Вращение жидкости в сосуде

Сегодня я заварил себе чай и задумался

Сегодня утром я задумался, пока размешивал два кубика сахара в чашке с только что заваренным чаем. Задумался о форме жидкости, которую она принимает при вращении. Безусловно, все представляют себе что будет, если очень быстро начать размешивать сахар в чашке с чаем. Мне захотелось рассмотреть этот банальный и привычный процесс подробнее и попытаться рассказать Вам немного интересного из физики окружающих нас в быту явлений.

Идея эксперимента

Давайте представим, что мы имеем некоторую цилиндрическую тару, в которой находится некоторая жидкость. Вращаться жидкость можно заставить, как минимум, двумя очевидными способами: размешать её каким-нибудь предметом или начать вращать цилиндрическую тару, что, благодаря силам трения между жидкостью и поверхностью сосуда, приведет к вращению жидкости, увлекаемой содержащим её вращающимся сосудам.

Физическая модель

Остановимся на втором варианте. Итак, у нас есть вращающийся с постоянной циклической частотой сосуд, в котором при динамическом равновесии с постоянной циклической частотой вращается жидкость в том же направлении.

Вырежем из всей жидкости элементарный бесконечно малый объем около поверхности и рассмотрим какие силы на него действуют. В силу симметрии задачи, будем ориентироваться на цилиндрические координаты, что заметно упростит расчеты.

Качественный расчет формы поверхности

Запишем второй закон Ньютона для элементарного кусочка объема жидкости:

К примеру, после размешивания ложкой сахара в чашке только что заваренного чая, жидкость вращается вокруг оси симметрии, отсюда наш элементарный кусочек объема имеет центростремительное ускорение. Поэтому спроецируем наш закон Ньютона на ось, совпадающую с радиусом-вектором от элементарного объема до оси симметрии. Не будем учитывать вязкость и поверхностное натяжение. Сила, сообщающая центростремительное ускорение (в правой части нашего закона движения) возникнет из-за разности давлений столбов жидкости, что можно увидеть на увеличенной части первого рисунка.

Таким образом, у нас получится следующее выражение:

, где , а та самая сила определится как , где площадью эффективного сечения обозначена та площадь нашего элементарного объема, на которую действует разница давлений столбов жидкости .

Получаем силу

Масса нашего элемента объема определяется по знакомой всем формуле , а сам объем будет равен (элементарный объем в цилиндрических координатах).

В итоге, 2 закон Ньютона для нашей маленькой задачки расписывается в следующее выражение:

После небольших сокращений и преобразований получаем:

Теперь проинтегрируем обе части выражения, используя неопределенные интегралы:

Детальный расчет формы поверхности

Теперь мы получили вполне ясную зависимость для формы поверхности и с уверенностью можем сказать, что это параболоид. Но нам неизвестна постоянная величина . Давайте её определим для полного понимания физики процесса.

Так как объем жидкости не меняется (мы считаем, что не пролили ни капли, пока размешивали наш чай ツ), то запишем объемы до вращения и во время вращения с постоянной циклической частотой.

До вращения:

, где – это высота жидкости в цилиндрической поверхности в спокойном состоянии (вращения нет).

Во время вращения:

Данные объемы равны, поэтому:

Отсюда выражается ранее неизвестная постоянная:

И окончательное уравнение формы поверхности вращающейся жидкости имеет вид:

или преобразовав

Некоторые заметки

Хотелось бы обратить внимание на то, что форма поверхности зависит от частоты вращения, ускорения свободного падения, геометрических параметров сосуда, первоначального объема жидкости, но не зависит от плотности жидкости. Это выражение мне показалось довольно интересным, так как с его помощью можно легко смоделировать примерное расположение жидкости внутри вращающегося вокруг своей оси симметрии цилиндрического сосуда. Для этого можно воспользоваться MathCAD’ом и построить несколько графиков.

Графическое представление результатов расчета

Возьмем вполне реальные параметры системы, соизмеримые с размерами чашки или стакана.

Радиус цилиндрической поверхности:

Высота жидкости в цилиндрической поверхности без вращения:

Ускорение свободного падения:

Циклическая частота вращения цилиндрической поверхности:

(Все значения этих величин заданы в системе Си)

Далее перепишем нашу функцию для её отображения в MathCAD.

