Высота цилиндрического сосуда формула

Решение №1
- Давайте посчитаем объём жидкости в первом сосуде: (V = pi r^2 times 16)
- Посчитаем тот же объём во втором сосуде, предположив, что там вода поднялась на h: (V=pi left(2rright)^2times h=4pi r^2times h)
- Так как переливали один и тот же объём воды, объёмы, вычисленные выше в обоих сосудах, равны. То есть:
(begin{eqnarray} pi r^2times 16 &=& 4pi r^2times h \ 16 &=& 4h \ h &=& 4 end{eqnarray})
Таким образом, высота воды во втором сосуде равна 4 см.
Решение №2
Объем цилиндрического сосуда выражается через его диаметр и высоту как:
(V=Hfrac{pi d^2}{4})
При увеличении диаметра сосуда в 2 раза высота равного объёма жидкости уменьшится в 4 раза и станет равна 4.
Ответ: 4
ЕГЭ-Центр «Пять с плюсом» основан в 2008 году. С основания и по настоящий момент Центр возглавляет Елизавета Владимировна Глазова, мать пятерых детей, профессиональный педагог и преподаватель русского языка и литературы.
Запрос успешно отправлен. В ближайшее время расширенный доступ будет предоставлен.
– Oбразование как Стиль Жизни
Присылайте свои колонки
и предложения
У вас есть интересная новость
или материал из сферы образования
или популярной науки?
Расскажите нам!
© 2014-2021 Newtonew. 12+
Просветительский медиа-проект об образовании,
посвящённый самым актуальным и полезным
концепциям, теориям и методикам, технологиям
и исследованиям, продуктам и сервисам. Мы
говорим о том, как развиваются и изменяются
образование и наука.
Копирование материалов возможно только
с разрешения редакции Newtonew.
Мы используем файлы cookie для улучшения пользовательского опыта. Подробнее вы можете посмотреть в нашем пользовательском соглашении.
Авторизация на сайте
Вход через соц.сети:
Напомнить пароль
Введите email, на который вы зарегистрированы:
назад
Пароль выслан
Мы выслали ваш пароль для входа в систему на указанный email.
Не забывайте о том, что вы можете авторизоваться в системе через социальные сети. Если при регистрации в соц.сетях вы указывали тот же email что и на нашем сайте, то после авторизации вы попадете в свой профиль.
Вход через соц.сети:
Подтвердите регистрацию
На указанный e-mail было отправлено письмо со ссылкой. Пожалуйста, перейдите по ссылке для подтверждения.
Вход через соц.сети:
Регистрация подтверждена
Вы успешно зарегистрировались
Источник
Закон Торричелли
Итальянский ученый Эванджелиста Торричелли, изучавший движение жидкостей,
в (1643) году экспериментально обнаружил, что скорость вытекания жидкости через малое отверстие на дне открытого сосуда (рисунок (1)) описывается формулой:
[v = sqrt {2gh} ,]
где (h) − высота уровня жидкости над отверстием, (g) − гравитационная постоянная.
Рис.1 | Рис.2 |
Такая же формула описывает скорость тела, свободного падающего с высоты (h) в поле тяжести Земли в вакууме.
В действительности, найденная формула не совсем точна. В более точном приближении скорость жидкости зависит от формы и размера отверстия, от вязкости жидкости и режима течения. Поэтому,
формула Торричелли часто записывается с дополнительным множителем (varphi:)
[v = varphisqrt {2gh} ,]
где коэффициент (varphi) близок к (1.) Значения параметра (varphi) для отверстий различной формы и размера можно найти в гидравлических справочниках.
Вытекание жидкости из тонкой трубки
Вытекание жидкости из тонкой длинной трубки (рисунок (2)) имеет ряд особенностей. Здесь важную роль играют капиллярные эффекты, обусловленные
поверхностным натяжением и смачиванием вследствие контакта со стенками трубки.
Скорость вытекания жидкости из капиллярных трубок приблизительно пропорциональна высоте столба жидкости над отверстием, то есть
[v = kh,]
где (k) − некоторая константа, зависящая от вязкости жидкости, геометрии и материала трубки.
Далее мы будем описывать вытекание жидкости с помощью дифференциальных уравнений из сосудов обоих типов (широкого и тонкого).
Дифференциальное уравнение вытекания жидкости
Данное дифференциальное уравнение можно вывести, рассматривая баланс жидкости в сосуде. Возьмем, например, цилиндрический сосуд с широким основанием, радиус
которого равен (R.) Предположим, что жидкость вытекает через малое отверстие радиуса (a) на дне сосуда (рисунок (3)).
