Высокий цилиндрический сосуд с идеальным газом находится
2017-10-05 
Расположенный горизонтально цилиндрический сосуд, заполненный идеальным газом, разделен поршнем, который может двигаться без трения. В равновесии поршень находится посредине цилиндра. При малых смещениях из положения равновесия поршень совершает колебания. Найти зависимость частоты этих колебаний от температуры, считая процесс изотермическим.
Решение:
В положении равновесия давление $p$ на поршень слева и справа одинаково. Поскольку объем газа слева и справа одинаков, а температура $T$ постоянна, из уравнения Менделеева — Клапейрона
$pV = nu RT$ (1)
следует, что количество газа $nu$ одинаково по обе стороны от поршня. Отметим, что химический состав газов может быть различным.
рис.1
Пусть поршень сместился из положения равновесия, например влево, на малую величину $x$, так что $Sx ll V$, где $S$ — площадь поршня (рис. 1). Поскольку температура по условию не меняется, то
$(p + Delta p_{1})(V – Sx) = (p – Delta p_{2}) (V + Sx)$.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
$( Delta p_{1} + Delta p_{2}) V – ( Delta p_{1} – Delta p_{2}) Sx = 2pSx$.
Второе слагаемое слева много меньше первого не только потому, что $Sx ll V$, но и вследствие того, что множителем при $V$ стоит сумма двух близких величин $Delta p_{1}$ и $Delta p_{2}$, а множителем при $Sx$ — их разность. Пренебрегая вторым слагаемым, получаем
$Delta p_{1} + Delta p_{2} = frac{2pS}{V} x$.
Результирующая сила, действующая на поршень, равна
$F = – frac{2pS^{2}}{V} x$.
Знак минус означает, что сила направлена в сторону, противоположную направлению смещения поршня, т. е. к положению равновесия. Под действием силы, пропорциональной смещению, поршень массой $M$ будет совершать гармонические колебания с частотой $omega$, определяемой соотношением
$omega^{2} = 2pS^{2}/VM$. (2)
При решении задачи мы молчаливо предполагали, что масса газа много меньше массы поршня, так что кинетической энергией макроскопического движения газа при колебаниях поршня можно пренебречь но сравнению с кинетической энергией поршня. Подумайте, где использовано это условие.
Выразив $p$ из уравнения Менделеева — Клапейрона (1), получим
$omega^{2} = frac{2 nu RS^{2}}{MV^{2}} T$. (3)
Таким образом, частота колебаний поршня пропорциональна $sqrt{T}$, ибо коэффициент при $T$ в формуле (3) не зависит от температуры, если пренебречь тепловым расширением сосуда.
Подумайте теперь, какие условия должны выполняться, чтобы процесс действительно был изотермическим. Для того чтобы температура газа в процессе колебаний не изменялась, необходим хороший тепловой контакт с большим тепловым резервуаром — термостатом, имеющим постоянную температуру. Что значит хороший тепловой контакт? Это значит, что время установления термодинамического равновесия между газом в сосуде и термостатом должно быть много меньше периода колебаний поршня. Тогда можно считать, что газ в каждый момент имеет ту же температуру, что и термостат. Если, наоборот, период колебаний окажется много меньше времени установления термодинамического равновесия между газом и термостатом, то можно считать, что колебания поршня происходят практически без обмена теплотой с термостатом. В этом случае процесс можно считать адиабатическим, несмотря на отсутствие тепловой изоляции сосуда с поршнем. Оказывается, что зависимость частоты колебаний от температуры при этом будет такой же, как и в изотермическом случае, только коэффициент в формуле (3) умножится на число, большее единицы. Увеличение частоты колебаний при адиабатическом процессе можно объяснить, сравнивая $p-V$ – диаграммы изотермического и адиабатического процессов идеального газа.
Отметим, что приведенное решение в обоих случаях имеет смысл, только если время установления теплового равновесия в самом газе много меньше периода колебаний поршня, так как в противном случае вообще теряют смысл такие равновесные макроскопические характеристики газа, как давление и температура. Другими словами, по отношению к самому газу процесс должен быть квазистатическим.
