справедливо следующее отношение: [hspace{5 mm} dfrac{T_1}{T_2}=dfrac{V_2}{V_1} hspace{5 mm} (1)] Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для двух случаев (до расширения газа и после): [hspace{5 mm} p_1V_1=nu RT_1 hspace{5 mm} (2)] [hspace{5 mm} p_2V_2=nu RT_2 hspace{5 mm} (3)] Разделим (3) на (2): [hspace{5 mm}dfrac{p_2V_2}{p_1V_1}=frac{T_2}{T_1} hspace{5 mm} (4)] Подставим (1) в (4) и выразим температуру газа (T_2) после расширения: [dfrac{p_2T_1}{p_1T_2}=dfrac{T_2}{T_1}] [left(dfrac{T_2}{T_1}right)^2=dfrac{p_2}{p_1}hspace{3 mm} Rightarrow hspace{3 mm} T_2 = T_1sqrt{dfrac{p_2}{p_1}}] [T_2=600text{ К}sqrt{dfrac{1cdot10^5text{ Па}}{4cdot10^5text{ Па}}} = 300text{ К}] Найдем внутреннюю энергию газа после расширения: [U_2= dfrac{3}{2}cdot1text{ моль}cdot8,31text{ }dfrac{text{Дж}}{text{моль}cdottext{К}}cdot300text{ К}=3740 text{ Дж}]
Ответ: 3740
Внешними силами над идеальным одноатомным газом, количество которого равно 1,5 моля, совершена работа, равная 3600 Дж, при этом температура газа увеличилась на 230(^{circ})C. Чему равно количество теплоты (Q), полученное газом в этом процессе? (Ответ дайте в Дж и округлите до целого числа.)
Первое начало термодинамики: [hspace{5 mm} Q=Delta U+A hspace{5 mm} (1)] где (Q) — количество теплоты, (Delta U) — изменение внутренней энергии газа, (A) — работа газа.
Изменение внутренней энергии газа равно: [hspace{5 mm} Delta U=dfrac{i}{2}nu R Delta T hspace{5 mm} (2)] где (nu) — количество вещества газа, (R) — универсальная газовая постоянная, (Delta T) — изменение абсолютной температуры газа, (i) — число степеней свободы (так как газ одноатомный, то (i = 3)).
Подставим (2) в (1): [Q= dfrac{3}{2}nu R Delta T +A] Работа внешних сил равна: [A_text{внеш. сил} = -A] С учетом этого получаем, что: [Q= dfrac{3}{2}nu R Delta T – A_text{внеш. сил}] Подставим известные значения (с учетом того, что изменение температуры в градусах Цельсия и Кельвина одинаково): [Q=dfrac{3}{2}cdot1,5text{ моль}cdot8,31text{ Дж/( моль$cdot$ К)}dfrac{text{Дж}}{text{моль}cdottext{К}}cdot230text{ К}-3600text{ Дж}approx 700 text{ Дж}]
Ответ: 700
Источник
Числом степеней свободы механической системы называют количество независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы.
Внутренняя энергия идеального газа представляет собой сумму только кинетической энергии всех молекул, а потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь:
U=∑Ek0=NEk0=mNAM·ikT2=i2·mMRT=i2νRT=i2pV
i — степень свободы. i = 3 для одноатомного (или идеального) газа, i = 5 для двухатомного газа, i = 6 для трехатомного газа и больше.
Изменение внутренней энергии идеального газа в изопроцессах
| Основная формула | ΔU=32·mMRT=32νRT=32νR(T2−T1) |
| Изотермический процесс | ΔU=0 Температура при изотермическом процессе — величина постоянная. Так как внутренняя энергия идеального газа постоянной массы в замкнутой системе зависит только от изменения температуры, то она тоже остается постоянной. |
| Изобарное расширение | ΔU=32νR(T2−T1)=32(pV2−pV1)=32pΔV |
| Изохорное увеличение давления | ΔU=32νR(T2−T1)=32(p2V−p1V)=32VΔp |
| Произвольный процесс | ΔU=32νR(T2−T1)=32(p2V2−p1V1) |
Пример №1. На рисунке показан график циклического процесса, проведенного с идеальным газом. На каком из участков внутренняя энергия газа уменьшалась?
Внутренняя энергия газа меняется только при изменении температуры. Так как она прямо пропорциональная температуре, то уменьшается она тогда, когда уменьшается и температура. Температура падает на участке 3.
Работа идеального газа
Если газ, находящийся под поршнем, нагреть, то, расширяясь, он поднимет поршень, т.е. совершит механическую работу.
