Высокий цилиндрический сосуд с идеальным газом
Задание №1. В сосуде объемом л содержится идеальный газ при температуре 0 0С. После того как часть газа была выпущена наружу давление понизилось на атм. (без изменения температуры). Найти массу выпущенного газа. Плотность данного газа при нормальных условиях г/л.
Решение:
Рис. 1.
По условию задачи процесс происходит при постоянной температуре и с неизменным объемом: , .
Однако масса газа, после того как он был выпущен из сосуда уменьшается на , а, следовательно, и падает давление в сосуде на , которое известно по условию.
Так как рассматриваемый газ можно считать идеальным, то для его начального состояния и конечного состояния (после того как газ был выпущен) можно записать соответствующие уравнения идеального газа.
Для начального состояния:
(1)
Для конечного состояния:
(2)
где Па – давление газа при нормальных условиях равное атмосферному.
Перенесем в уравнениях (1) и (2) неизменные величины в правую часть, а изменяющиеся в левую часть:
(3)
(4)
Так как правые части (3) и (4) равны, то должны быть равны и левые части:
(5)
Из соотношения (5) находим :
(6)
(7)
(8)
где массу газа в начальном состоянии, которое имело место при нормальных условиях можно представить в виде:
(9)
Подставляя (9) в (8) получаем окончательный результат:
(10)
г.
Ответ:
Задание №2. Уравнения процессов имеют вид: 1) ; 2) , где – положительные постоянные, – объем моля газа. Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом указанном процессе.
Решение:
Перейдем в заданных уравнениях процессов от давления к температуре с помощью уравнения состояния идеального газа для одного моля, в соответствие с требованием задачи.
(1)
Подставим (1) в уравнения процессов, выражая температуру как функцию от объема:
(2)
(3)
Чтобы получить экстремальное (максимальное) значение какой либо функции, необходимо найти её производную по имеющемуся аргументу и приравнять к нулю. Из полученного уравнения определить соответствующее значение аргумента и подставить его в выражение для функции. В нашем случае температура является функцией, а объем ее аргументом. Поэтому возьмем от (2) и (3) производную по :
(4)
(5)
Корнями уравнений (4) и (5) являются следующие значения объема:
(6)
(7)
Подставляя (6) и (7) в (2) и (3) соответственно, получаем:
(8)
(9)
Ответ: 1) ; 2) .
Задание №3. Высокий цилиндрический сосуд с азотом находится в однородном поле тяжести Земли. Температура азота меняется так, что его плотность повсюду одинакова. Найти градиент температуры .
Решение:
Рис. 3.
Рассмотрим бесконечно тонкий слой азота, толщиной , параллельный основанию цилиндрического сосуда. Его масса:
(1)
В однородном поле силы тяжести на него действует сила:
(2)
С другой стороны рассматриваемый слой создает давление , которому соответствует сила (она равна по модулю силе тяжести):
(3)
(4)
Подставляя в (3) соотношения (1), (2), (4), получаем:
(5)
Знак минус в (5) указывает, что давление убывает с ростом высоты.
В соответствии с уравнением состояния идеального газа:
(6)
Так как по условию плотность – постоянная величина, то бесконечно малое изменение давления приводит согласно (6) к бесконечно малому изменению температуры:
(7)
Подставляя (7) в (5), получаем:
(8)
Из соотношения (8), находим градиент температуры:
(9)
Ответ: .
Источник
Задача по физике – 7049
Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом $V$. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объем $Delta V$. Сколько следует сделать циклов, чтобы давление в сосуде уменьшилось в $eta$ раз? Процесс считать изотермическим, газ – идеальным.
Подробнее
Задача по физике – 7050
Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки $t$. Объем сосуда $V$, первоначальное давление $p_{0}$. Процесс считать изотермическим и скорость откачки не зависящей от давления и равной $C$.
Примечание. Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.