Источник
Задача по физике – 7058
Считая, что температура и молярная масса воздуха, а также ускорение свободного падения не зависят от высоты, найти разность высот, на которых плотности воздуха при температуре $0^{ circ} С$ отличаются:
а) в $e$ раз; б) на $eta = 1,0$%.
Подробнее
Задача по физике – 7059
Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в высоком вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь основания которого $S$ и высота $h$. Температура газа $T$, его давление на нижнее основание $p_{0}$. Считая, что температура и ускорение свободного падения $g$ не зависят от высоты, найти массу газа в сосуде.
Подробнее
Задача по физике – 7060
Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде в однородном поле тяжести, для которого ускорение свободного падения равно $g$. Считая температуру газа всюду одинаковой и равной $T$, найти высоту, на которой находится центр тяжести газа.
Подробнее
Задача по физике – 7061
Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Найти давление газа как функцию высоты $h$, если при $h = 0$ давление $p = p_{0}$, а температура изменяется с высотой как
а) $T = T_{0} (1 – ah)$; б) $T = T_{0} (1 + ah)$, где $a$ — положительная постоянная.
Подробнее
Задача по физике – 7062
Горизонтальный цилиндр, закрытый с одного конца, вращают с постоянной угловой скоростью $omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец цилиндра. Давление воздуха снаружи $p_{0}$, температура $T$, молярная масса воздуха $M$. Найти давление воздуха как функцию расстояния $r$ от оси вращения. Молярную массу считать не зависящей от $r$.
Подробнее
Задача по физике – 7063
Какому давлению необходимо подвергнуть углекислый газ при температуре $T = 300 К$, чтобы его плотность оказалась равной $rho = 500 г/л$? Расчет провести как для идеального газа, так и для ван-дер-ваальсовского.
Подробнее
Задача по физике – 7064
Один моль азота находится в сосуде объемом $V = 1,00 л$. Найти:
а) температуру азота, при которой ошибка в давлении, определяемом уравнением состояния идеального газа, составляет $eta = 10$% (по сравнению с давлением согласно уравнению Ван-дер-Ваальса);
б) давление газа при этой температуре.
Подробнее
Задача по физике – 7065
Один моль некоторого газа находится в сосуде объемом $V = 0,250 л$. При температуре $T_{1} = 300 К$ давление газа $p_{1} = 90 атм$, а при $T_{2} = 350 К$ давление $p_{2} = 110 атм$. Найти постоянные Ван-дер-Ваальса для этого газа.
Подробнее
Задача по физике – 7066
Найти коэффициент изотермической сжимаемости $xi$ ван-дер-ваальсовского газа как функцию объема $V$ при температуре $T$.
Примечание. По определению, $xi = – frac{1}{V} frac{ partial V}{ partial p}$.
Подробнее
Задача по физике – 7067
Воспользовавшись результатом решения предыдущей, задачи, найти, при какой температуре коэффициент изотермической сжимаемости $xi$ ван-дер-ваальсовского газа больше, чем у идеального. Рассмотреть случай, когда молярный объем значительно больше поправки $b$.
Подробнее
Задача по физике – 7068
Показать, что внутренняя энергия $U$ воздуха в комнате не зависит от температуры, если наружное давление $p$ постоянно. Вычислить $U$, если $p$ равно нормальному атмосферному давлению и объем комнаты $V = 40 м^{3}$.
Подробнее
Задача по физике – 7069
Теплоизолированный сосуд с газом, молярная масса которого $M$ и $C_{p}/C_{V} = gamma$, движется со скоростью $v$. Найти приращение температуры газа при внезапной остановке сосуда.
Подробнее
Задача по физике – 7070
Два теплоизолированных баллона 1 и 2 наполнены воздухом и соединены короткой трубкой с краном. Известны объемы баллонов, а также давление и температура воздуха в них ($V_{1}, p_{1}, T_{1}$ и $V_{2}, p_{2}, T_{2}$). Найти температуру и давление воздуха, которые установятся после открытия крана.
Подробнее
Задача по физике – 7071
Газообразный водород, находившийся при нормальных условиях в закрытом сосуде объемом $V = 5,0 л$, охладили на $Delta T = 55 К$. Найти приращение внутренней энергии газа и количество отданного им тепла.