Скорость жидкости описывается формулой Торричелли:
[v = sqrt {2gz} ,]
где (z) − высота жидкости над отверстием. Тогда поток жидкости определяется выражением:
[q = – pi {a^2}sqrt {2gz} .]
Здесь (pi {a^2}) соответствует площади отверстия, через которое вытекает жидкость, а знак “минус” означает,
что уровень жидкости уменьшается по мере ее вытекания из резервуара.
Уравнение баланса жидкости в резервуаре описывается следующим образом:
[frac{{dV}}{{dt}} = q.]
Поскольку изменение объема (dV) можно выразить как
[dV = Sleft( z right)dz,]
то мы получаем дифференциальное уравнение
[frac{{Sleft( z right)dz}}{{dt}} = qleft( z right).]
Подставим функцию (qleft( z right)) в это уравнение:
[frac{{Sleft( z right)dz}}{{dt}} = – pi {a^2}sqrt {2gz} .]
Поперечное сечение ({Sleft( z right)}) цилиндрического сосуда не зависит от высоты (z) и равно
[Sleft( z right) = pi {R^2},]
где (R) − радиус основания цилиндра. Тогда
[require{cancel}
cancel{pi} {R^2}frac{{dz}}{{dt}} = – cancel{pi} {a^2}sqrt {2gz} .
]
В результате получаем уравнение с разделяющимися переменными:
[frac{{dz}}{{sqrt z }} = – frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} dt.]
Теперь проинтегрируем полученное уравнение, считая, что начальный уровень жидкости составляет (H,) и за время (T) он уменьшается до (0:)
[
{intlimits_H^0 {frac{{dz}}{{sqrt z }}} = – intlimits_0^T {frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} dt} ,};;
{Rightarrow 2left[ {left. {left( {sqrt z } right)} right|_H^0} right] = – frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} left[ {left. {left( t right)} right|_0^T} right],};;
{Rightarrow 2sqrt H = frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} T,};;
{Rightarrow sqrt {2H} = frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}sqrt g T.}
]
Отсюда следует выражение для полного времени вытекания жидкости (T:)
[T = frac{{{R^2}}}{{{a^2}}}sqrt {frac{{2H}}{g}} .]
Интересно, что в предельном случае (a = R) (когда площади отверстия и самого цилиндра равны), полученная
формула преобразуется в известную формулу (T = sqrt {largefrac{{2H}}{g}normalsize}, )
которая определяет время падения материального тела с высоты (H.) Зависимость времени (T) от высоты (H) схематически показана на рисунке (4.)
Аналогично можно описать вытекание жидкости и из сосуда другой формы.
Вывести дифференциальное уравнение вытекания жидкости из конического сосуда и определить полное время вытекания (T.)
Радиус верхнего основания конического сосуда равен (R,) а радиус нижнего основания (a.) Начальная уровень жидкости составляет (H) (рисунок (5)).
Рис.5 | Рис.6 |
Изменение уровня жидкости на высоте (z) описывается дифференциальным уравнением
[Sleft( z right)frac{{dz}}{{dt}} = qleft( z right),]
где (Sleft( z right)) − площадь поперечного сечения сосуда на высоте (z,) а (qleft( z right)) − поток жидкости, зависящий от высоты (z.)
Принимая во внимание геометрию сосуда, можно предположить, что закон Торричелли выполняется. Поэтому, можно записать:
[qleft( z right) = – pi {a^2}sqrt {2gz} ,]
где (a) − радиус отверстия на дне конического сосуда. Учитывая, что отверстие достаточно малое, осевое сечение можно рассматривать как треугольник
(рисунок (6) выше). Из подобия треугольников следует, что
[frac{R}{H} = frac{r}{z}.]
Следовательно, площадь поверхности жидкости на высоте (z) будет равна
[
{Sleft( z right) = pi {r^2} }
= {pi {left( {frac{{Rz}}{H}} right)^2} }
= {frac{{pi {R^2}{z^2}}}{{{H^2}}}.}
]
Подставляя (Sleft( z right)) и (qleft( z right)) в дифференциальное уравнение, имеем:
[frac{{pi {R^2}{z^2}}}{{{H^2}}}frac{{dz}}{{dt}} = – pi {a^2}sqrt {2gz} .]
После простых преобразований получаем следующее дифференциальное уравнение:
[{z^{largefrac{3}{2}normalsize}}dz = – frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} dt.]
