Вычислить работу совершаемую при выкачивании воды из сосуда
1. Íàéòè äàâëåíèå íà ïîëóêðóã, âåðòèêàëüíî ïîãðóæåííûé â æèäêîñòü, åñëè
åãî ðàäèóñ ðàâåí , à âåðõíèé äèàìåòð ëåæèò íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè âîäû.
Äàâëåíèå æèäêîñòè íà äíî ñîñóäà ðàâíî âåñó âåðòèêàëüíîãî ñòîëáà æèäêîñòè
ñ îñíîâàíèåì â 1 ñì2 , íàõîäÿùåãîñÿ íàä äíîì. Îáúåì ñòîëáà, èìåþùåãî â
îñíîâàíèè åäèíèöó ïëîùàäè, à âûñîòó , ðàâåí . Ïîýòîìó äàâëåíèå íà ãëóáèíå áóäåò , ãäå âåñ êóáè÷åñêîé åäèíèöû ýòîé æèäêîñòè.
×òîáû âû÷èñëèòü äàâëåíèå íà âåðòèêàëüíóþ ïîâåðõíîñòü, íóæíî çíàòü, ÷òî
â êàæäîé òî÷êå äàâëåíèå âî âñå ñòîðîíû îäèíàêîâî. Äàâëåíèå íà ïîëîñó AB
ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíî ,
ãäå ïëîùàäü ýòîé ïîëîñêè.
Òîãäà èñêîìîå äàâëåíèå
, ò.ê. ,
à , òî
.
2. Ñæàòèå âèíòîâîé ïðóæèíû ïðîïîðöèîíàëüíî ïðèëîæåííîé ñèëå. Âû÷èñëèòü
ðàáîòó, ïðîèçâîäèìóþ ïðè ñæàòèè ïðóæèíû íà 5 ñì, åñëè äëÿ ñæàòèÿ åå íà
1 ñì íóæíî ïðèëîæèòü ñèëó â 1 êã.
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç x ñæàòèå ïðóæèíû. Òîãäà, ñîãëàñíî çàêîíó Ãóêà,
, ãäå k ïîñòîÿííàÿ,
õàðàêòåðèçóþùàÿ ìàòåðèàë ïðóæèíû. Äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ 0,01k=1, ë=100, F=100x.
F â êã, à x â ìåòðàõ.
3. Âû÷èñëèòü ðàáîòó, êîòîðóþ íàäî çàòðàòèòü, ÷òîáû âûêà÷àòü æèäêîñòü
èç êîòëà, èìåþùåãî ôîðìó ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ ñ ðàäèóñîì îñíîâàíèÿ R,
ãëóáèíîé H. Îí çàïîëíåí æèäêîñòüþ, óäåëüíûé âåñ êîòîðîé d.
Ðàçîáüåì îáúåì êîòëà ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè îñíîâàíèþ è íàõîäÿùèìèñÿ
äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèè . Âû÷èñëèì îáúåì ýëåìåíòàðíîãî öèëèíäðà .
Âåñ æèäêîñòè â ýòîì îáúåìå áóäåò ðàâåí . Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà , çàòðà÷åííàÿ äëÿ ïîäíÿòèÿ ýòîé ìàññû, íàõîäÿùåéñÿ
íà ãëóáèíå x ì, ðàâíà:
, ,
, .
.
Âû÷èñëèòü
1. Âû÷èñëèòü äàâëåíèå íà òðåóãîëüíèê, èìåþùèé îñíîâàíèå b ñì è âûñîòó
h ñì, åñëè âåðøèíà òðåóãîëüíèêà ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè âîäû, à âûñîòà ðàñïîëîæåíà
âåðòèêàëüíî.
2. Âû÷èñëèòü äàâëåíèå æèäêîñòè íà áîêîâûå ñòåíêè êðóãëîãî öèëèíäðà,
âûñîòà êîòîðîãî h ñì, à ðàäèóñ îñíîâàíèÿ r ñì, óäåëüíûé âåñ æèäêîñòè
d.
3. Âû÷èñëèòü äàâëåíèå, èñïûòûâàåìîå òðåóãîëüíèêîì âûñîòîé h ñì è îñíîâàíèåì
b ñì, åñëè îí ïîãðóæåí â âîäó òàêèì îáðàçîì, ÷òî îñíîâàíèå ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè
âîäû, à âûñîòà íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç.