Подробнее
Задача по физике – 7072
Какое количество тепла необходимо сообщить азоту при его изобарическом нагревании, чтобы газ совершил работу $A = 2,0 Дж$?
Подробнее
Источник
‘
Всего: 125 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–125
Добавить в вариант
Задание 23 № 1047
Идеальный одноатомный газ, начальный объем которого V1 = 1 м3, а количество вещества остается постоянным, находится под давлением p1. Газ нагревают сначала изобарно до объема V2 = 3 м3, а затем продолжают нагревание при постоянном объеме до давления p2 = 5 · 105. Если количество теплоты, полученное газом при переходе из начального состояния в конечное, Q = 2,35 МДж, то его давление p1 в начальном состоянии равно … кПа.
Задание 23 № 1107
Идеальный одноатомный газ, начальный объем которого V1, а количество вещества остается постоянным, находится под давлением p1 = 7 · 105 Па. Газ охлаждают сначала изобарно до объема V2 = 2 м3, а затем продолжают охлаждение при постоянном объеме до давления p2 = 2 · 105. Если при переходе из начального состояния в конечное газ отдает количество теплоты Q = 5 МДж, то его объем V1 в начальном состоянии равен … м3.
Задание 9 № 9
В закрытом баллоне находится ν = 2,00 моль идеального одноатомного газа. Если газу сообщили количество теплоты Q = 18,0 кДж и его давление увеличилось в k = 3,00 раза, то начальная температура Т1 газа была равна:
1) 280 К
2) 296 К
3) 339 К
4) 361 К
5) 394 К
Задание 25 № 1139
В вертикальном цилиндрическом сосуде, закрытом снизу легкоподвижным поршнем массой m = 10 кг и площадью поперечного сечения S = 40 см2, содержится идеальный одноатомный газ. Сосуд находится в воздухе, атмосферное давление которого р0 = 100 кПа. Если при изобарном нагревании газу сообщить количество теплоты Q = 225 Дж, то поршень переместится на расстояние |Δh|, равное … см.
Задание 25 № 1169
В вертикальном цилиндрическом сосуде, закрытом снизу легкоподвижным поршнем массой m = 10 кг и площадью поперечного сечения S = 40 см2, содержится идеальный одноатомный газ. Сосуд находится в воздухе, атмосферное давление которого р0 = 100 кПа. Если при изобарном нагревании газа поршень переместился на расстояние |Δh| = 12 см, то количество теплоты Q, сообщённое газу, равно … Дж.
Задание 25 № 1199
В вертикальном цилиндрическом сосуде, закрытом снизу легкоподвижным поршнем массой m = 10 кг и площадью поперечного сечения S = 40 см2, содержится идеальный одноатомный газ. Сосуд находится в воздухе, атмосферное давление которого р0 = 100 кПа. Если при изобарном нагревании газа поршень переместился на расстояние |Δh| = 10 см, то количество теплоты Q, сообщённое газу, равно … Дж.
Задание 25 № 1472
В тепловом двигателе рабочим телом является одноатомный идеальный газ, количество вещества которого постоянно. Газ совершил цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. При этом максимальное давление газа было в три раза больше минимального, а максимальный объём газа — в два раза больше минимального. Коэффициент полезного действия цикла равен … %.
Задание 7 № 7
Идеальный газ массой m = 6,0 кг находится в баллоне вместимостью V = 5,0 м3. Если средняя квадратичная скорость молекул газа = 700 м/c, то его давление p на стенки баллона равно:
1) 0,2 МПа
2) 0,4 МПа
3) 0,6 МПа
4) 0,8 МПа
5) 1,0 МПа
Задание 25 № 25
Два моля идеального одноатомного газа перевели из состояния 1 в состояние 3 (см. рис.), сообщив ему количество теплоты Q = 5,30 кДж. Если при изобарном расширении на участке 1 → 2 температура газа изменилась на ΔT = 120 К, то на участке 2 → 3 при изотермическом расширении газ совершил работу A, равную … Дж.
