Вычислить работу совершаемую при выкачивании воды из сосуда

Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтен-гольца главу XII, п° 208.

611. Найти давление на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус равен 5 см, а верхний диаметр лежит на свободной поверхности воды

Решение. Давление жидкости на дно сосуда равно весу вертикального столба жидкости с основанием в I см, находящегося над дном. Объем столба, имеющего в основании единицу площади, а высоту h, равен А. Поэтому давление на глубине h будет:

где со — вес кубической единицы этой жидкости.

Чтобы вычислить давление на вертикальную поверхность, воспользуемся тем фактом, что в каждой точке давление во все стороны одинаково. На рисунке 27 изображена вертикальная поверхность. Давление на полосу AB, содержащуюся между двумя весьма близкими горизонталями, приближенно равно, где—площадь этой полоски. Зная это элементарное давление, найдем искомое давление Р:

Так как, то

612. Вычислить давление на треугольник, имеющий основание b сму высоту h сму если вершина треугольника лежит на поверхности воды, а высота его расположена вертикально.

Решение. На рисунке 28 изображен данный треугольник, погруженный в воду. Берем произвольную полоску MN, находящуюся на глубине х см. Ее длина легко определяется из подобия треугольников ВАС и BMN. Принимая (приближенно) эту полоску за прямоугольник, найдем ее площадь:Отсюда

613. Вычислить давление жидкости на боковые стенки кругового цилиндра, высота которого равна h см, а радиус основания г см, удельный вес жидкости равен d.

614. Вычислить давление, испытываемое треугольником, высота которого равна h см, основание равно Ь см> если он погружен в воду таким образом, что основание его лежит на поверхности воды, а высот# направлена вертикально вниз.

615. Вычислить давление воды на щит, имеющий форму трапеции, погруженный в воду вертикально. Верхнее основание, равное а м, лежит на поверхности воды, нижнее основание равно b м, высота щита равна h м.

616. Конец трубы, погруженной горизонтально в воду, закрыт заслонкой. Определить давление, испытываемое этой заслонкой, если ее диаметр равен 60 сму а центр ее находится на глубине 15 м под водой.

617. Сжатие винтовой пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу, производимую при сжатии пружины на 4 сму если для сжатия ее на I см нужно приложить силу в I кг.

Решение. Обозначим через х сжатие пружины. Тогда, согласно закону Гука, F = kx% где k — постоянная, характеризующая материал пружины. Для данного случая

Предполагая, что F выражена в килограммах, ах—в метрах, найдем произведенную работу А:

€18. Работа, которую необходимо затратить, чтобы поднять тело от одной высоты до другой, выраженная в килограммометрах, равна произведению веса тела в килограммах на высоту поднятия, выраженную в метрах. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из цилиндрической цистерны, радиус которой равен a M9 а высота — Ъ м.

Решение. Разобьем объем цистерны плоскостями, параллельными основанию и находящимися друг от друга на расстоянии А х. Вычислим объем полученного элементарного цилиндра:

dv = яа* А хм3.

Вес воды в этом объеме будет равен I ОООяа* tax кГ. Элементарная работав, затраченная для поднятия этой массы, находящейся на глубине хм, равна:

dA = ЮООяа2 А х-хкГм.

ь ь

Отсюда искомая работа равна:

А «Ð² 1000 я a2 f х dx = 500 яа2*21 — 500 па2Ь2 кГм.

о о

619. Вычислить работу на преодоление силы тяжести, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из резервуара, имеющего форму конуса, обращенного вершиной вниз Высота конуса Hy радиус R.

620 Какую работу надо затратить, чтобы насыпать кучу песка конической формы с радиусом 1,2 м и высотой I Mf если удельный вес песка равен 2?

621. Шар радиуса R9 изготовленный из материала, плотность которого P= 1г/см3у погружен в воду так, что касается поверхности. Какую работу нужно произвести, чтобы вытащить шар из воды?

