Вытекание жидкости из сосуда
Закон Торричелли
Итальянский ученый Эванджелиста Торричелли, изучавший движение жидкостей,
в (1643) году экспериментально обнаружил, что скорость вытекания жидкости через малое отверстие на дне открытого сосуда (рисунок (1)) описывается формулой:
[v = sqrt {2gh} ,]
где (h) − высота уровня жидкости над отверстием, (g) − гравитационная постоянная.
| |
Рис.1 | Рис.2 |
Такая же формула описывает скорость тела, свободного падающего с высоты (h) в поле тяжести Земли в вакууме.
В действительности, найденная формула не совсем точна. В более точном приближении скорость жидкости зависит от формы и размера отверстия, от вязкости жидкости и режима течения. Поэтому,
формула Торричелли часто записывается с дополнительным множителем (varphi:)
[v = varphisqrt {2gh} ,]
где коэффициент (varphi) близок к (1.) Значения параметра (varphi) для отверстий различной формы и размера можно найти в гидравлических справочниках.
Вытекание жидкости из тонкой трубки
Вытекание жидкости из тонкой длинной трубки (рисунок (2)) имеет ряд особенностей. Здесь важную роль играют капиллярные эффекты, обусловленные
поверхностным натяжением и смачиванием вследствие контакта со стенками трубки.
Скорость вытекания жидкости из капиллярных трубок приблизительно пропорциональна высоте столба жидкости над отверстием, то есть
[v = kh,]
где (k) − некоторая константа, зависящая от вязкости жидкости, геометрии и материала трубки.
Далее мы будем описывать вытекание жидкости с помощью дифференциальных уравнений из сосудов обоих типов (широкого и тонкого).
Дифференциальное уравнение вытекания жидкости
Данное дифференциальное уравнение можно вывести, рассматривая баланс жидкости в сосуде. Возьмем, например, цилиндрический сосуд с широким основанием, радиус
которого равен (R.) Предположим, что жидкость вытекает через малое отверстие радиуса (a) на дне сосуда (рисунок (3)).
|
|
Рис.3 | Рис.4 |
Скорость жидкости описывается формулой Торричелли:
[v = sqrt {2gz} ,]
где (z) − высота жидкости над отверстием. Тогда поток жидкости определяется выражением:
[q = – pi {a^2}sqrt {2gz} .]
Здесь (pi {a^2}) соответствует площади отверстия, через которое вытекает жидкость, а знак “минус” означает,
что уровень жидкости уменьшается по мере ее вытекания из резервуара.
Уравнение баланса жидкости в резервуаре описывается следующим образом:
[frac{{dV}}{{dt}} = q.]
Поскольку изменение объема (dV) можно выразить как
[dV = Sleft( z right)dz,]
то мы получаем дифференциальное уравнение
[frac{{Sleft( z right)dz}}{{dt}} = qleft( z right).]
Подставим функцию (qleft( z right)) в это уравнение:
[frac{{Sleft( z right)dz}}{{dt}} = – pi {a^2}sqrt {2gz} .]
Поперечное сечение ({Sleft( z right)}) цилиндрического сосуда не зависит от высоты (z) и равно
[Sleft( z right) = pi {R^2},]
где (R) − радиус основания цилиндра. Тогда
[require{cancel}
cancel{pi} {R^2}frac{{dz}}{{dt}} = – cancel{pi} {a^2}sqrt {2gz} .
]
В результате получаем уравнение с разделяющимися переменными:
[frac{{dz}}{{sqrt z }} = – frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} dt.]
Теперь проинтегрируем полученное уравнение, считая, что начальный уровень жидкости составляет (H,) и за время (T) он уменьшается до (0:)
[
{intlimits_H^0 {frac{{dz}}{{sqrt z }}} = – intlimits_0^T {frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} dt} ,};;
{Rightarrow 2left[ {left. {left( {sqrt z } right)} right|_H^0} right] = – frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} left[ {left. {left( t right)} right|_0^T} right],};;
{Rightarrow 2sqrt H = frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} T,};;
{Rightarrow sqrt {2H} = frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}sqrt g T.}
]
Отсюда следует выражение для полного времени вытекания жидкости (T:)
[T = frac{{{R^2}}}{{{a^2}}}sqrt {frac{{2H}}{g}} .]
Интересно, что в предельном случае (a = R) (когда площади отверстия и самого цилиндра равны), полученная
формула преобразуется в известную формулу (T = sqrt {largefrac{{2H}}{g}normalsize}, )
которая определяет время падения материального тела с высоты (H.) Зависимость времени (T) от высоты (H) схематически показана на рисунке (4.)