4. Âû÷èñëèòü äàâëåíèå íà ùèò, èìåþùèé ôîðìó òðàïåöèè, ïîãðóæåííîé â
âîäó âåðòèêàëüíî. Âåðõíåå îñíîâàíèå a ì ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè âîäû, íèæíåå
îñíîâàíèå b ì, âûñîòà ùèòà h ì.
5. Êîíåö òðóáû, ïîãðóæåííîé ãîðèçîíòàëüíî â âîäó, çàêðûò çàñëîíêîé.
Îïðåäåëèòü äàâëåíèå íà çàñëîíêó, åñëè åå äèàìåòð 60 ñì, à öåíòð åå ïîãðóæåí
â âîäó íà ãëóáèíó 15 ì.
6. Âû÷èñëèòü ðàáîòó, êîòîðóþ íåîáõîäèìî çàòðàòèòü, ÷òîáû âûêà÷àòü âîäó
èç öèëèíäðè÷åñêîé öèñòåðíû, ðàäèóñ êîòîðîé a ì, à âûñîòà b ì.
7. Âû÷èñëèòü ðàáîòó, êîòîðóþ íåîáõîäèìî çàòðàòèòü, ÷òîáû âûêà÷àòü âîäó
èç ðåçåðâóàðà, èìåþùåãî ôîðìó êîíóñà, îáðàùåííîãî âåðøèíîé âíèç. Âûñîòà
êîíóñà H, ðàäèóñ R.
8. Â îñíîâàíèè ñîñóäà, èìåþùåãî ôîðìó êîíóñà ñ ðàäèóñîì îñíîâàíèÿ R
= 14 ñì è âûñîòîé H = 18 ñì, îáðàçîâàëàñü ïðîáîèíà ïëîùàäüþ
S = 0,5 ñì2. ×åðåç ñêîëüêî âðåìåíè âîäà, íàïîëíÿþùàÿ ñîñóä, âûòå÷åò èç
íåãî?
Çàäà÷à ¹ 1. Óðàâíåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè è ïðèâîäÿùèåñÿ ê
íèì.
Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ ðàçäåëåííûìè ïåðåìåííûìè,
åãî îáùèé èíòåãðàë èìååò âèä
.
Óðàâíåíèå , â êîòîðîì êîýôôèöèåíòû ïðè äèôôåðåíöèàëàõ ðàñïàäàþòñÿ
íà ìíîæèòåëè, çàâèñÿùèå òîëüêî îò è òîëüêî îò íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.
Ïóòåì äåëåíèÿ íà ïðîèçâåäåíèå îíî ïðèâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ñ ðàçäåëåííûìè ïåðåìåííûìè:
.
Îáùèé èíòåãðàë ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä
.
Çàìå÷àíèå. Äåëåíèå íà ìîæåò ïðèâåñòè ê ïîòåðå ÷àñòíûõ ðåøåíèé, îáðàùàþùèõ â
íîëü ïðîèçâåäåíèå .
Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
,
ãäå – ïîñòîÿííûå, çàìåíîé ïåðåìåííûõ ïðåîáðàçóåòñÿ â
óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.
Ïðèìåð 1.
Ðåøèòü óðàâíåíèå
Ðåøåíèå. Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà ïðîèçâåäåíèå
.
Ïîëó÷èì óðàâíåíèå ñ ðàçäåëåííûìè ïåðåìåííûìè. Èíòåãðèðóÿ åãî, íàéäåì
.
Ïîñëå ïîòåíöèðîâàíèÿ ïîëó÷èì
èëè .
Îòêóäà .
Îáîçíà÷àÿ , áóäåì èìåòü èëè .
Ïîëó÷èëè îáùèé èíòåãðàë ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ôóíêöèè , è – ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ðåøåíèÿìè.
Îòâåò: – îáùèé èíòåãðàë.
Ïðèìåð 2.
Íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ , óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ .
Ðåøåíèå. Èìååì èëè .
Ðàçäåëÿåì ïåðåìåííûå, äëÿ ýòîãî îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ äåëèì íà ïðîèçâåäåíèå
.
Èíòåãðèðóÿ, íàéäåì îáùèé èíòåãðàë
â êà÷åñòâå ïðîèçâîäíîé êîíñòàíòû âçÿëè .
Ïîñëå ïîòåíöèðîâàíèÿ, ïîëó÷èì èëè – îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.