Для 2D отображения сечения:

Для 3D отображения поверхности:

В качестве изменяющегося параметра будем менять циклическую частоту вращения . Результаты можно наблюдать на рисунках ниже:

При циклической частоте

При циклической частоте

При циклической частоте

При циклической частоте

При циклической частоте

При циклической частоте

Выводы

Видно, что если циклическая частота превысит значение , то мы увидим дно вращающегося цилиндрического сосуда, и, начиная с этой частоты, жидкость будет плавно «переходить» на стенки сосуда, всё сильнее оголяя дно. Очевидно, что при очень больших частотах вся жидкость растечется по стенкам сосуда. Теперь мы знаем все параметры такой жидкости. Зная её уравнение, не составит большого труда рассчитать толщину слоя жидкости на стенке сосуда на определенной высоте при определенной частоте.

upd. Отдельно хотелось бы подчеркнуть те противоречащие друг другу допущения, которые были приняты при рассмотрении задачи:

1. Считалось что, жидкость вращается благодаря вращению сосуда, который её содержит. Это может быть только при учете внутреннего трения, вязкости и поверхностного натяжения.

2. Но при выводе формы поверхности эти явления не учитываются для того, чтобы упростить решение и показать только качественный результаты моделирования. Т.е. решение немного противоречит описываемой изначально модели. Учет всех явлений, включая нелинейность процесса при высоких частотах, настолько бы усложнил задачу, что её вряд ли можно было бы решить аналитически и показать примерную и понятную модель для человека, который не связан с математикой/физикой.

3. Цель состоялась в том, чтобы показать лишь очень приближенное и самое простое решение, включающее в себя ряд допущений.

Источник

    При вращении цилиндрического сосуда с жидкостью в последней образуется воронка, поверхность которой является, как известно [c.360]

    Очевидно, что поверхностями уровня в данном случае будут цилиндрические поверхности с общей осью – осью вращения жидкости. Если сосуд лишь частично заполнен жидкостью, то ее свободная поверхность, как одна из поверхностей уровня, также будет цилиндрической, причем именно ее радиус удобно обозначить через Го, а давление на ней через ро- [c.37]

    Вращение жидкости в цилиндрическом сосуде [c.123]     На рис, 160 изображена дисковая мешалка, применяемая для перемешивания жидкостей с разным удельным весом. Мешалка состоит из двух дисков /, укрепленных на небольшом расстоянии друг от друга на вертикальном валу и вращающихся с большой скоростью в направляющих цилиндрах 2. Каждый из дисков снабжен отверстиями специальной фор. мы. Для того чтобы устранить вращение жидкости, сосуд, в котором ведут перемешивание, снабжен тремя вер. тикальными перегородками 5, укрепленными на его крышке. [c.233]

    ИЗ дисков снабжен отверстиями специальной формы, схематически изображенными на рис. 166. Для устранения возможности вращения жидкости сосуд, в котором ведут перемешивание, снабжен тремя вертикальными перегородками С, укрепленными на крышке. Мешалка приводится в действие от электромотора, вал которого непосредственно соединен с валом мешалки. [c.252]

    Размещение препятствующих вращению жидкости перегородок по периметру сосуда увеличивает мощность, расходуемую на перемешивание (см, рис, 1У-10). При Ке == 10 и для мешалки с шагом 8 – 26, возрастание мощности в случае сосуда с отражательными перегородками составляет 70 /о (по сравнению с сосудом без перегородок) ж является, таким образом, гораздо более слабым, чем для турбинных мешалок. [c.194]

    Сосуд 1 погружен в жидкость, наполняющую термостат. Последний снабжен мешалками 8 и нагревателем 9. При вращении эксцентрика сосуд 1 качается в термостате (около поперечной горизонтальной оси), и при этом происходит перемешивание фаз, которое может быть усилено, если внутрь сосуда поместить шарик. [c.276]

    На рис. 85 показана лопасть мешалки, работающей как центробежный насос с двухсторонним всасыванием. Вращение жидкости в сочетании с всасыванием снизу приводит к подъему частиц со дна сосуда, т. е. к движению частиц в сторону областей повышенной турбулентности. Всасывание сверху может вызвать очень незначительное засасывание воздуха, пузырьки которого иногда увлекаются горизонтальным центробежным потоком и разносятся по всей жидкости. [c.149]