Задание 25 № 265
Цилиндрический сосуд с идеальным одноатомным газом, закрытый невесомым легкоподвижным поршнем с площадью поперечного сечения S = 240 см2, находится в воздухе, давление которого p0 = 100 кПа. Если при медленном нагревании газа поршень сместился на расстояние l = 70,0 мм, то газу сообщили количество теплоты Q, равное … Дж.
Задание 25 № 325
Цилиндрический сосуд с идеальным одноатомным газом, закрытый невесомым легкоподвижным поршнем с площадью поперечного сечения S = 160 см2, находится в воздухе, давление которого p0 = 100 кПа. Если газу медленно сообщить количество теплоты Q = 840 Дж, то поршень сместится на расстояние l, равное … мм.
Задание 25 № 385
Цилиндрический сосуд с идеальным одноатомным газом, закрытый невесомым легкоподвижным поршнем с площадью поперечного сечения S = 200 см2, находится в воздухе, давление которого p0 = 100 кПа. Если при медленном нагревании газа поршень сместился на расстояние l = 80,0 мм, то газу сообщили количество теплоты Q, равное … Дж.
Задание 25 № 415
Цилиндрический сосуд с идеальным одноатомным газом, закрытый невесомым легкоподвижным поршнем с площадью поперечного сечения S = 165 см2, находится в воздухе, давление которого p0 = 100 кПа. Когда газу медленно сообщили некоторое количество теплоты, его внутренняя энергия увеличилась на ΔU = 0,42 кДж, а поршень сместился на расстояние l, равное … см.
Задание 25 № 475
Цилиндрический сосуд с идеальным одноатомным газом, закрытый невесомым легкоподвижным поршнем с площадью поперечного сечения S = 200 см2, находится в воздухе, давление которого p0 = 100 кПа. Когда газу медленно сообщили некоторое количество теплоты, его внутренняя энергия увеличилась на ΔU = 600 Дж, а поршень сместился на расстояние l, равное … мм.
Задание 27 № 537
В электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R, а внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало. Если до замыкания ключа K идеальный амперметр показывал силу тока I1 = 15 мА, то после замыкания ключа K амперметр покажет силу тока I2, равную … мА.
Задание 27 № 567
В электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R, а внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало. Если после замыкания ключа K идеальный амперметр показывал силу тока I2 = 64 мА, то до замыкания ключа K амперметр показывал силу тока I1, равную … мА.
Задание 8 № 612
Идеальный газ находился при температуре t1 = 27oС. Если газ изохорно нагрели до температуры t2 = 57oС, то его давление увеличилось в:
1) 2,1 раза
2) 1,9 раза
3) 1,6 раза
4) 1,4 раза
5) 1,1 раза
Задание 27 № 661
В электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R, а внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало. Если до замыкания ключа K идеальный амперметр показывал силу тока I1 = 12 мА, то после замыкания ключа K амперметр покажет силу тока I2, равную … мА.
Задание 27 № 721
В электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R, а внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало. Если после замыкания ключа K идеальный амперметр показывал силу тока I2 = 98 мА, то до замыкания ключа K амперметр показывал силу тока I1, равную … мА.
Задание 27 № 751
В электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R, а внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало. Если после замыкания ключа K идеальный амперметр показывал силу тока I2 = 42 мА, то до замыкания ключа K амперметр показывал силу тока I1, равную … мА.
Всего: 125 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–125
Источник
Задача по физике – 7049
Поршневым воздушным насосом откачивают сосуд объемом $V$. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объем $Delta V$. Сколько следует сделать циклов, чтобы давление в сосуде уменьшилось в $eta$ раз? Процесс считать изотермическим, газ — идеальным.
Подробнее
Задача по физике – 7050
Найти давление воздуха в откачиваемом сосуде как функцию времени откачки $t$. Объем сосуда $V$, первоначальное давление $p_{0}$. Процесс считать изотермическим и скорость откачки не зависящей от давления и равной $C$.
Примечание. Скоростью откачки называют объем газа, откачиваемый за единицу времени, причем этот объем измеряется при давлении газа в данный момент.