Íàéäåì êîíñòàíòó , èñïîëüçóÿ íà÷àëüíîå óñëîâèå , èëè
îòñþäà .
Èñêîìîå ÷àñòíîå ðåøåíèå èëè ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè .
Îòâåò: .
Óïðàæíåíèÿ. Ðåøèòü óðàâíåíèÿ
1. . Îòâåò: .
2. . Îòâåò: .
3. . Îòâåò: .
4. . Îòâåò: èëè .
30. | . |
Источник
ÐÑедваÑиÑелÑно изÑÑиÑе по ÑÑÐµÐ±Ð½Ð¸ÐºÑ Ð. Ð. Ð¤Ð¸Ñ Ñен-голÑÑа Ð³Ð»Ð°Ð²Ñ XII, п° 208.
611. ÐайÑи давление на полÑкÑÑг, веÑÑикалÑно погÑÑженнÑй в жидкоÑÑÑ, еÑли его ÑадиÑÑ Ñавен 5 Ñм, а веÑÑ Ð½Ð¸Ð¹ диамеÑÑ Ð»ÐµÐ¶Ð¸Ñ Ð½Ð° Ñвободной повеÑÑ Ð½Ð¾ÑÑи водÑ
РеÑение. Ðавление жидкоÑÑи на дно ÑоÑÑда Ñавно веÑÑ Ð²ÐµÑÑикалÑного ÑÑолба жидкоÑÑи Ñ Ð¾Ñнованием в I Ñм, Ð½Ð°Ñ Ð¾Ð´ÑÑегоÑÑ Ð½Ð°Ð´ дном. ÐбÑем ÑÑолба, имеÑÑего в оÑновании единиÑÑ Ð¿Ð»Ð¾Ñади, а вÑÑоÑÑ h, Ñавен Ð. ÐоÑÑÐ¾Ð¼Ñ Ð´Ð°Ð²Ð»ÐµÐ½Ð¸Ðµ на глÑбине h бÑдеÑ:
где Ñо — Ð²ÐµÑ ÐºÑбиÑеÑкой единиÑÑ ÑÑой жидкоÑÑи.
ЧÑÐ¾Ð±Ñ Ð²ÑÑиÑлиÑÑ Ð´Ð°Ð²Ð»ÐµÐ½Ð¸Ðµ на веÑÑикалÑнÑÑ Ð¿Ð¾Ð²ÐµÑÑ Ð½Ð¾ÑÑÑ, воÑполÑзÑемÑÑ Ñем ÑакÑом, ÑÑо в каждой ÑоÑке давление во вÑе ÑÑоÑÐ¾Ð½Ñ Ð¾Ð´Ð¸Ð½Ð°ÐºÐ¾Ð²Ð¾. Ðа ÑиÑÑнке 27 изобÑажена веÑÑикалÑÐ½Ð°Ñ Ð¿Ð¾Ð²ÐµÑÑ Ð½Ð¾ÑÑÑ. Ðавление на полоÑÑ AB, ÑодеÑжаÑÑÑÑÑ Ð¼ÐµÐ¶Ð´Ñ Ð´Ð²ÑÐ¼Ñ Ð²ÐµÑÑма близкими гоÑизонÑалÑми, пÑиближенно Ñавно, где—плоÑÐ°Ð´Ñ ÑÑой полоÑки. ÐÐ½Ð°Ñ ÑÑо ÑлеменÑаÑное давление, найдем иÑкомое давление Ð :
Так как, Ñо
612. ÐÑÑиÑлиÑÑ Ð´Ð°Ð²Ð»ÐµÐ½Ð¸Ðµ на ÑÑеÑголÑник, имеÑÑий оÑнование b ÑÐ¼Ñ Ð²ÑÑоÑÑ h ÑÐ¼Ñ ÐµÑли веÑÑина ÑÑеÑголÑника Ð»ÐµÐ¶Ð¸Ñ Ð½Ð° повеÑÑ Ð½Ð¾ÑÑи водÑ, а вÑÑоÑа его ÑаÑположена веÑÑикалÑно.
