Высокий цилиндрический сосуд с азотом находится в однородном поле
Задание №1. В сосуде объемом л содержится идеальный газ при температуре 0 0С. После того как часть газа была выпущена наружу давление понизилось на атм. (без изменения температуры). Найти массу выпущенного газа. Плотность данного газа при нормальных условиях г/л.
Решение:
Рис. 1.
По условию задачи процесс происходит при постоянной температуре и с неизменным объемом: , .
Однако масса газа, после того как он был выпущен из сосуда уменьшается на , а, следовательно, и падает давление в сосуде на , которое известно по условию.
Так как рассматриваемый газ можно считать идеальным, то для его начального состояния и конечного состояния (после того как газ был выпущен) можно записать соответствующие уравнения идеального газа.
Для начального состояния:
(1)
Для конечного состояния:
(2)
где Па – давление газа при нормальных условиях равное атмосферному.
Перенесем в уравнениях (1) и (2) неизменные величины в правую часть, а изменяющиеся в левую часть:
(3)
(4)
Так как правые части (3) и (4) равны, то должны быть равны и левые части:
(5)
Из соотношения (5) находим :
(6)
(7)
(8)
где массу газа в начальном состоянии, которое имело место при нормальных условиях можно представить в виде:
(9)
Подставляя (9) в (8) получаем окончательный результат:
(10)
г.
Ответ:
Задание №2. Уравнения процессов имеют вид: 1) ; 2) , где – положительные постоянные, – объем моля газа. Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом указанном процессе.
Решение:
Перейдем в заданных уравнениях процессов от давления к температуре с помощью уравнения состояния идеального газа для одного моля, в соответствие с требованием задачи.
(1)
Подставим (1) в уравнения процессов, выражая температуру как функцию от объема:
(2)
(3)
Чтобы получить экстремальное (максимальное) значение какой либо функции, необходимо найти её производную по имеющемуся аргументу и приравнять к нулю. Из полученного уравнения определить соответствующее значение аргумента и подставить его в выражение для функции. В нашем случае температура является функцией, а объем ее аргументом. Поэтому возьмем от (2) и (3) производную по :
(4)
(5)
Корнями уравнений (4) и (5) являются следующие значения объема:
(6)
(7)
Подставляя (6) и (7) в (2) и (3) соответственно, получаем:
(8)
(9)
Ответ: 1) ; 2) .
Задание №3. Высокий цилиндрический сосуд с азотом находится в однородном поле тяжести Земли. Температура азота меняется так, что его плотность повсюду одинакова. Найти градиент температуры .
Решение:
Рис. 3.
Рассмотрим бесконечно тонкий слой азота, толщиной , параллельный основанию цилиндрического сосуда. Его масса:
(1)
В однородном поле силы тяжести на него действует сила:
(2)
С другой стороны рассматриваемый слой создает давление , которому соответствует сила (она равна по модулю силе тяжести):
(3)
(4)
Подставляя в (3) соотношения (1), (2), (4), получаем:
(5)
Знак минус в (5) указывает, что давление убывает с ростом высоты.
В соответствии с уравнением состояния идеального газа:
(6)
Так как по условию плотность – постоянная величина, то бесконечно малое изменение давления приводит согласно (6) к бесконечно малому изменению температуры:
(7)
Подставляя (7) в (5), получаем:
(8)
Из соотношения (8), находим градиент температуры:
(9)
Ответ: .
Источник
Примеры решения задач
Задача П.1.
Каким должно быть давление воздуха на дне скважины глубиной 8 км, если считать, что молярная масса воздуха равна 29-10-3 кг/моль, температура по высоте постоянна и равна 27°С, а давление воздуха у поверхности Земли равно одной атмосфере? Ответ дать в Паскалях.
Анализ. Потенциальная энергия молекулы воздуха на дне скважины относительно поверхности Земли
Eh = -mgh.
Распределение молекул по глубине характеризует функция распределения Больцмана:
Но давление газа при постоянной температуре пропорционально концентрации его молекул, так как Р = пкТ. Тогда
Решение. Подставив числовые данные в последнее выражение, получим
Ответ: 2105 Па.
Задача П.2.
Трубка длиной / вращается около вертикальной оси, проходящей через её середину перпендикулярно оси трубки, с угловой скоростью со. Температура воздуха равна Т. Принимая давление воздуха внутри трубки вблизи её открытых концов равным атмосферному Р0, определить давление воздуха в середине трубки.
Анализ. Запишем барометрическую формулу:
где U – потенциальная энергия.
На частицы действует сила инерции, равная
2
F = -та = -т(й г.
г
Воспользуемся соотношением из механики U = – J Fdr.