Проинтегрируем обе части, учитывая, что уровень жидкости уменьшается от начального значения (H) до нуля за время (T:)
[
{intlimits_H^0 {{z^{largefrac{3}{2}normalsize}}dz} = – intlimits_0^T {frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} dt} ,};;
{Rightarrow left. {left( {frac{{{z^{largefrac{5}{2}normalsize}}}}{{frac{5}{2}}}} right)} right|_0^H = frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} left[ {left. {left( t right)} right|_0^T} right],};;
{Rightarrow frac{2}{5}{H^{largefrac{5}{2}normalsize}} = frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} T,};;
{Rightarrow frac{1}{5}sqrt {frac{{2H}}{g}} = frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}T,};;
{Rightarrow T = frac{{{R^2}}}{{5{a^2}}}sqrt {frac{{2H}}{g}} .}
]
Здесь мы снова видим аналогию с падением материального тела с высоты (H) в гравитационном поле Земли. Как известно,
время падения описывается формулой:
[T = sqrt {frac{{2H}}{g}}. ]
Если мы сравним этот результат со случаем вытекания жидкости из цилиндрического сосуда, то видно, что при тех же самых
значениях (H, R) и (a) время вытекания жидкости из конического сосуда ровно в (5) раз меньше, чем из цилиндра (хотя
объем конического сосуда меньше лишь в (3) раза!). Такие целочисленные отношения в природе выглядят удивительными, не правда ли?
Исследовать вытекание жидкости из тонкой трубки радиусом (R) и высотой (H,) считая трубку полностью заполненной жидкостью.
Рис.7 | Рис.8 |
Аналогично разобранным выше примерам, мы можем записать уравнение баланса жидкости на некоторой произвольной высоте (z) в следующей форме:
[Sleft( z right)frac{{dz}}{{dt}} = qleft( z right).]
В данном случае площадь поперечного сечения (Sleft( z right)) является константой:
[Sleft( z right) = S = pi {R^2},]
и поток жидкости, вытекающей из сосуда, определяется формулой:
[qleft( z right) = – kz,]
где (k) зависит от размера отверстия, смачиваемости и других параметров.
В результате получаем простое дифференциальное уравнение:
[pi {R^2}frac{{dz}}{{dt}} = – kz,]
или после разделения переменных:
[frac{{dz}}{z} = – frac{k}{{pi {R^2}}}dt.]
Теперь это уравнение можно проинтегрировать, считая, что уровень жидкости уменьшается с высоты (H) до (h) за время от (0) до (t:)
[
{intlimits_H^h {frac{{dz}}{z}} = – intlimits_0^t {frac{k}{{pi {R^2}}}dt} ,};;
{Rightarrow left. {left( {ln z} right)} right|_h^H = frac{k}{{pi {R^2}}}t,};;
{Rightarrow t = frac{{pi {R^2}}}{k}left( {ln H – ln h} right) = frac{{pi {R^2}}}{k}ln frac{H}{h}.}
]
Зависимость времени (t) от отношения (largefrac{H}{h}normalsize) показана схематически на рисунке (8.)
Данная кривая аналогична зависимости времени (T) от высоты (H) для широкого цилиндрического сосуда, для которого справедлив закон Торричелли.
Интересно, что в данной простой модели время вытекания жидкости (t) формально стремится к бесконечности при (h to 0.)
Источник
2 октября 2011
Автор
КакПросто!
Объем определяет величину пространства, которую занимает какое-либо тело. Эта величина связана постоянными соотношениями с другими характеристиками физических тел – их геометрическими размерами, весом и плотностью. Поэтому измерение этих дополнительных параметров может стать базой для вычисления объема, например, сосуда.
Инструкция
Если есть возможность наполнить сосуд водой, то для определения его объема достаточно иметь какую-либо мерную форму. В зависимости от размеров сосуда мерной посудой может стать шприц, мензурка, стакан, банка, ведро или любая другая посуда, вместимость которой вам известна. Подобрав подходящий измерительный сосуд, заполните водой до краев сосуд исследуемый, а затем переливайте воду в измерительный сосуд, отсчитывая таким образом объем.
Если заполнить исследуемый сосуд жидкостью нет возможности, но можно поместить его в жидкость, то определите объем по количеству вытесненной им воды. Для этого тоже потребуется какая-либо мерная посуда. Заполнив ее частично водой, отметьте уровень, затем поместите в мерную посуду исследуемый сосуд таким образом, чтобы он полностью оказался под водой, и сделайте вторую отметку. Затем определите разницу объемов мерной посуды по разнице двух сделанных отметок.
Если мерной посуды нет, но есть возможность взвешивать сосуд, то определите разницу между сосудом пустым и заполненным водой. Исходя из того, что один кубический метр объема должен вмещать воду, весом в одну тонну, рассчитайте объем сосуда.
Если сосуд имеет геометрически правильную форму, то его объем можно рассчитать, измерив размеры. Для нахождения объема сосуда цилиндрической формы (например, кастрюли) надо измерить диаметр (d) его основания (дна кастрюли) и ее высоту (h). Объем (V) будет равен одной четверти от произведения возведенного в квадрат диаметра на высоту и число Пи: V=d²∗h∗π/4.