    Такие мешалки делают 12-80 об/мин при увеличении числа оборотов выше указанного эффективность перемещивания резко снижается. Если высота слоя перемешиваемой жидкости в аппарате Н значительно превышает диаметр сосуда или жидкость-относительно вязка, устанавливаются две-три и больше пар лопастей по высоте вала. Для увеличения турбулентности перемешиваемой жидкости между подвижными лопастями иногда устанавливают расположенные радиально и укрепленные на стенках неподвижные лопасти. Такие лопасти повышают эффективность работы мешалок и одновременно препятствуют возможному вращению жидкости вместе с мешалками. [c.111]

    Идея перемешивания калориметрической жидкости в герметичных калориметрах путем покачивания или вращения калориметрического сосуда возникла относительно давно. В двадцатых годах был изготовлен первый калориметр подобного типа [76], на котором было выполнено довольно большое термохимическое исследование. Однако изготовленный калориметр обладал существен-лыми недостатками. [c.182]

    Среди вспомогательных процессов анилинокрасочной промышленности процесс перемешивания является наиболее распространенным. Перемешивание проводится с различными целями создание наиболее тесного соприкосновения частиц (для увеличения скорости химических реакций) получение из двух или нескольких продуктов равномерной смеси растворение эмульгирование взмучивание твердых веществ в жидкости приведение в движение жидкости около стенок сосуда для ускорения процесса теплопередачи между стенкой сосуда и жидкостью ускорение прнекоторых системах сушилок и т. п. Спо- собы перемешивания и применяющееся для этого оборудование зависят от агрегатного состояния перемешиваемых продуктов и могут быть разбиты на три группы перемешивание в жидкой среде, перемешивание пастообразных материалов и перемешивание сыпучих материалов. В первых двух случаях перемешивание осуществляется обычно в неподвижных сосудах посредством движущихся приспособлений, в последнем случае большей частью приводится в движение (обычно вращение) сам сосуд, в котором находятся перемешиваемые материалы. [c.93]

    Для измерения и регулирования уровня наиболее широко распространены поплавковые устройства различных видов. Поплавок, плавающий на поверхности жидкости, следует за ее уровнем при его перемещении вращается ось, выступающая из сосуда наружу (фиг. 46, а). Вращение оси через систему рычагов передается на стрелку вторичного прибора. [c.119]

    Бросается в глаза резкое увеличение эффективности пропеллерной мешалки и относительное падение эффективности импеллерной с увеличением числа оборотов. К вопросу о пропеллере мы вернемся еще ниже. Что касается импеллера, то, как показали испытания, лабораторный характер оборудования не позволил авторам сделать какие-либо выводы, так как оказалось, что уже при 181 об/мин. образующаяся при вращении жидкости воронка обнажает поверхность импеллера с последующим засосом воздуха через центральное отверстие, что вредно сказывалось на эффективности мешалок. При 240 об/мин. начало обнажаться также дно сосуда. [c.508]

    При вращении цилиндрического сосуда с жидкостью поверхность жидкости принимает форму воронки. При больших скоростях вращения глубина воронки делается значительно больше высоты сосуда и дно его обнажается. [c.6]

    Переходя от простого движения в круглом сосуде к сложному в секторе между дисками, получим в относительном движении вращение жидкости в сторону, обратную вращению диска (рис. П-4, в). Вихревое относительное движение жидкости в канале между ребрами обладает скоростями, совпадающими по направлению с основным потоком у ведущего ребра , и скоростями, обратными по направлению потоку со стороны ведомого ребра (рис. П-4,г). Осевой вихрь переносного движения, накладываясь на основной поток, приводит к повышению относительных скоростей в одних участках сектора и понижению – в других (рис. П-4, d). [c.62]

    Тангенциальное течение, при котором жидкость в сосуде движется параллельно пути, описываемому мешалкой (рис. 7). Вытекание жидкости из пространства между лопастями мешалки и ее подсасывание к мешалке незначительны. Перемещение в вертикальном направлении ничтожно. Перемешивание происходит за счет вихрей, возникающих по контуру лопаток. Качество перемешивания будет наихудшим, если скорость вращения жидкости окажется такой же, как и скорость вращения мешалки. Преимущественно тангенциальное течение имеет место при перемешивании лопастными мешалками с таким числом оборотов, [c.37]