Механическая работа вычисляется по формуле:
A=Fscosα
Перемещение равно разности высот поршня в конечном и начальном положении:
s=h2−h1
Также известно, что сила равна произведению давления на площадь, на которое это давление оказывается. Учтем, что направление силы и перемещения совпадают. Поэтому косинус будет равен единице. Отсюда работа идеального газа равна произведению давления на площадь поршня:
Работа идеального газа
F=pS
p — давление газа, S — площадь поршня
Работа, необходимая для поднятия поршня — полезная работа. Она всегда меньше затраченной работы, которая определяется изменением внутренней энергии идеального газа при изобарном расширении:
A‘=p(V2−V1)=pΔV>0
Внимание! Знак работы определяется только знаком косинуса угла между направлением силы, действующей на поршень, и перемещением этого поршня.
Работа идеального газа при изобарном сжатии:
A‘=p(V2−V1)=pΔV<0
Работа идеального газа при нагревании газа:
A‘=νRΔT=νR(T2−T1)=mMνRΔT
Внимание! В изохорном процессе работа, совершаемая газом, равна нулю, так как работа газа определяется изменением его объема. Если изменения нет, работы тоже нет.
Геометрический смысл работы в термодинамике
В термодинамике для нахождения работы можно вычислить площадь фигуры под графиком в осях (p, V).
Примеры графических задач
| Изобарное расширение: A‘=p(V2−V1) A‘>0 |
| Изобарное сжатие: A‘=p(V2−V1) A‘<0 |
| Изохорное охлаждение: V=const A‘=0 |
Изохорное охлаждение и изобарное сжатие: 1–2: A‘=0 2–3: A‘=pΔV<0 |
| Замкнутый цикл: 1–2: A‘>0 2–3: A‘=0 3–4: A‘<0 4–1: A‘=0 A‘=(p1−p3)(V2−V1) |
| Произвольный процесс: A‘=p1+p22(V2−V1) |
Пример №2. На pV-диаграмме показаны два процесса, проведенные с одним и тем же количеством газообразного неона. Определите отношение работ A2 к A1 в этих процессах.
Неон — идеальный газ. Поэтому мы можем применять формулы, применяемые для нахождения работы идеального газа. Работа равна площади фигуры под графиком. С учетом того, что в обоих случаях изобарное расширение, получим:
A2=p(V2−V1)=4p(5V−3V)=4p2V=8pV
A1=p(V2−V1)=p(5V−V)=4pV
Видно, что работа, совершенная во втором процессе, вдвое больше работы, совершенной газом в первом процессе.
Алиса Никитина | ???? Скачать PDF |
Источник
Глава 13. Основы термодинамики
Тепловые явления можно описывать с помощью величин (макроскопических параметров), измеряемых такими приборами, как манометр и термометр. Эти приборы не реагируют на воздействие отдельных молекул. Теория тепловых процессов, в которой не учитывается молекулярное строение тел, называется термодинамикой. В термодинамике рассматриваются процессы с точки зрения превращения теплоты в другие виды энергии.
Вспомните из курса физики основной школы, что такое внутренняя энергия.
Какие способы изменения внутренней энергии вы знаете?
Термодинамика была создана в середине XIX в. после открытия закона сохранения энергии. В её основе лежит понятие внутренняя энергия. Само название «внутренняя» предполагает рассмотрение системы как ансамбля движущихся и взаимодействующих молекул. Остановимся на вопросе о том, какая связь существует между термодинамикой и молекулярно-кинетической теорией.
Термодинамика и статистическая механика. Первой научной теорией тепловых процессов была не молекулярно-кинетическая теория, а термодинамика.
Термодинамика возникла при изучении оптимальных условий использования теплоты для совершения работы. Это произошло в середине XIX в., задолго до того, как молекулярно-кинетическая теория получила всеобщее признание. Тогда же было доказано, что наряду с механической энергией макроскопические тела обладают ещё и энергией, заключённой внутри самих тел.
Сейчас в науке и технике при изучении тепловых явлений используется как термодинамика, так и молекулярно-кинетическая теория. В теоретической физике молекулярно-кинетическую теорию называют статистической механикой.
Важно
Термодинамика и статистическая механика изучают различными методами одни и те же явления и взаимно дополняют друг друга.
Запомни
Термодинамической системой называют совокупность взаимодействующих тел, обменивающихся энергией и веществом.
Главное содержание термодинамики состоит в двух основных её законах, касающихся преобразования энергии. Эти законы установлены опытным путём. Они справедливы для всех веществ независимо от их внутреннего строения.