Аналогично можно описать вытекание жидкости и из сосуда другой формы.
Вывести дифференциальное уравнение вытекания жидкости из конического сосуда и определить полное время вытекания (T.)
Радиус верхнего основания конического сосуда равен (R,) а радиус нижнего основания (a.) Начальная уровень жидкости составляет (H) (рисунок (5)).
| |
Рис.5 | Рис.6 |
Изменение уровня жидкости на высоте (z) описывается дифференциальным уравнением
[Sleft( z right)frac{{dz}}{{dt}} = qleft( z right),]
где (Sleft( z right)) − площадь поперечного сечения сосуда на высоте (z,) а (qleft( z right)) − поток жидкости, зависящий от высоты (z.)
Принимая во внимание геометрию сосуда, можно предположить, что закон Торричелли выполняется. Поэтому, можно записать:
[qleft( z right) = – pi {a^2}sqrt {2gz} ,]
где (a) − радиус отверстия на дне конического сосуда. Учитывая, что отверстие достаточно малое, осевое сечение можно рассматривать как треугольник
(рисунок (6) выше). Из подобия треугольников следует, что
[frac{R}{H} = frac{r}{z}.]
Следовательно, площадь поверхности жидкости на высоте (z) будет равна
[
{Sleft( z right) = pi {r^2} }
= {pi {left( {frac{{Rz}}{H}} right)^2} }
= {frac{{pi {R^2}{z^2}}}{{{H^2}}}.}
]
Подставляя (Sleft( z right)) и (qleft( z right)) в дифференциальное уравнение, имеем:
[frac{{pi {R^2}{z^2}}}{{{H^2}}}frac{{dz}}{{dt}} = – pi {a^2}sqrt {2gz} .]
После простых преобразований получаем следующее дифференциальное уравнение:
[{z^{largefrac{3}{2}normalsize}}dz = – frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} dt.]
Проинтегрируем обе части, учитывая, что уровень жидкости уменьшается от начального значения (H) до нуля за время (T:)
[
{intlimits_H^0 {{z^{largefrac{3}{2}normalsize}}dz} = – intlimits_0^T {frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} dt} ,};;
{Rightarrow left. {left( {frac{{{z^{largefrac{5}{2}normalsize}}}}{{frac{5}{2}}}} right)} right|_0^H = frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} left[ {left. {left( t right)} right|_0^T} right],};;
{Rightarrow frac{2}{5}{H^{largefrac{5}{2}normalsize}} = frac{{{a^2}{H^2}}}{{{R^2}}}sqrt {2g} T,};;
{Rightarrow frac{1}{5}sqrt {frac{{2H}}{g}} = frac{{{a^2}}}{{{R^2}}}T,};;
{Rightarrow T = frac{{{R^2}}}{{5{a^2}}}sqrt {frac{{2H}}{g}} .}
]
Здесь мы снова видим аналогию с падением материального тела с высоты (H) в гравитационном поле Земли. Как известно,
время падения описывается формулой:
[T = sqrt {frac{{2H}}{g}}. ]
Если мы сравним этот результат со случаем вытекания жидкости из цилиндрического сосуда, то видно, что при тех же самых
значениях (H, R) и (a) время вытекания жидкости из конического сосуда ровно в (5) раз меньше, чем из цилиндра (хотя
объем конического сосуда меньше лишь в (3) раза!). Такие целочисленные отношения в природе выглядят удивительными, не правда ли?
Исследовать вытекание жидкости из тонкой трубки радиусом (R) и высотой (H,) считая трубку полностью заполненной жидкостью.
|
|
Рис.7 | Рис.8 |
Аналогично разобранным выше примерам, мы можем записать уравнение баланса жидкости на некоторой произвольной высоте (z) в следующей форме:
[Sleft( z right)frac{{dz}}{{dt}} = qleft( z right).]
В данном случае площадь поперечного сечения (Sleft( z right)) является константой:
[Sleft( z right) = S = pi {R^2},]
и поток жидкости, вытекающей из сосуда, определяется формулой:
[qleft( z right) = – kz,]
где (k) зависит от размера отверстия, смачиваемости и других параметров.
В результате получаем простое дифференциальное уравнение:
[pi {R^2}frac{{dz}}{{dt}} = – kz,]
или после разделения переменных:
[frac{{dz}}{z} = – frac{k}{{pi {R^2}}}dt.]