    Установка в сосуде отражательных перегородок или применение некоторых конструктивных типов турбинных мешалок препятствует вращению жидкости вместе с мешалкой. В этих условиях возникает радиальное течение и д=0. Уравнение (I, 38) тогда упрощается еще больше и принимает вид [c.42]

    Вращение жидкости в сосуде. К числу классических проблем гидродинамики принадлежит проблема расчета истечения жидкости из цилиндрического сосуда через круглое отверстие на его дне. Экспериментально известно, что при таком истечении поток, казавшийся в начале покоящимся, приобретает в зоне стока, кроме естественной радиальной скорости, также значительную вращательную скорость. (Резкое увеличение скорости вращения каждый наблюдал, скажем, при спуске воды из ванны.) [c.251]

    Статические методы отличаются способами перёмешивання системы и способами отбора проб на анализ. Перемешивание системы производят электромагнитной мешалкой, помещаемой внутри сосуда равновесия, вращением самого сосуда или цир-куляцонным насосом, забирающим газовую фазу и проталкивающим ее через жидкую. Изучая растворимость жидкостей в газах, удобнее всего использовать для /перемешивания электромагнитную мешалку. [c.27]

    По-видимому, объяснение этого эффекта следует искать в вязкости. В схеме идеальной жидкости истечение привело бы к резкому увеличению угловой скорости жидких колец малого радиуса, близких к оси вращения. По мере удаления от оси прирост угловой скорости вследствие истечения быстро затухал бы, и на скорости вращения самого сосуда истечение жидкости не сказалось бы. Но под влиянием вязкости различие в угловых скоростях жидких колец разных радиусов будет выравниваться – скорость колец, близких к оси, уменьшится, но зато скорость периферийных колец возрастет. Последнее, в силу граничных условий прилипания, приведет к увеличению скорости вращения всего сосуда. [c.252]

    Показательный пример автомодельного решения, для установления автомодельности которого соображений анализа размерности недостаточно, дает замечательная задача Соболева о малых возмущенных движениях при вращении жидкости в цилиндрическом сосуде [99]. Уравнение для возмущения давления р в этой задаче, как показано С. Л. Соболевым, имеет вид [c.123]

    ЖИДКОСТИ при вращении цилиндрического сосуда вокруг вер-тчкальной оси. [c.24]

    Линии тока в системах со шнековыми мешалками зависят от конструкции реального аппарата. В устройствах без отражательных перегородок, в которых шнек расположен по оси аппарата, жидкости сообщается слабое вращательное движение. Скорость вращения жидкости понижается в нанравленпи стенок аппарата. У стенок жидкость почти неподвижна вследствие действия больших сил трения между жидкостью и сосудом. По этой причине системы без перегородок со шнековой мешалкой, расположенной по осевой линии аппарата, применять не реколшндуется [51. Линии тока в сосуде без отражательных перегородок показаны на рис. 1-8, а. [c.22]

    Если вращать сосуд А вокруг вертикальной оси, с которой он жестко соединен стержнем г, можно заметить, что плавающий стерженек вследствие инерции сохранит подобно магнитной стрелке вместе с жидкостью свое первоначальное направление в пространстве, а сосуд А, оставаясь все время обращенным одной и топ же стороной к оси вращения, за время одного оборота вокруг основной оси сделает один поворот вокруг своей оси. Другими словами, жидкость получит внутри сосуда относптель-ное вращательное движение в направлении, обратном вращению самого сосуда, как это показано стрелками при разных положениях сосуда 1-М1. [c.132]