РеÑение. Ðа ÑиÑÑнке 28 изобÑажен даннÑй ÑÑеÑголÑник, погÑÑженнÑй в водÑ. ÐеÑем пÑоизволÑнÑÑ Ð¿Ð¾Ð»Ð¾ÑÐºÑ MN, Ð½Ð°Ñ Ð¾Ð´ÑÑÑÑÑÑ Ð½Ð° глÑбине Ñ Ñм. Ðе длина легко опÑеделÑеÑÑÑ Ð¸Ð· Ð¿Ð¾Ð´Ð¾Ð±Ð¸Ñ ÑÑеÑголÑников ÐÐС и BMN. ÐÑÐ¸Ð½Ð¸Ð¼Ð°Ñ (пÑиближенно) ÑÑÑ Ð¿Ð¾Ð»Ð¾ÑÐºÑ Ð·Ð° пÑÑмоÑголÑник, найдем ее плоÑадÑ:ÐÑÑÑда
613. ÐÑÑиÑлиÑÑ Ð´Ð°Ð²Ð»ÐµÐ½Ð¸Ðµ жидкоÑÑи на боковÑе ÑÑенки кÑÑгового ÑилиндÑа, вÑÑоÑа коÑоÑого Ñавна h Ñм, а ÑадиÑÑ Ð¾ÑÐ½Ð¾Ð²Ð°Ð½Ð¸Ñ Ð³ Ñм, ÑделÑнÑй Ð²ÐµÑ Ð¶Ð¸Ð´ÐºÐ¾ÑÑи Ñавен d.
614. ÐÑÑиÑлиÑÑ Ð´Ð°Ð²Ð»ÐµÐ½Ð¸Ðµ, иÑпÑÑÑваемое ÑÑеÑголÑником, вÑÑоÑа коÑоÑого Ñавна h Ñм, оÑнование Ñавно Ь Ñм> еÑли он погÑÑжен в Ð²Ð¾Ð´Ñ Ñаким обÑазом, ÑÑо оÑнование его Ð»ÐµÐ¶Ð¸Ñ Ð½Ð° повеÑÑ Ð½Ð¾ÑÑи водÑ, а вÑÑоÑ# напÑавлена веÑÑикалÑно вниз.
615. ÐÑÑиÑлиÑÑ Ð´Ð°Ð²Ð»ÐµÐ½Ð¸Ðµ Ð²Ð¾Ð´Ñ Ð½Ð° ÑиÑ, имеÑÑий ÑоÑÐ¼Ñ ÑÑапеÑии, погÑÑженнÑй в Ð²Ð¾Ð´Ñ Ð²ÐµÑÑикалÑно. ÐеÑÑ Ð½ÐµÐµ оÑнование, Ñавное а м, Ð»ÐµÐ¶Ð¸Ñ Ð½Ð° повеÑÑ Ð½Ð¾ÑÑи водÑ, нижнее оÑнование Ñавно b м, вÑÑоÑа ÑиÑа Ñавна h м.
616. ÐÐ¾Ð½ÐµÑ ÑÑÑбÑ, погÑÑженной гоÑизонÑалÑно в водÑ, закÑÑÑ Ð·Ð°Ñлонкой. ÐпÑеделиÑÑ Ð´Ð°Ð²Ð»ÐµÐ½Ð¸Ðµ, иÑпÑÑÑваемое ÑÑой заÑлонкой, еÑли ее диамеÑÑ Ñавен 60 ÑÐ¼Ñ Ð° ÑенÑÑ ÐµÐµ Ð½Ð°Ñ Ð¾Ð´Ð¸ÑÑÑ Ð½Ð° глÑбине 15 м под водой.
617. СжаÑие винÑовой пÑÑÐ¶Ð¸Ð½Ñ Ð¿ÑопоÑÑионалÑно пÑиложенной Ñиле. ÐÑÑиÑлиÑÑ ÑабоÑÑ, пÑоизводимÑÑ Ð¿Ñи ÑжаÑии пÑÑÐ¶Ð¸Ð½Ñ Ð½Ð° 4 ÑÐ¼Ñ ÐµÑли Ð´Ð»Ñ ÑжаÑÐ¸Ñ ÐµÐµ на I Ñм нÑжно пÑиложиÑÑ ÑÐ¸Ð»Ñ Ð² I кг.