Подробнее
Задача по физике – 7051
Камеру объемом $V = 87 л$ откачивают насосом, скорость откачки которого (см. примечание к задаче 7050) $C = 10 л/с$. Через сколько времени давление в камере уменьшится в $eta = 1000$ раз?
Подробнее
Задача по физике – 7052
В гладкой открытой с обоих концов вертикальной трубе имеющей два разных сечения (рис.), находятся два поршня, соединенные нерастяжимой нитью, а между поршнями — один моль идеального газа. Площадь сечения верхнего поршня на $Delta S = 10 см^{2}$ больше, чем нижнего. Общая масса поршней $m = 5,0 кг$. Давление наружного воздуха $p_{0} = 1,0 атм$. На сколько Кельвин надо нагреть газ между поршнями, чтобы они переместились на $l = 5,0 см$?
Подробнее
Задача по физике – 7053
Найти максимально возможную температуру идеального газа в каждом из нижеследующих процессов:
а) $p = p_{0} – alpha V^{2}$; б) $p = p_{0} e^{ – beta V}$,
где $p_{0}, alpha$ и $beta$ — положительные постоянные, $V$ — объем одного моля газа.
Подробнее
Задача по физике – 7054
Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, происходящем по закону $T = T_{0} + alpha V^{2}$, где $T_{0}$ и $alpha$ — положительные постоянные, $V$ — объем ‘Одного моля газа. Изобразить примерный график этого процесса в параметрах $p, V$.
Подробнее
Задача по физике – 7055
Высокий цилиндрический сосуд с газообразным азотом находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Температура азота меняется по высоте так, что его плотность всюду одинакова. Найти градиент температуры $dT/dh$.
Подробнее
Задача по физике – 7056
Допустим, давление $p$ и плотность $rho$ воздуха связаны соотношением $p/ rho^{ n} = const$ независимо от высоты (здесь $n$ — постоянная). Найти соответствующий градиент температуры.
Подробнее
Задача по физике – 7057
Пусть на поверхности Земли воздух находится при нормальных условиях. Считая, что температура и молярная масса воздуха не зависят от высоты, найти его давление на высоте 5,0 км над поверхностью Земли и в шахте на глубине 5,0 км.
Подробнее
Задача по физике – 7058
Считая, что температура и молярная масса воздуха, а также ускорение свободного падения не зависят от высоты, найти разность высот, на которых плотности воздуха при температуре $0^{ circ} С$ отличаются:
а) в $e$ раз; б) на $eta = 1,0$%.
Подробнее
Задача по физике – 7059
Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в высоком вертикальном цилиндрическом сосуде, площадь основания которого $S$ и высота $h$. Температура газа $T$, его давление на нижнее основание $p_{0}$. Считая, что температура и ускорение свободного падения $g$ не зависят от высоты, найти массу газа в сосуде.
Подробнее
Задача по физике – 7060
Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде в однородном поле тяжести, для которого ускорение свободного падения равно $g$. Считая температуру газа всюду одинаковой и равной $T$, найти высоту, на которой находится центр тяжести газа.
Подробнее
Задача по физике – 7061
Идеальный газ с молярной массой $M$ находится в однородном поле тяжести, ускорение свободного падения в котором равно $g$. Найти давление газа как функцию высоты $h$, если при $h = 0$ давление $p = p_{0}$, а температура изменяется с высотой как
а) $T = T_{0} (1 – ah)$; б) $T = T_{0} (1 + ah)$, где $a$ — положительная постоянная.
Подробнее
Задача по физике – 7062
Горизонтальный цилиндр, закрытый с одного конца, вращают с постоянной угловой скоростью $omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через открытый конец цилиндра. Давление воздуха снаружи $p_{0}$, температура $T$, молярная масса воздуха $M$. Найти давление воздуха как функцию расстояния $r$ от оси вращения. Молярную массу считать не зависящей от $r$.
Подробнее
Задача по физике – 7063
Какому давлению необходимо подвергнуть углекислый газ при температуре $T = 300 К$, чтобы его плотность оказалась равной $rho = 500 г/л$? Расчет провести как для идеального газа, так и для ван-дер-ваальсовского.
Подробнее
Источник