Подробнее
Задача по физике – 7051
Камеру объемом $V = 87 л$ откачивают насосом, скорость откачки которого (см. примечание к задаче 7050) $C = 10 л/с$. Через сколько времени давление в камере уменьшится в $eta = 1000$ раз?
Подробнее
Задача по физике – 7052
В гладкой открытой с обоих концов вертикальной трубе имеющей два разных сечения (рис.), находятся два поршня, соединенные нерастяжимой нитью, а между поршнями – один моль идеального газа. Площадь сечения верхнего поршня на $Delta S = 10 см^{2}$ больше, чем нижнего. Общая масса поршней $m = 5,0 кг$. Давление наружного воздуха $p_{0} = 1,0 атм$. На сколько Кельвин надо нагреть газ между поршнями, чтобы они переместились на $l = 5,0 см$?
Подробнее
Задача по физике – 7053
Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом из нижеследующих процессов:
а) $p = p_{0} – alpha V^{2}$; б) $p = p_{0} e^{ – beta V}$,
где $p_{0}, alpha$ и $beta$ – положительные постоянные, $V$ – объем одного моля газа.
Подробнее
Задача по физике – 7054
Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону $T = T_{0} + alpha V^{2}$, где $T_{0}$ и $alpha$ – положительные постоянные, $V$ – объем ‘Одного моля газа. Изобразить примерный график этого процесса в параметрах $p, V$.
Подробнее
Задача по физике – 7055
Высокий цилиндрический сосуд с газообразным азотом находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Температура азота меняется по высоте так, что его плотность всюду одинакова. Найти градиент температуры $dT/dh$.
Подробнее
Задача по физике – 7056
Допустим, давление $p$ и плотность $rho$ воздуха связаны соотношением $p/ rho^{ n} = const$ независимо от высоты (здесь $n$ – постоянная). Найти соответствующий градиент температуры.
Подробнее
Задача по физике – 7057
Пусть на поверхности Земли воздух находится при нормальных условиях. Считая, что температура и молярная масса воздуха не зависят от высоты, найти его давление на высоте 5,0 км над поверхностью Земли и в шахте на глубине 5,0 км.
Подробнее
Задача по физике – 7058
Считая, что температура и молярная масса воздуха, а также ускорение свободного падения не зависят от высоты, найти разность высот, на которых плотности воздуха при температуре $0^{ circ} С$ отличаются:
а) в $e$ раз; б) на $eta = 1,0$%.
Подробнее
Задача по физике – 7059
Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в высоком вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь основания которого $S$ и высота $h$. Температура газа $T$, его давление на нижнее основание $p_{0}$. Считая, что температура и ускорение свободного падения $g$ не зависят от высоты, найти массу газа в сосуде.
Подробнее
Задача по физике – 7060
Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде в однородном поле тяжести, для которого ускорение свободного падения равно $g$. Считая температуру газа всюду одинаковой и равной $T$, найти высоту, на которой находится центр тяжести газа.
Подробнее
Задача по физике – 7061
Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Найти давление газа как функцию высоты $h$, если при $h = 0$ давление $p = p_{0}$, а температура изменяется с высотой как
а) $T = T_{0} (1 – ah)$; б) $T = T_{0} (1 + ah)$, где $a$ – положительная постоянная.
Подробнее
Задача по физике – 7062
Горизонтальный цилиндр, закрытый с одного конца, вращают с постоянной угловой скоростью $omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец цилиндра. Давление воздуха снаружи $p_{0}$, температура $T$, молярная масса воздуха $M$. Найти давление воздуха как функцию расстояния $r$ от оси вращения. Молярную массу считать не зависящей от $r$.
Подробнее
Задача по физике – 7063
Какому давлению необходимо подвергнуть углекислый газ при температуре $T = 300 К$, чтобы его плотность оказалась равной $rho = 500 г/л$? Расчет провести как для идеального газа, так и для ван-дер-ваальсовского.
Подробнее
Источник