РеÑение. ÐбознаÑим ÑеÑез Ñ ÑжаÑие пÑÑжинÑ. Тогда, ÑоглаÑно Ð·Ð°ÐºÐ¾Ð½Ñ ÐÑка, F = kx% где k — поÑÑоÑннаÑ, Ñ Ð°ÑакÑеÑизÑÑÑÐ°Ñ Ð¼Ð°ÑеÑиал пÑÑжинÑ. ÐÐ»Ñ Ð´Ð°Ð½Ð½Ð¾Ð³Ð¾ ÑлÑÑаÑ
ÐÑедполагаÑ, ÑÑо F вÑÑажена в килогÑÐ°Ð¼Ð¼Ð°Ñ , Ð°Ñ —в меÑÑÐ°Ñ , найдем пÑоизведеннÑÑ ÑабоÑÑ Ð:
€18. РабоÑа, коÑоÑÑÑ Ð½ÐµÐ¾Ð±Ñ Ð¾Ð´Ð¸Ð¼Ð¾ заÑÑаÑиÑÑ, ÑÑÐ¾Ð±Ñ Ð¿Ð¾Ð´Ð½ÑÑÑ Ñело Ð¾Ñ Ð¾Ð´Ð½Ð¾Ð¹ вÑÑоÑÑ Ð´Ð¾ дÑÑгой, вÑÑÐ°Ð¶ÐµÐ½Ð½Ð°Ñ Ð² килогÑаммомеÑÑÐ°Ñ , Ñавна пÑÐ¾Ð¸Ð·Ð²ÐµÐ´ÐµÐ½Ð¸Ñ Ð²ÐµÑа Ñела в килогÑÐ°Ð¼Ð¼Ð°Ñ Ð½Ð° вÑÑоÑÑ Ð¿Ð¾Ð´Ð½ÑÑиÑ, вÑÑаженнÑÑ Ð² меÑÑÐ°Ñ . ÐÑÑиÑлиÑÑ ÑабоÑÑ, коÑоÑÑÑ Ð½ÐµÐ¾Ð±Ñ Ð¾Ð´Ð¸Ð¼Ð¾ заÑÑаÑиÑÑ, ÑÑÐ¾Ð±Ñ Ð²ÑкаÑаÑÑ Ð²Ð¾Ð´Ñ Ð¸Ð· ÑилиндÑиÑеÑкой ÑиÑÑеÑнÑ, ÑадиÑÑ ÐºÐ¾ÑоÑой Ñавен a M9 а вÑÑоÑа — Ъ м.
РеÑение. РазобÑем обÑем ÑиÑÑеÑÐ½Ñ Ð¿Ð»Ð¾ÑкоÑÑÑми, паÑаллелÑнÑми оÑÐ½Ð¾Ð²Ð°Ð½Ð¸Ñ Ð¸ Ð½Ð°Ñ Ð¾Ð´ÑÑимиÑÑ Ð´ÑÑг Ð¾Ñ Ð´ÑÑга на ÑаÑÑÑоÑнии Ð Ñ . ÐÑÑиÑлим обÑем полÑÑенного ÑлеменÑаÑного ÑилиндÑа:
dv = Ñа* Ð Ñ Ð¼3.
ÐÐµÑ Ð²Ð¾Ð´Ñ Ð² ÑÑом обÑеме бÑÐ´ÐµÑ Ñавен I ÐÐÐÑа* tax кÐ. ÐлеменÑаÑÐ½Ð°Ñ ÑабоÑав, заÑÑаÑÐµÐ½Ð½Ð°Ñ Ð´Ð»Ñ Ð¿Ð¾Ð´Ð½ÑÑÐ¸Ñ ÑÑой маÑÑÑ, Ð½Ð°Ñ Ð¾Ð´ÑÑейÑÑ Ð½Ð° глÑбине Ñ Ð¼, Ñавна:
dA = ЮÐÐÑа2 Ð Ñ -Ñ ÐºÐм.
Ñ Ñ
ÐÑÑÑда иÑÐºÐ¾Ð¼Ð°Ñ ÑабоÑа Ñавна:
Ð «Ð² 1000 Ñ a2 f Ñ dx = 500 Ñа2*21 — 500 па2Ь2 кÐм.
о о
619. ÐÑÑиÑлиÑÑ ÑабоÑÑ Ð½Ð° пÑеодоление ÑÐ¸Ð»Ñ ÑÑжеÑÑи, коÑоÑÑÑ Ð½ÐµÐ¾Ð±Ñ Ð¾Ð´Ð¸Ð¼Ð¾ заÑÑаÑиÑÑ, ÑÑÐ¾Ð±Ñ Ð²ÑкаÑаÑÑ Ð²Ð¾Ð´Ñ Ð¸Ð· ÑезеÑвÑаÑа, имеÑÑего ÑоÑÐ¼Ñ ÐºÐ¾Ð½ÑÑа, обÑаÑенного веÑÑиной вниз ÐÑÑоÑа конÑÑа Hy ÑадиÑÑ R.