Внутренняя энергия в молекулярно-кинетической теории.
Основным понятием в термодинамике является понятие внутренней энергии.
Запомни
Внутренняя энергия тела (системы) — это сумма кинетической энергии хаотичного теплового движения молекул и потенциальной энергии их взаимодействия.
Механическая энергия тела (системы) как целого не входит во внутреннюю энергию. Например, внутренняя энергия газов в двух одинаковых сосудах при равных условиях одинакова независимо от движения сосудов и их расположения относительно друг друга.
Вычислить внутреннюю энергию тела (или её изменение), учитывая движение отдельных молекул и их положения относительно друг друга, практически невозможно из-за огромного числа молекул в макроскопических телах. Поэтому необходимо уметь определять значение внутренней энергии (или её изменение) в зависимости от макроскопических параметров, которые можно непосредственно измерить.
Внутренняя энергия идеального одноатомного газа. Вычислим внутреннюю энергию идеального одноатомного газа.
Согласно модели молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с другом, следовательно, потенциальная энергия их взаимодействия равна нулю. Вся внутренняя энергия идеального газа определяется кинетической энергией беспорядочного движения его молекул.
Для вычисления внутренней энергии идеального одноатомного газа массой т нужно умножить среднюю кинетическую энергию одного атома на число атомов. Учитывая, что kNA = R, получим формулу для внутренней энергии идеального газа:
Важно
Внутренняя энергия идеального одноатомного газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре.
Она не зависит от объёма и других макроскопических параметров системы.
Важно
Изменение внутренней энергии идеального газа
т. е. определяется температурами начального и конечного состояний газа и не зависит от процесса.
Выведите выражение (13.1).
Если идеальный газ состоит из более сложных молекул, чем одноатомный, то его внутренняя энергия также пропорциональна абсолютной температуре, но коэффициент пропорциональности между U и Т другой. Объясняется это тем, что сложные молекулы не только движутся поступательно, но ещё и вращаются и колеблются относительно своих положений равновесия. Внутренняя энергия таких газов равна сумме энергий поступательного, вращательного и колебательного движений молекул. Следовательно, внутренняя энергия многоатомного газа больше энергии одноатомного газа при той же температуре.
Объясните, почему внутренняя энергия идеального газа не зависит от объёма.
Зависимость внутренней энергии от макроскопических параметров. Мы установили, что внутренняя энергия идеального газа зависит от одного параметра — температуры.
У реальных газов, жидкостей и твёрдых тел средняя потенциальная энергия взаимодействия молекул не равна нулю. Правда, для газов она много меньше средней кинетической энергии молекул, но для твёрдых и жидких тел сравнима с ней.
Средняя потенциальная энергия взаимодействия молекул газа зависит от объёма вещества, так как при изменении объёма меняется среднее расстояние между молекулами. Следовательно,
Важно
внутренняя энергия реального газа в термодинамике в общем случае зависит наряду с температурой T и от объёма V.
Подумайте, можно ли утверждать, что внутренняя энергия реального газа зависит от давления, основываясь на том, что давление можно выразить через температуру и объём газа.
Значения макроскопических параметров (температуры Т, объёма V и др.) однозначно определяют состояние тел. Поэтому они определяют и внутреннюю энергию макроскопических тел.
Внутренняя энергия U макроскопических тел однозначно определяется параметрами, характеризующими состояние этих тел: температурой и объёмом.
Ключевые слова для поиска информации по теме параграфа.
Внутренняя энергия реального и идеального газов
Вопросы к параграфу
1. Приведите примеры превращения механической энергии во внутреннюю и обратно в технике и быту.
2. От каких физических величин зависит внутренняя энергия тела?
3. Чему равна внутренняя энергия идеального одноатомного газа?
Образцы заданий ЕГЭ
A1. Внутренняя энергия идеального газа в герметично закрытом сосуде уменьшается при
1) его охлаждении
2) его нагревании
3) уменьшении потенциальной энергии сосуда
4) уменьшении кинетической энергии сосуда
A2. В каком тепловом процессе внутренняя энергия идеального газа постоянной массы НЕ изменяется при переходе его из одного состояния в другое?
1) в изобарном 3) в адиабатном
2) в изохорном 4) в изотермическом
A3. Как изменяется внутренняя энергия одноатомного идеального газа при повышении его абсолютной температуры в 2 раза?
1) увеличивается в 4 раза 3) уменьшается в 2 раза
2) увеличивается в 2 раза 4) уменьшается в 4 раза
Источник