Теперь это уравнение можно проинтегрировать, считая, что уровень жидкости уменьшается с высоты (H) до (h) за время от (0) до (t:)
[
{intlimits_H^h {frac{{dz}}{z}} = – intlimits_0^t {frac{k}{{pi {R^2}}}dt} ,};;
{Rightarrow left. {left( {ln z} right)} right|_h^H = frac{k}{{pi {R^2}}}t,};;
{Rightarrow t = frac{{pi {R^2}}}{k}left( {ln H – ln h} right) = frac{{pi {R^2}}}{k}ln frac{H}{h}.}
]
Зависимость времени (t) от отношения (largefrac{H}{h}normalsize) показана схематически на рисунке (8.)
Данная кривая аналогична зависимости времени (T) от высоты (H) для широкого цилиндрического сосуда, для которого справедлив закон Торричелли.
Интересно, что в данной простой модели время вытекания жидкости (t) формально стремится к бесконечности при (h to 0.)
Источник
Ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä. Ëåêöèè.
Âûòåêàíèå æèäêîñòè ÷åðåç îòâåðñòèå â ñîñóäå.
Ïóñòü æèäêîñòü, çàïîëíÿþùàÿ ñîñóä, ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè âûòåêàåò èç íåãî ÷åðåç îòâåðñòèå â áîêîâîé ñòåíêå, ðàñïîëîæåííîå âáëèçè äíà ñîñóäà (ðèñ. 3.6).  îòâåðñòèå âñòàâëåíà ãîðèçîíòàëüíàÿ òðóáêà ñ çàêðóãëåííîé âíóòðåííåé êðîìêîé, íàïðàâëÿþùàÿ âûòåêàþùóþ ñòðóþ âîäû. Çàêðóãëåííàÿ êðîìêà îáåñïå÷èâàåò ïîëíîå çàïîëíåíèå òðóáêè âûòåêàþùåé æèäêîñòüþ.
| Ðèñ. 3.6. |
Ðàçîáüåì òåêóùóþ æèäêîñòü íà òðóáêè òîêà. Îäíà èç òàêèõ òðóáîê èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 3.6. Õîòÿ ìû è íå çíàåì, êàê âûãëÿäÿò ýòè òðóáêè, îäíàêî âñå îíè íà÷èíàþòñÿ íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè è çàêàí÷èâàþòñÿ íà âûõîäíîì òîðöå ñëèâíîé òðóáêè. Åñëè ïëîùàäü îòâåðñòèÿ òðóáêè S çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ïëîùàäè ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè S0, òî ïðè èñòå÷åíèè æèäêîñòè åå îïóñêàþùàÿñÿ ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ v0 ïîâåðõíîñòü áóäåò îñòàâàòüñÿ ãîðèçîíòàëüíîé. Ýòî îçíà÷àåò. ÷òî êîíñòàíòà, âõîäÿùàÿ â óðàâíåíèå Áåðíóëëè (3.14), áóäåò îäèíàêîâà äëÿ âñåõ òðóáîê òîêà:
Çäåñü H – âûñîòà óðîâíÿ æèäêîñòè â ñîñóäå. Ïîýòîìó ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ æèäêîñòè v îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ
| (3.17) |
ãäå p0 – àòìîñôåðíîå äàâëåíèå íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè è ó ñëèâíîé òðóáêè. Ïîñêîëüêó SS0, òî èç óñëîâèÿ íåñæèìàåìîñòè (3.2) ñëåäóåò, ÷òî v0v. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ èç (3.17) ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé
| (3.18) |
Ýòà ôîðìóëà íîñèò íàçâàíèå ôîðìóëû Òîðè÷åëëè, ïîñêîëüêó áûëà ïîëó÷åíà Òîðè÷åëëè, æèâøåì äî Áåðíóëëè. Ñðàçó áðîñàåòñÿ â ãëàçà, ÷òî ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ æèäêîñòè èç ñîñóäà òàêàÿ æå, êàê è ïðè åå ñâîáîäíîì ïàäåíèè ñ âûñîòû H.  ýòîì íåò íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî, ïîñêîëüêó âÿçêîñòüþ ìû ïðåíåáðåãëè, à ðàáîòà ñèë àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ íàä òðóáêîé òîêà ðàâíà íóëþ. Ïîýòîìó, êàê è ïðè ñâîáîäíîì ïàäåíèè òåë â îòñóòñòâèå ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, ïðè ðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàâíî ðàáîòå ñèëû òÿæåñòè:
Ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû Òîðè÷åëëè ìîæíî ëåãêî ïðîâåðèòü, åñëè íà âûõîäíóþ òðóáêó íàäåòü êóñîê ãèáêîãî øëàíãà è âûòåêàþùóþ ñòðóþ âîäû íàïðàâèòü ââåðõ ïîä íåáîëüøèì íàêëîíîì ê âåðòèêàëè (ðèñ. 3.7). Ñòðóÿ ïîäíèìåòñÿ ïðàêòè÷åñêè äî óðîâíÿ ïîâåðõíîñòè æèäêîñòè. Åñëè æå ñòðóþ íàïðàâèòü âåðòèêàëüíî ââåðõ, òî âçëåòàþùèå ââåðõ ÷àñòèöû æèäêîñòè, âçàèìîäåéñòâóÿ ñ ïàäàþùèìè âíèç ÷àñòèöàìè, íå ñìîãóò ïîäíÿòüñÿ íà âûñîòó H.