620 ÐакÑÑ ÑабоÑÑ Ð½Ð°Ð´Ð¾ заÑÑаÑиÑÑ, ÑÑÐ¾Ð±Ñ Ð½Ð°ÑÑпаÑÑ ÐºÑÑÑ Ð¿ÐµÑка кониÑеÑкой ÑоÑÐ¼Ñ Ñ ÑадиÑÑом 1,2 м и вÑÑоÑой I Mf еÑли ÑделÑнÑй Ð²ÐµÑ Ð¿ÐµÑка Ñавен 2?
621. Ð¨Ð°Ñ ÑадиÑÑа R9 изгоÑовленнÑй из маÑеÑиала, плоÑноÑÑÑ ÐºÐ¾ÑоÑого P= 1г/Ñм3Ñ Ð¿Ð¾Ð³ÑÑжен в Ð²Ð¾Ð´Ñ Ñак, ÑÑо каÑаеÑÑÑ Ð¿Ð¾Ð²ÐµÑÑ Ð½Ð¾ÑÑи. ÐакÑÑ ÑабоÑÑ Ð½Ñжно пÑоизвеÑÑи, ÑÑÐ¾Ð±Ñ Ð²ÑÑаÑиÑÑ ÑÐ°Ñ Ð¸Ð· водÑ?
622. ÐонÑÑ, ÑадиÑÑ Ð¾ÑÐ½Ð¾Ð²Ð°Ð½Ð¸Ñ ÐºÐ¾ÑоÑого R = AOcMy вÑÑоÑа H = 20ÑÐ¼Ñ Ð¿Ð»Ð°Ð²Ð°ÐµÑ Ð½Ð° повеÑÑ Ð½Ð¾ÑÑи Ð²Ð¾Ð´Ñ ÑвеÑÑ Ñ. ÐлоÑноÑÑÑ Ð¼Ð°ÑеÑиала, из коÑоÑого Ñделан конÑÑ, Ñ = = 0,9 е/Ñм3. ÐакÑÑ ÑабоÑÑ Ð½Ñжно заÑÑаÑиÑÑ, ÑÑÐ¾Ð±Ñ Ð¿Ð¾Ð³ÑÑзиÑÑ ÐºÐ¾Ð½ÑÑ Ð¿Ð¾Ð»Ð½Ð¾ÑÑÑÑ Ð² водÑ?
623. ÐÑÑиÑлиÑÑ ÑабоÑÑ, пÑоизводимÑÑ Ð¿Ñи ÑаÑÑÑгивании пÑÑÐ¶Ð¸Ð½Ñ Ð½Ð° 0,05 Ð¼Ñ ÐµÑли извеÑÑно, ÑÑо Ñила, коÑоÑÐ°Ñ ÑÑебÑеÑÑÑ Ð´Ð»Ñ ÑаÑÑÑÐ¶ÐµÐ½Ð¸Ñ Ð¿ÑÑжинÑ, пÑопоÑÑионалÑна ÑÐ´Ð»Ð¸Ð½ÐµÐ½Ð¸Ñ Ñ Ð¿ÑÑÐ¶Ð¸Ð½Ñ Ð¸ ÑÑо Ð´Ð»Ñ ÑÐ´Ð»Ð¸Ð½ÐµÐ½Ð¸Ñ Ð¿ÑÑÐ¶Ð¸Ð½Ñ Ð½Ð° 0,01 м ÑÑебÑеÑÑÑ Ñила, ÑÐ°Ð²Ð½Ð°Ñ I кÐ.
624. ÐÑÑиÑлиÑÑ ÑабоÑÑ, Ð½ÐµÐ¾Ð±Ñ Ð¾Ð´Ð¸Ð¼ÑÑ Ð´Ð»Ñ Ñого, ÑÑÐ¾Ð±Ñ Ð²ÑкаÑаÑÑ Ð²Ð¾Ð´Ñ Ð¸Ð· полÑÑÑеÑиÑеÑкого ÑоÑÑда, ÑадиÑÑ ÐºÐ¾ÑоÑого Rm.