о
Подставив выражение для силы, получим
U – шсо2 J rdr = — т(д2г2. о 2
-пт2г2
Тогда Р = Р$е .
Решение. Учитывая, что для центра трубки г = //2 получим
-Мю2/2
Ответ: Р$е *>RT .
Задача П.З.
Высокий цилиндрический сосуд с азотом находится в однородном поле силы тяжести, ускорение свободного падения в котором равно g. Температура азота меняется по высоте так, что его плотность всюду одинакова. Найти градиент температуры dT/dh.
Решение. Изменение давления связано с изменением высоты соотношением dP = -pgdh, где р – плотность газа. С другой стороны уравнение состояния идеального газа в виде
mRT р RT
Р –-= –-дает
VM М
Поэтому градиент температуры может быть определён из соотношения
_ dT Mg dh R
Задача П.4.
Идеальный газ с молярной массой М находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно g. Найти давление газа как функцию высоты h, если при h—0 давление Р = Ро, а температура изменяется с высотой как а) Т = Т0 (1 -ah); б) Т= Т0 (1 +ah), где а – положительная постоянная.
Решение. Комбинируя соотношения dP = -рgdh и
Р – получаем дифференциальное уравнение для
VM м
определения зависимости Р от h:
Его решение с учётом начального условия Р = Р0 при h = 0 даёт для случая а)
для случая б)
Mg Mg
RTqci RTqci
Ответ: а) Р = Р${-аИ) ; б) Р = Р${ + аК)
Задача П.5.
При опытном определении числа Авогадро по методу Перрена было найдено, что при увеличении высоты наблюдаемого слоя жидкости на величину h = 13 мкм концентрация частичек гуммигута уменьшается вдвое. Определить радиус частичек, если температура опыта t=l°C, плотность гуммигута р = 1,2103кг/м3, плотность жидкости (слабый спиртовой раствор) pi = 0,9103кг/м3.
Анализ и решение. Мелкие частички, взвешенные в жидкости или газе, ведут себя подобно молекулам, поэтому изменение их концентрации с высотой подчиняется распределению Больцмана:
где п – концентрация на высоте h; Eh- потенциальная энергия на высоте h; п0- концентрация на высоте h = 0, принимаемой за начало отсчёта потенциальной энергии.
Потенциальная энергия одной частички на высоте h может быть записана как
где V– объём одной частички.
Подставляя в распределение Больцмана логарифм отношения п0
—, равного по условию задачи двум, и выражение для потенци-
п
альной энергии, получим
Рассматривая каждую частичку гуммигута как правильный шар искомого радиуса г, найдём г = 2,58 1(Г7м.
Ответ: г = 2,58 10″7м.
Задачи для самостоятельного решения
Задача С.1.
Полагая температуру воздуха и ускорение свободного падения не зависящими от высоты, определить на какой высоте h над уровнем моря плотность воздуха в г раз меньше своего значения на уровне моря. Температуру воздуха считать равной 0°С. rj = 2. Ответ: 5,533 103м.
Задача С.2.
Ротор центрифуги, заполненный родоном (молярная масса М= 222- 1(Г3кг/м3), вращается с частотой v = 50 с”1. Радиус г ротора равен 0,5 м. Определить давление газа Р на стенки ротора, если в центре давление равно атмосферному Р0. Температура всюду равна Т= 300 К.
Ответ: 303 кПа.
Задача С.З.
Самолёт летит на высоте h = 8300 м при температуре за бортом t = 0°С. В салоне самолёта устанавливается давление, соответствующее давлению на высоте h2 = 2700 м над уровнем моря. Температура в салоне t2 = 20°С. Во сколько раз плотность воздуха в салоне больше плотности за бортом? (Молярная масса воздуха М = 29Т О-3 кг/моль).
Ответ: 1,94.
Задача С.4.
Найти силу, действующую на частицу со стороны однородного поля, если концентрация этих частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на расстояние Ah = 3 см (вдоль поля), отличаются в г| раз. Температура системы Т = 280 К. ц = 2.
Ответ: 8,9 Ю“20Н.
Задача С.5.
Используя идею установки Перрена для определения постоянной Авогадро и применив к частицам краски, взвешенным в воде, больцмановское распределение, найдите объём частиц, если при расстоянии между двумя слоями 80 мкм число взвешенных частиц в одном слое вдвое больше, чем в другом. Плотность растворённой краски 1700 кг/м3, а температура окружающей среды 300 К. Плотность воды 1000 кг/м3.
Ответ: 5,22 10“21м3.
Источник
Задача по физике – 7049
Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом $V$. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объем $Delta V$. Сколько следует сделать циклов, чтобы давление в сосуде уменьшилось в $eta$ раз? Процесс считать изотермическим, газ — идеальным.