| Ðèñ. 3.7. |
Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî òðóáêè òîêà æèäêîñòè ðàñïîëîæåíû ïðåèìóùåñòâåííî áëèæå ê ñòåíêå ñîñóäà ñ îòâåðñòèåì, â òî âðåìÿ êàê ó ïðîòèâîïîëîæíîé (ëåâîé íà ðèñ. 3.8) ñòåíêè æèäêîñòü ïðàêòè÷åñêè ìàëîïîäâèæíà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íà ëåâóþ ñòåíêó äåéñòâóþò ñèëû äàâëåíèÿ, êîòîðîå ëåãêî ïîñ÷èòàòü, èñïîëüçóÿ ëèíåéíûé çàêîí íàðàñòàíèÿ ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ ñ ãëóáèíîé, äàâàåìîé ôîðìóëîé (2.11). Ðàñ÷åò ñèë äàâëåíèÿ, äåéñòâóþùèõ íà ïðàâóþ ñòåíêó, òðåáóåò ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è. Îäíàêî è áåç òàêîãî ðàñ÷åòà ÿñíî, ÷òî â òðóáêå òîêà, ïðèìûêàþùåé ê ïðàâîé ñòåíêå, äàâëåíèå íà êàæäîé ãëóáèíå áóäåò ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîé ãëóáèíå ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë äàâëåíèÿ, äåéñòâóþùèõ íà îáå ñòåíêè, íàïðàâëåíà â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ íàïðàâëåíèþ èñòå÷åíèÿ æèäêîñòè. Ïîä äåéñòâèåì ýòîé ñèëû, íàçûâàåìîé òàêæå ðåàêòèâíîé, ñîñóä, ïîñòàâëåííûé íà êîëåñà, ìîæåò ïðèäòè â äâèæåíèå. Âåëè÷èíó ýòîé ñèëû ëåãêî ïîñ÷èòàòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû Òîðè÷åëëè. Ïî 3-ìó çàêîíó Íüþòîíà èñêîìàÿ ðåàêòèâíàÿ ñèëà ðàâíà ïî âåëè÷èíå ñèëå, ñ êîòîðîé ñòåíêè ñîñóäà äåéñòâóþò íà âîäó, ñîîáùàÿ åå (ïî 2-ìó çàêîíó Íüþòîíà) ïðèðàùåíèå èìïóëüñà â íàïðàâëåíèè èñòå÷åíèÿ. Ïîñêîëüêó ìàññà, âûòåêàþùàÿ ÷åðåç îòâåðñòèå ñ ñå÷åíèåì S ðàâíà , òî èçìåíåíèå èìïóëüñà â åäèíèöó âðåìåíè ñîñòàâèò âåëè÷èíó Ïîýòîìó ðåàêòèâíàÿ ñèëà
| (3.19) |
| Ðèñ. 3.8. |
Îòìåòèì, ÷òî åñëè áû ìû îøèáî÷íî ïðèíÿëè, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèé ñ ãëóáèíîé ó ïðàâîé ñòåíêè áûëî òàêîå æå, êàê ó ëåâîé, òî ðåàêòèâíàÿ ñèëà ïîëó÷èëàñü áû âäâîå ìåíüøåé:
| (3.20) |
ãäå – âåëè÷èíà ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ íà ãëóáèíå H, S – ïëîùàäü îòâåðñòèÿ â ïðàâîé ñòåíêå.