    Статистический метод определения растворимости жидкости в сжатом газе заключается в том, что жидкость и газ приводят в соприкосновение друг с другом в каком-либо замкнутом объеме и осуществляют интенсивное перемешивание обеих фаз. Перемешивание осуществляют различными способами мешалкой, помещаемой внутри сосуда, вращением самого сосуда или циркуляционным насосом, забирающим газовую фазу и проталкивающим ее через жидкую. По достижении равновесия между фазами производят отбор части газовой фазы на анализ. Обязательным условием при этом является поддержание в сосуде постоянного давления и температуры. На основании анализа газовой фазы вычисляют количество вещества, содержащееся в единице объема газа при нормальных условиях (0°, 760 мм рт. ст.), либо же подсчитывают его на единицу объема сжатого газа. Достоинством метода является сравнительно небольшое количество жидкости и газа, требуемое для опы1та, и возможность сравнительно легкого достижения полного равновесия между фазами, необходимого для получения надежных данных. Аппаратурная сложность метода заключается в необходимости осуществлять перемешивание под давлением и сохранять равновесие в системе при отборе проб газовой фазы. Следует учитывать также, что при исследовании многокомпонентных систем o tбop части газовой фазы может изменить исходный состав системы. Метод не удобен для изучения веществ, слабо растворимых в газе, так как в этом случае необходимо отбирать для анализа большие количества газовой фазы. [c.465]

    Скорость перехода молекулярного кислорода в раствор возрастает с увеличением поверхности раздела между газовой и жидкой фазами и с повышением парциального давления Оз в газовой фазе. Для аэрации жидких культур пользуются либо обычным воздухом, либо смесью О2, N3 и СОз- Для увеличения поверхности раздела прибегают к различным способам, таким как 1) культивирование в тонком слое 2) перемешивание жидкости путем встряхивания (прямого или кругового) 3) вращение лежапщх сосудов вокруг продольной оси 4) пропускание воздуха через жидкость под давлением с помощью газораспределителя (стеклянные фильтры, колбы Клюйвера) 5) перколяция (рис. 6.1) 6) механическое перемешивание. Для глубинной культуры аэробных микроорганизмов принудительную аэрацию с помощью газораспределите- [c.182]

    Переходя от простого движения в круглом сосуде к более сложному – в канале между лопастями рабочего колеса, получим в относи-. тельном движении вращение жидкости в сторону, обратную вращению колеса (рис. 36). Вихревое относительное движение жидкости в канале между лопастями колеса обладает скоростями, совпадающими по направлению с основным потоком с всасывающей стороны лопасти, и скоростями, обратными по направлению основному потоку – с н)апорной стороны лопасти. Осевой вихрь переносного движения, накладываясь на основной поток, приводит к повышению относительных скоростей на всасывающей стороне и к понижению их на напорной, содействуя распределению скоростей в канале колеса, необходимому для работы лопасти. [c.61]

    Статический метод. В статическом методе жидкость и газ приводят в соприкосновение друг с другом в кяком-либо герметичном термостатируемом сосуде высокого давления и осуществляют интенсивное перемешивание обеих фаз при заданных температуре и давлении. Перемешивание производят различными способами электромагнитной мешалкой, помещаемой внутри сосуда, вращением самого сосуда или циркуляционным насосом, забирающим газовую фазу и проталкивающим ее через жидкую. Изучая растворимость жидкостей в газах, удобнее всего использовать для перемешивания электромагнитную мешалку. [c.23]

    Высокоэластичность расплавов и растворов полимеров наглядно проявляется в следующих опыта.х при вращении вертикального вала в концентрированно.м растворе полимера последний подни.мается по поверхности вала и те.м выше, чем больше скорость вращения вала (ньютоновская жидкость в этом случае отбрасывалась бы под действием центробежной силы к стенкам сосуда) при помещении упругой жидкости между двумя параллельными дисками и приведении одного из них во вращение жидкость стремится раздвинуть диски. [c.56]

    При методе перфорированного ротора, разработанном Расмассеном [14], используется быстро вращающийся диск, который имеет два диаметрально расположенных отверстия вблизи периферийной части. Диск помещают в жидкость таким образом, что он может вращаться в горизонтальной плоскости сосуд с жидкостью имеет отражательные перегородки, назначение которых свести к минимуму вращение жидкости. Два испытуемых образца крепят на периферийной части диска позади отверстий, так что экстремальная турбулентность генерируется вследствие удара их о жидкость таким образом вызывается кавитационное разрушение. Лихтман (см. [17]) также приводит детальное описание этого метода. [c.306]

Подобие автомодельность промежуточная асимптотика Изд2 (1982) — [ c.125 ]

Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика Теория и приложения к геофизической гидродинамике Изд.2 (1982) — [ c.125 ]

Источник