625. ÐÑÑиÑлиÑÑ Ð´Ð°Ð²Ð»ÐµÐ½Ð¸Ðµ ÑÑÑÑи, наполнÑÑÑей ÑÑакан, на боковÑе ÑÑенки ÑÑакана, еÑли вÑÑоÑа ÑÑакана Ñавна 12 Ñм, диамеÑÑ Ð¾ÑÐ½Ð¾Ð²Ð°Ð½Ð¸Ñ Ñавен 8 Ñм, ÑделÑнÑй Ð²ÐµÑ ÑÑÑÑи Ñавен 13,6.
ÐополниÑелÑнÑе задаÑи к главе V
626. ÐайÑи ÑенÑÑ ÑÑжеÑÑи полÑокÑÑжноÑÑи
627. ÐайÑи ÑенÑÑ ÑÑжеÑÑи полÑкÑÑга, огÑаниÑенного полÑокÑÑжноÑÑÑÑРоÑÑÑ Ox.
628. ÐайÑи кооÑдинаÑÑ ÑенÑÑа ÑÑжеÑÑи ÑигÑÑÑ, огÑаниÑенной дÑгой аÑÑÑоидÑРаÑположенной в пеÑвом квадÑанÑе, и оÑÑми кооÑдинаÑ.
629. ÐайÑи декаÑÑÐ¾Ð²Ñ ÐºÐ¾Ð¾ÑдинаÑÑ ÑенÑÑа ÑÑжеÑÑи ÑигÑÑÑ, огÑаниÑенной каÑдиоидой
630. ÐайÑи декаÑÑÐ¾Ð²Ñ ÐºÐ¾Ð¾ÑдинаÑÑ ÑенÑÑа ÑÑжеÑÑи ÑигÑÑÑ, огÑаниÑенной пÑавой пеÑлей лемниÑкаÑÑ ÐеÑнÑлли
Источник
Каждая из приведенных в данном разделе задач требует применения соответствующих законов физики, но все они решаются, подчиняясь общей схеме:
1) вычисление элементарной работы ;
2) построение интегральной суммы ;
3) переход к пределу: .
Задача 11. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы поднять с поверхности Земли, радиус которой , на высоту ? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?
Решение. На тело массы действует сила притяжения Земли, обратно пропорциональная квадрату расстояния тело от центра Земли и направленная к центру Земли :
,
где – постоянная, определяемая из условия, что на поверхности Земли сила равна силе веса :
,
откуда , где – радиус Земли; – единичный вектор, направленный из точки к центру Земли .
Элементарная работа центральной силы определяется по формуле , где – проекция силы на направление ; – элементарное перемещение. Для выражения полной работы имеем
.
Знак «- «обусловлен тем, что проекция силы на направление отрицательна. Искомая работа равна .
Переходя к пределу при , находим
, .
Задача 12. Какую работу надо затратить, чтобы растянуть упругую пружину на величину ?
Решение. Реакция упругой пружины, один конец которой закреплен, выражается согласно закону Гука формулой , где – коэффициент жесткости пружины, – деформация.
Элементарная работа упругой силы (реакции пружины) при растяжении ее на величину определяется по выражению
,
где – элементарное перемещение, направленное в сторону, противоположную силе .
Полную работу найдем, проинтегрировав в пределах полученное выражение:
(ед. работы).
Коэффициент можно найти, если будут заданы начальные условия,
Задача 13. Цилиндр радиуса и длиной заполнен паром под давлением . Какую работу надо затратить, чтобы уменьшить объем пара в два раза, считая, что температура пара остается постоянной?
Решение. Для изотермического процесса справедлив закон Бойля – Мариотта
,
где – давление; – объем, заполненный газом; – постоянная.
Величина изменения объема цилиндра на длину
;
.
Элементарная работа силы давления при уменьшении длины цилиндра на выражается формулой
, т.е.
.
Суммируя и переходя к пределу, получаем
.
Постоянную можно найти по формуле , где и – первоначальные значения давления и объема.
Задача 14. Капля с начальной массой падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу, равную . Какова работа силы тяжести за время от начала движения до полного испарения капли? (Сопротивлением воздуха пренебрегаем).
Решение. Через секунд от начала падения масса капли будет равна .
Найдем момент времени , когда капля полностью испарится, так как к этому моменту
, то
, т.е. .