Îäíàêî ìîæíî äîáèòüñÿ îäèíàêîâîãî (ãèäðîñòàòè÷åñêîãî) ðàñïðåäåëåíèÿ äàâëåíèé ó îáåèõ ñòåíîê, åñëè êîíåö òðóáêè ñ îñòðîé êðîìêîé áóäåò îòñòîÿòü îò ïðàâîé ñòåíêè, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 3.9.  ýòîì ñëó÷àå ðåàêòèâíàÿ ñèëà ìîæåò îïðåäåëÿòüñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (3.20). Åñëè æå åå âû÷èñëÿòü ïðè ïîìîùè (3.19), òî â ýòîé ôîðìóëå íàäî âìåñòî ñå÷åíèÿ òðóáêè S ïîäñòàâèòü ñå÷åíèå ñòðóè âîäû â òðóáêå SB=kS, ãäå êîýôôèöèåíò èñòå÷åíèÿ k1/2. Ïðè òàêîì èñòå÷åíèè òðóáêà áóäåò çàïîëíåíà æèäêîñòüþ ïðèáëèçèòåëüíî íàïîëîâèíó.
| Ðèñ. 3.9. |
Ðåàêòèâíóþ ñèëó ìîæíî óâåëè÷èòü, åñëè ïðåæäå âñåãî ïîâûñèòü ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ æèäêîñòè. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü çàìêíóòûé ñîñóä ñ îòâåðñòèåì, ïðè ýòîì íàä ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè ñîçäàåòñÿ äàâëåíèå p1>p0. Òîãäà ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ æèäêîñòè èç óðàâíåíèÿ Áåðíóëëè ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîé:
| (3.21) |
à ðåàêòèâíàÿ ñèëà âîçðàñòàåò ëèíåéíî ñ ïîâûøåíèåì èçáûòî÷íîãî äàâëåíèÿ íàä ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ æèäêîñòè.
Ãèäðîðåçàíèå.
Åñëè ñîçäàòü î÷åíü âûñîêîå èçáûòî÷íîå äàâëåíèå, íàïðèìåð, 5000 àòì = 5*10 Í/ì2, òî ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ âîäû v = 1000 ì/ñ. Åñëè òàêóþ ñòðóþ íàïðàâèòü íà êàêîé-ëèáî òâåðäûé ìàòåðèàë, òî åãî ïîâåðõíîñòü áóäåò ïîäâåðæåíà ãèäðîäèíàìè÷åñêîìó äàâëåíèþ Òàêîå
îãðîìíîå äàâëåíèå â ðÿäå ñëó÷àåâ ìîæåò ïðåâîñõîäèòü ïðåäåë ïðî÷íîñòè íåêîòîðûõ ìàòåðèàëîâ, è ïîñëåäíèå áóäóò ðàçðóøàòüñÿ ïîä äåéñòâèåì ñòðóè. Ñî âòîðîé ïîëîâèíû 80-õ ãîäîâ ïîëó÷èëî ðàçâèòèå íîâîå íàïðàâëåíèå â îáðàáîòêå ìàòåðèàëîâ – ãèäðîðåçàíèå.  ýòîé òåõíîëîãèè âîäÿíîé íîæ – âûñîêî-ñêîðîñòíàÿ ñòðóÿ âîäû ñ äèàìåòðîì èãëû – ëåãêî ðåæåò ìàòåðèàëû òîëùèíîé â íåñêîëüêî ñàíòèìåòðîâ ñî ñêîðîñòüþ ðåçàíèÿ íåñêîëüêî äåñÿòêîâ ñàíòèìåòðîâ â ìèíóòó. Äëÿ ðåçêè ìåòàëëîâ, òâåðäûõ ñïëàâîâ, áåòîíà è äðóãèõ ìàòåðèàëîâ â ñòðóþ äîáàâëÿþò àáðàçèâíûé ïîðîøîê. Ýòî ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èòü ãèäðîäèíàìè÷åñêîå äàâëåíèå è ïîâûñèòü ïðîèçâîäèòåëüíîñòü è âîçìîæíîñòè ãèäðîðåçàíèÿ.
Ñîñóä Ìàðèîòòà.