622. Конус, радиус основания которого R = AOcMy высота H = 20сму плавает на поверхности воды сверху. Плотность материала, из которого сделан конус, р = = 0,9 е/см3. Какую работу нужно затратить, чтобы погрузить конус полностью в воду?

623. Вычислить работу, производимую при растягивании пружины на 0,05 му если известно, что сила, которая требуется для растяжения пружины, пропорциональна удлинению х пружины и что для удлинения пружины на 0,01 м требуется сила, равная I кГ.

624. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, радиус которого Rm.

625. Вычислить давление ртути, наполняющей стакан, на боковые стенки стакана, если высота стакана равна 12 см, диаметр основания равен 8 см, удельный вес ртути равен 13,6.

Дополнительные задачи к главе V

626. Найти центр тяжести полуокружности

627. Найти центр тяжести полукруга, ограниченного полуокружностьюИ осью Ox.

628. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной дугой астроидыРасположенной в первом квадранте, и осями координат.

629. Найти декартовы координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кардиоидой

630. Найти декартовы координаты центра тяжести фигуры, ограниченной правой петлей лемнискаты Бернулли

Каждая из приведенных в данном разделе задач требует применения соответствующих законов физики, но все они решаются, подчиняясь общей схеме:

1) вычисление элементарной работы ;

2) построение интегральной суммы ;

3) переход к пределу: .

Задача 11. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы поднять с поверхности Земли, радиус которой , на высоту ? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?

Решение. На тело массы действует сила притяжения Земли, обратно пропорциональная квадрату расстояния тело от центра Земли и направленная к центру Земли :

,

где – постоянная, определяемая из условия, что на поверхности Земли сила равна силе веса :

,

откуда , где – радиус Земли; – единичный вектор, направленный из точки к центру Земли .

Элементарная работа центральной силы определяется по формуле , где – проекция силы на направление ; – элементарное перемещение. Для выражения полной работы имеем

.

Знак «- «обусловлен тем, что проекция силы на направление отрицательна. Искомая работа равна .

Переходя к пределу при , находим

, .

Задача 12. Какую работу надо затратить, чтобы растянуть упругую пружину на величину ?

Решение. Реакция упругой пружины, один конец которой закреплен, выражается согласно закону Гука формулой , где – коэффициент жесткости пружины, – деформация.

Элементарная работа упругой силы (реакции пружины) при растяжении ее на величину определяется по выражению

,

где – элементарное перемещение, направленное в сторону, противоположную силе .

Полную работу найдем, проинтегрировав в пределах полученное выражение:

(ед. работы).

Коэффициент можно найти, если будут заданы начальные условия,

Задача 13. Цилиндр радиуса и длиной заполнен паром под давлением . Какую работу надо затратить, чтобы уменьшить объем пара в два раза, считая, что температура пара остается постоянной?

Решение. Для изотермического процесса справедлив закон Бойля – Мариотта

,

где – давление; – объем, заполненный газом; – постоянная.

Величина изменения объема цилиндра на длину

;

.

Элементарная работа силы давления при уменьшении длины цилиндра на выражается формулой

, т.е.

.

Суммируя и переходя к пределу, получаем

.

Постоянную можно найти по формуле , где и – первоначальные значения давления и объема.

Задача 14. Капля с начальной массой падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу, равную . Какова работа силы тяжести за время от начала движения до полного испарения капли? (Сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Решение. Через секунд от начала падения масса капли будет равна .

Найдем момент времени , когда капля полностью испарится, так как к этому моменту

, то

, т.е. .

Элементарная работа , совершенная силой тяжести за время , приближенно

,

где – путь, пройденный каплей за время ; – ускорение свободного падения; – сила тяжести.

Считаем при этом, что за время масса капли остается постоянной, равной массе капли в начальный момент . Величина , так как направление движения совпадает с направлением силы тяжести; учитывая, что и то, что при отсутствии сопротивления , получаем

.

.