Элементарная работа , совершенная силой тяжести за время , приближенно
,
где – путь, пройденный каплей за время ; – ускорение свободного падения; – сила тяжести.
Считаем при этом, что за время масса капли остается постоянной, равной массе капли в начальный момент . Величина , так как направление движения совпадает с направлением силы тяжести; учитывая, что и то, что при отсутствии сопротивления , получаем
.
.
Единого подхода требуют также задача на вычисление работы, которую нужно произвести при откачивании жидкости из резервуаров различной формы, засыпании песка в виде кучи определенной формы и т.д.
Для решения таких задач следует разбить тело высотой на элементарных слоев и найти работу , которую нужно затратить на поднятие – го элементарного слоя на высоту . Просуммировав и переходя к пределу при , найдем
.
Величину определяем исходя из того, что работа равна произведению силы веса элементарного слоя этого тела на высоту его поднятия :
,
где – площадь элементарного слоя на высоте ;
– толщина этого слоя; – плотность материала, заполняющего слой. Таким образом, в случае однородного материала
. (8)
Задача 15. Вычислить работу, которую необходимо затратить для того, чтобы выкачать жидкость плотностью , наполняющую цилиндрический резервуар высотой , имеющий в основании круг радиуса .
Решение. Разобьем цилиндр на элементарные цилиндры плоскостями, параллельными основанию, с высотой . Объем элементарного цилиндра
,
а его масса
.
Элементарная работа, затрачиваемая на поднятие этого слоя жидкости, находящегося на глубине :
.
Просуммируем и перейдем к пределу, тогда искомая работа
. (ед. работы)
Здесь – ускорение свободного падения.
Задача 16. Какую работу нужно произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме усеченного конуса высоты , имеющего радиусы оснований и ? Плотность песка равна , песок поднимают с поверхности Земли, на которой покоится большее основание конуса.
Решение. Следуя общей схеме, разобьем усеченный конус на элементарные слои. Положим, что элементарный слой имеет форму кругового цилиндра высотой и радиуса . Тогда объем элементарного слоя
,
а масса песка, заполняющего этот слой:
.
Работа, затрачиваемая на поднятие одного слоя песка на высоту :
.
Выразим величину через .
Из подобия треугольников и имеем
или
, откуда
.
Тогда
,
а интегральная сумма
.
Задача 17. Размеры пирамиды Хеопса приблизительно таковы: высота м, ребро основания (квадрата) м. Плотность камня, из которого она сделана, приблизительно г / . Вычислить работу, затраченную при ее постройке на преодоление силы тяжести.
Решение. Выделим элементарный слой пирамиды с высотой , принимая этот слой за прямую призму с площадью основания . Масса камня, заполняющего этот слой пирамиды, , а работа, необходимая для поднятия этого слоя на высоту ,
.
Величину найдем из соотношения
; ; ;
.
Тогда
.
Суммируя и переходя к пределу, получаем работу
.
Учитывая, что г / кг / , и подставляя значения и , получаем
(ДЖ).
Задача 18. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость плотности из резервуара, имеющего форму конуса, обращенного вершиной вниз, высота которого равна , а радиус основания . Как изменится результат, если конус будет обращен вершиной вверх?
Решение. Пусть конус обращен вершиной вниз.
Выделим элементарный слой, с высотой , полагая приближенно, что он имеет цилиндрическую форму. Элементарная работа, затрачиваемая на поднятие жидкости, заполняющей выделенный слой,
( – величина элементарного объема, – высота поднятия).
Из геометрических соображений
; .
Тогда
,
.
И, наконец,
.
Обратимся ко второму случаю, когда вершина конуса обращена вверх,
Рассуждая аналогично предыдущему случаю, получаем приближенное выражение для элементарной работы
,
а из геометрических соображений имеем:
; .
Тогда
,
.
Задача 19. Котел имеет форму параболоида вращения. Радиус основания , глубина котла . Он наполнен жидкостью, плотность которой . Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.
Решение. Следуя общей схеме, выделяем элементарный слой с высотой , элементарная работа, затрачиваемая на поднятие жидкости, заполняющей выделенный слой, на высоту
.
Зависимость от найдем, принимая во внимание, что уравнение кривой, которая получается в осевом вертикальном сечении данного котла:
,
а так как точка принадлежит этой кривой, то , и, следовательно,
и .
Поэтому
и .
Источник