Для нахождения объема сосуда, имеющего форму шара, достаточно определить его диаметр (d). Объем (V) будет равен одной шестой части от произведения возведенного в куб диаметра на число Пи: V=d³∗π/6. Если измерить длину окружности (L) шарообразного сосуда в самой широкой его части проще (например, с помощью сантиметра), чем измерить диаметр, то объем можно рассчитать и через эту величину. Возведенную в куб длину окружности надо разделить на увеличенное в шесть раз число Пи, возведенное в квадрат: V=L³/(π²∗6).
Для нахождения объема (V) сосуда прямоугольной формы, надо измерить его длину, ширину и высоту (a, b и h) и перемножить полученные значения: V=a∗b∗h. Если этот сосуд имеет кубическую форму, то достаточно возвести длину одного его ребра в третью степень: V=a³.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google
Privacy Policy and
Terms of Service apply.
Источник
В зависимости от характера действующих массовых сил поверхность равного давления в жидкости, как и свободная поверхность, может принимать
различную форму. Ниже рассматриваются некоторые случаи равновесия жидкости в движущихся сосудах.
1. Жидкость находится в сосуде, который движется в горизонтальном направлении с постоянным ускорением ±а (знак плюс соответствует ускорению сосуда, знак минус – замедлению ) (см. рисунок).
В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и инерции.
Поверхность равного давления является наклонной плоскостью. Давление в любой точке жидкости определяется по формуле
p = p0 + ρ·(g·z ± a·x),
Для свободной поверхности жидкости, когда р=p0, уравнение принимает вид:
g·z = ± a·x
или
z/x = tg α = ± a/g,
где α – угол наклона свободной поверхности жидкости к горизонту.
Последнее приведенное выше выражение позволяет определять (при условии, чтобы жидкость не переливалась через задний борт сосуда длиной l)
высоту борта h при заданном значении а или предельное ускорение а при заданном значении h.
Если сосуд движется равномерно (а = 0), уравнение приводим к виду:
p = p0 + ρ·g·z = p0·γ
В этом случае поверхность равного давления представляет горизонтальную плоскость.
2. Жидкость находится в открытом цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω.
В данном случае жидкость подвержена воздействию не только поверхностных сил, но также массовых сил тяжести и центробежной.
Поверхность равного давления представляет параболоид вращения. Распределение давления в жидкости по глубине определяется выражением:
p = p0 + γ·((ω2·r2)/(2·g) – z)
Для любой точки свободной поверхности жидкости, когда p = p0, уравнение принимает вид:
z = (ω2·r2)/(2·g) = u2/(2·g),
где окружная скорость u = ω·r (r — радиус вращения точки).
Высота параболоида вращения:
h = ω2·r20/(2·g),
где r0 – радиус цилиндрического сосуда.
Сила давления жидкости на дно сосуда:
P = γ·π·r20·h0 = γ·π·r20·(h1 + h/2),
где h0 – начальная глубина жидкости в сосуде до момента его вращения.
Давление на боковую стенку сосуда изменяется по линейному закону. Эпюра давления представляет прямоугольный треугольник ACD с высотой h1 + h и основанием γ·(h1 + h).
3. Жидкость находится в цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг горизонтальной оси с постоянной угловой скоростью ω.
В данном случае жидкость также подвержена воздействию массовых сил тяжести и центробежной.
Поверхности равного давления представляют концентрически расположенные боковые поверхности цилиндров, оси которых горизонтальны и смещены относительно оси оу на величину эксцентриситета e = g/ω2 (см. рисунок а).
При большом числе оборотов сосуда влияние силы тяжести по сравнению с влиянием центробежной силы становится незначительным, и, следовательно, величиной эксцентриситета е можно пренебречь. Тогда поверхности равного давления становятся концентрическими цилиндрами, оси которых совпадают с осью сосуда (см. рисунок б).
Распределение давления по глубине жидкости определяется выражением:
p = p0 + γ·ω2·(r2 – r20)/(2·g)
где p и p0 – соответственно давления в точках цилиндрических поверхностей с радиусами r и r0.
Данное уравнение справедливо и тогда, когда сосуд радиусом r лишь частично заполнен жидкостью. Свободная поверхность жидкости в этом случае также будет цилиндрической с радиусом r0 и давлением во всех ее точках р0.
Как видно из последнего уравнения, закон распределения давления по радиусу является параболическим. Эпюра давления представленная на рисунке в.
Такие приближенные решения могут применяться при любом положении оси вращения сосуда, однако при условии большого числа его оборотов.
Вильнер Я.М. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам.
Источник