Подробнее
Задача по физике – 7050
Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки $t$. Объем сосуда $V$, первоначальное давление $p_{0}$. Процесс считать изотермическим и скорость откачки не зависящей от давления и равной $C$.
Примечание. Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.
Подробнее
Задача по физике – 7051
Камеру объемом $V = 87 л$ откачивают насосом, скорость откачки которого (см. примечание к задаче 7050) $C = 10 л/с$. Через сколько времени давление в камере уменьшится в $eta = 1000$ раз?
Подробнее
Задача по физике – 7052
В гладкой открытой с обоих концов вертикальной трубе имеющей два разных сечения (рис.), находятся два поршня, соединенные нерастяжимой нитью, а между поршнями — один моль идеального газа. Площадь сечения верхнего поршня на $Delta S = 10 см^{2}$ больше, чем нижнего. Общая масса поршней $m = 5,0 кг$. Давление наружного воздуха $p_{0} = 1,0 атм$. На сколько Кельвин надо нагреть газ между поршнями, чтобы они переместились на $l = 5,0 см$?
Подробнее
Задача по физике – 7053
Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом из нижеследующих процессов:
а) $p = p_{0} – alpha V^{2}$; б) $p = p_{0} e^{ – beta V}$,
где $p_{0}, alpha$ и $beta$ — положительные постоянные, $V$ — объем одного моля газа.
Подробнее
Задача по физике – 7054
Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону $T = T_{0} + alpha V^{2}$, где $T_{0}$ и $alpha$ — положительные постоянные, $V$ — объем ‘Одного моля газа. Изобразить примерный график этого процесса в параметрах $p, V$.
Подробнее
Задача по физике – 7055
Высокий цилиндрический сосуд с газообразным азотом находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Температура азота меняется по высоте так, что его плотность всюду одинакова. Найти градиент температуры $dT/dh$.
Подробнее
Задача по физике – 7056
Допустим, давление $p$ и плотность $rho$ воздуха связаны соотношением $p/ rho^{ n} = const$ независимо от высоты (здесь $n$ — постоянная). Найти соответствующий градиент температуры.
Подробнее
Задача по физике – 7057
Пусть на поверхности Земли воздух находится при нормальных условиях. Считая, что температура и молярная масса воздуха не зависят от высоты, найти его давление на высоте 5,0 км над поверхностью Земли и в шахте на глубине 5,0 км.
Подробнее
Задача по физике – 7058
Считая, что температура и молярная масса воздуха, а также ускорение свободного падения не зависят от высоты, найти разность высот, на которых плотности воздуха при температуре $0^{ circ} С$ отличаются:
а) в $e$ раз; б) на $eta = 1,0$%.
Подробнее
Задача по физике – 7059
Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в высоком вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь основания которого $S$ и высота $h$. Температура газа $T$, его давление на нижнее основание $p_{0}$. Считая, что температура и ускорение свободного падения $g$ не зависят от высоты, найти массу газа в сосуде.
Подробнее
Задача по физике – 7060
Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде в однородном поле тяжести, для которого ускорение свободного падения равно $g$. Считая температуру газа всюду одинаковой и равной $T$, найти высоту, на которой находится центр тяжести газа.
Подробнее
Задача по физике – 7061
Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Найти давление газа как функцию высоты $h$, если при $h = 0$ давление $p = p_{0}$, а температура изменяется с высотой как
а) $T = T_{0} (1 – ah)$; б) $T = T_{0} (1 + ah)$, где $a$ — положительная постоянная.
Подробнее
Задача по физике – 7062
Горизонтальный цилиндр, закрытый с одного конца, вращают с постоянной угловой скоростью $omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец цилиндра. Давление воздуха снаружи $p_{0}$, температура $T$, молярная масса воздуха $M$. Найти давление воздуха как функцию расстояния $r$ от оси вращения. Молярную массу считать не зависящей от $r$.
Подробнее
Задача по физике – 7063
Какому давлению необходимо подвергнуть углекислый газ при температуре $T = 300 К$, чтобы его плотность оказалась равной $rho = 500 г/л$? Расчет провести как для идеального газа, так и для ван-дер-ваальсовского.
Подробнее
Источник
Задача по физике – 7043
В сосуде объемом $V = 30 л$ содержится идеальный газ при температуре $0^{ circ} С$. После того, как часть газа была выпущена наружу, давление в сосуде понизилось на $Delta p = 0,78 атм$ (без изменения температуры). Найти массу выпущенного газа. Плотность данного газа при нормальных условиях $rho = 1,3 г/л$.