Единого подхода требуют также задача на вычисление работы, которую нужно произвести при откачивании жидкости из резервуаров различной формы, засыпании песка в виде кучи определенной формы и т.д.

Для решения таких задач следует разбить тело высотой на элементарных слоев и найти работу , которую нужно затратить на поднятие – го элементарного слоя на высоту . Просуммировав и переходя к пределу при , найдем

.

Величину определяем исходя из того, что работа равна произведению силы веса элементарного слоя этого тела на высоту его поднятия :

,

где – площадь элементарного слоя на высоте ;

– толщина этого слоя; – плотность материала, заполняющего слой. Таким образом, в случае однородного материала

. (8)

Задача 15. Вычислить работу, которую необходимо затратить для того, чтобы выкачать жидкость плотностью , наполняющую цилиндрический резервуар высотой , имеющий в основании круг радиуса .

Решение. Разобьем цилиндр на элементарные цилиндры плоскостями, параллельными основанию, с высотой . Объем элементарного цилиндра

,

а его масса

.

Элементарная работа, затрачиваемая на поднятие этого слоя жидкости, находящегося на глубине :

.

Просуммируем и перейдем к пределу, тогда искомая работа

. (ед. работы)

Здесь – ускорение свободного падения.

Задача 16. Какую работу нужно произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме усеченного конуса высоты , имеющего радиусы оснований и ? Плотность песка равна , песок поднимают с поверхности Земли, на которой покоится большее основание конуса.

Решение. Следуя общей схеме, разобьем усеченный конус на элементарные слои. Положим, что элементарный слой имеет форму кругового цилиндра высотой и радиуса . Тогда объем элементарного слоя

,

а масса песка, заполняющего этот слой:

.

Работа, затрачиваемая на поднятие одного слоя песка на высоту :

.

Выразим величину через .

Из подобия треугольников и имеем

или

, откуда

.

Тогда

,

а интегральная сумма

.

Задача 17. Размеры пирамиды Хеопса приблизительно таковы: высота м, ребро основания (квадрата) м. Плотность камня, из которого она сделана, приблизительно г / . Вычислить работу, затраченную при ее постройке на преодоление силы тяжести.

Решение. Выделим элементарный слой пирамиды с высотой , принимая этот слой за прямую призму с площадью основания . Масса камня, заполняющего этот слой пирамиды, , а работа, необходимая для поднятия этого слоя на высоту ,

.

Величину найдем из соотношения

; ; ;

.

Тогда

.

Суммируя и переходя к пределу, получаем работу

.

Учитывая, что г / кг / , и подставляя значения и , получаем

(ДЖ).

Задача 18. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость плотности из резервуара, имеющего форму конуса, обращенного вершиной вниз, высота которого равна , а радиус основания . Как изменится результат, если конус будет обращен вершиной вверх?

Решение. Пусть конус обращен вершиной вниз.

Выделим элементарный слой, с высотой , полагая приближенно, что он имеет цилиндрическую форму. Элементарная работа, затрачиваемая на поднятие жидкости, заполняющей выделенный слой,

( – величина элементарного объема, – высота поднятия).

Из геометрических соображений

; .

Тогда

,

.

И, наконец,

.

Обратимся ко второму случаю, когда вершина конуса обращена вверх,

Рассуждая аналогично предыдущему случаю, получаем приближенное выражение для элементарной работы

,

а из геометрических соображений имеем:

; .

Тогда

,

.

Задача 19. Котел имеет форму параболоида вращения. Радиус основания , глубина котла . Он наполнен жидкостью, плотность которой . Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.

Решение. Следуя общей схеме, выделяем элементарный слой с высотой , элементарная работа, затрачиваемая на поднятие жидкости, заполняющей выделенный слой, на высоту

.

Зависимость от найдем, принимая во внимание, что уравнение кривой, которая получается в осевом вертикальном сечении данного котла:

,

а так как точка принадлежит этой кривой, то , и, следовательно,

и .

Поэтому

и .