Подробнее
Задача по физике – 7044
Два одинаковых баллона соединены трубкой с клапаном, пропускающим газ из одного баллона в другой при разности давлений $Delta p geq 1,10 атм$. Сначала в одном баллоне был вакуум, а в другом — идеальный газ при температуре $t_{1} = 27^{ circ} С$ и давлении $p_{1} = 1,00 атм$. Затем оба баллона нагрели до температуры $t_{2} = 107^{ circ} С$. Каким стало давление газа в баллоне, где был вакуум?
Подробнее
Задача по физике – 7045
Сосуд объемом $V = 20 л$ содержит смесь водорода и гелия при температуре $t = 20^{ circ} С$ и давлении $p = 2,0 атм$. Масса смеси $m = 5,0 г$. Найти отношение массы водорода к массе гелия в данной смеси.
Подробнее
Задача по физике – 7046
В сосуде находится смесь $m_{1} = 7,0 г$ азота и $m_{2} = 11 г$ углекислого газа при температуре $T = 290 К$ и давлении $p_{0} = 1,0 атм$. Найти плотность этой смеси, считая газы идеальными.
Подробнее
Задача по физике – 7047
В баллоне объемом $V = 7,5 л$ при температуре $T = 300 К$ находится смесь идеальных газов: $nu_{1} = 0,10$ моля кислорода, $nu_{2} = 0,20$ моля азота и $nu_{3} = 0,30$ моля углекислого газа. Считая газы идеальными, найти:
а) давление смеси;
б) среднюю молярную массу $M$ данной смеси, которая входит в уравнение ее состояния $pV = (m/M) RT$, где $m$ — масса смеси.
Подробнее
Задача по физике – 7048
В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре находится легкоподвижный поршень, по обе стороны которого — по одному молю воздуха. В равновесном состоянии при температуре $T_{0} = 300 К$ объем верхней части цилиндра в $eta = 4,0$ раза больше объема нижней части. При какой температуре отношение этих объемов станет $eta^{ prime} = 3,0$?
Подробнее
Задача по физике – 7049
Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом $V$. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объем $Delta V$. Сколько следует сделать циклов, чтобы давление в сосуде уменьшилось в $eta$ раз? Процесс считать изотермическим, газ — идеальным.
Подробнее
Задача по физике – 7050
Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки $t$. Объем сосуда $V$, первоначальное давление $p_{0}$. Процесс считать изотермическим и скорость откачки не зависящей от давления и равной $C$.
Примечание. Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.
Подробнее
Задача по физике – 7051
Камеру объемом $V = 87 л$ откачивают насосом, скорость откачки которого (см. примечание к задаче 7050) $C = 10 л/с$. Через сколько времени давление в камере уменьшится в $eta = 1000$ раз?
Подробнее
Задача по физике – 7052
В гладкой открытой с обоих концов вертикальной трубе имеющей два разных сечения (рис.), находятся два поршня, соединенные нерастяжимой нитью, а между поршнями — один моль идеального газа. Площадь сечения верхнего поршня на $Delta S = 10 см^{2}$ больше, чем нижнего. Общая масса поршней $m = 5,0 кг$. Давление наружного воздуха $p_{0} = 1,0 атм$. На сколько Кельвин надо нагреть газ между поршнями, чтобы они переместились на $l = 5,0 см$?
Подробнее
Задача по физике – 7053
Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом из нижеследующих процессов:
а) $p = p_{0} – alpha V^{2}$; б) $p = p_{0} e^{ – beta V}$,
где $p_{0}, alpha$ и $beta$ — положительные постоянные, $V$ — объем одного моля газа.
Подробнее
Задача по физике – 7054
Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону $T = T_{0} + alpha V^{2}$, где $T_{0}$ и $alpha$ — положительные постоянные, $V$ — объем ‘Одного моля газа. Изобразить примерный график этого процесса в параметрах $p, V$.
Подробнее
Задача по физике – 7055
Высокий цилиндрический сосуд с газообразным азотом находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Температура азота меняется по высоте так, что его плотность всюду одинакова. Найти градиент температуры $dT/dh$.
Подробнее
Задача по физике – 7056
Допустим, давление $p$ и плотность $rho$ воздуха связаны соотношением $p/ rho^{ n} = const$ независимо от высоты (здесь $n$ — постоянная). Найти соответствующий градиент температуры.
Подробнее
Задача по физике – 7057
Пусть на поверхности Земли воздух находится при нормальных условиях. Считая, что температура и молярная масса воздуха не зависят от высоты, найти его давление на высоте 5,0 км над поверхностью Земли и в шахте на глубине 5,0 км.
Подробнее
Источник