Âåñüìà ïîó÷èòåëüíûì äëÿ ïîíèìàíèÿ äâèæåíèÿ æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ èñòå÷åíèå æèäêîñòè èç ñîñóäà Ìàðèîòòà. Îí ïîçâîëÿåò îáåñïå÷èòü ïîñòîÿííóþ ñêîðîñòü âûòåêàíèÿ æèäêîñòè èç ñîñóäà, íåñìîòðÿ íà ïîíèæåíèÿ åå óðîâíÿ. Äëÿ ýòîãî â ñîñóä ÷åðåç ãåðìåòè÷íóþ ïðîáêó â åãî ãîðëîâèíó ââîäèòñÿ òðóáî÷êà, ñîîáùàþùàÿñÿ ñ àòìîñôåðîé (ðèñ. 3.10). Ñêîðîñòü âûòåêàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Òîðè÷åëëè , ãäå h – âûñîòà íèæíåãî êîíöà òðóáêè íàä îòâåðñòèåì. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî ïðè íåçíà÷èòåëüíîì èñòå÷åíèè æèäêîñòè èç ïîëíîñòüþ çàïîëíåííîãî ñîñóäà äàâëåíèå ïîä ïðîáêîé áóäåò ìåíüøå àòìîñôåðíîãî, à äàâëåíèå â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, ñîâïàäàþùåé è íèæíèì êîíöîì òðóáêè, ðàâíî àòìîñôåðíîìó. Ñêîðîñòü âûòåêàíèÿ ëåãêî ðåãóëèðóåòñÿ âåðòèêàëüíûì ïåðåìåùåíèåì òðóáêè. Åñëè êîíåö òðóáêè íàõîäèòñÿ íà óðîâíå h=0 èëè íèæå îòâåðñòèÿ, òî æèäêîñòü íå âûòåêàåò âîâñå.
| Ðèñ. 3.10. |
Óñëîâèå íåñæèìàåìîñòè äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè.
Ðàâåíñòâî (3.2), ÿâëÿþùååñÿ óñëîâèåì íåñæèìàåìîñòè, ñâÿçûâàåò ñêîðîñòè äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè â äâóõ ðàçëè÷íûõ ñå÷åíèÿõ. Ìåæäó òåì, êàê íà ýòî íåîäíîêðàòíî îáðàùàëîñü âíèìàíèå â ïðåäûäóùèõ ëåêöèÿõ, â ôèçèêå âàæíî îïåðèðîâàòü ñ ðàâåíñòâàìè èëè óðàâíåíèÿìè, îòíåñåííûìè ê îäíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì äåôîðìàöèþ äâèæóùåãîñÿ êóáè÷åñêîãî ýëåìåíòà æèäêîñòè. Åñëè åãî îáúåì ÷åðåç ìàëûé îòðåçîê âðåìåíè íå èçìåíÿåòñÿ, òî ñóììà äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ òåíçîðà äåôîðìàöèè ðàâíà íóëþ, ò.å.
Çäåñü ux, uy è uz- ñìåùåíèÿ ãðàíåé êóáèêà â íàïðàâëåíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ îñåé êîîðäèíàò. Îäíàêî ýòè ñìåùåíèÿ ñâÿçàíû ñî ñêîðîñòÿìè äâèæåíèÿ ãðàíåé (à òî÷íåå, ÷àñòèö æèäêîñòè, íàõîäÿùèõñÿ â äàííûé ìîìåíò íà ýòèõ ãðàíÿõ):
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ðàâåíñòâà â (3.22), ïîëó÷àåì ëîêàëüíîå (îòíîñÿùååñÿ ê îäíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà) óñëîâèå íåñæèìàåìîñòè â âèäå
| (3.22) |
 ôèçèêå äëÿ îïèñàíèÿ âåêòîðíûõ ïîëåé, à â íàøåì ñëó÷àå ðå÷ü èäåò î âåêòîðíîì ïîëå ñêîðîñòåé v=v(x,y,z,t), èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå äèâåðãåíöèè (èñòîêà) ïîëÿ â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.  äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò âûðàæåíèå äëÿ div v èìååò âèä:
| (3.23) |
Äèâåðãåíöèÿ âåêòîðà ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò è âðåìåíè è ëåãêî ðàññ÷èòûâàåòñÿ, åñëè èçâåñòíû êîìïîíåíòû âåêòîðíîãî ïîëÿ (â íàøåì ñëó÷àå vx, vy è vz). Ïîýòîìó óñëîâèå (3.22) ïîñòîÿíñòâà îáúåìà íåñæèìàåìîé æèäêîñòè çàïèñûâàåòñÿ êðàòêî:
| (3.24) |
Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (3.24) ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè íåñæèìàåìîé æèäêîñòè.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî èìååòñÿ ìíîæåñòâî âåêòîðíûõ ïîëåé, êàê, íàïðèìåð, ýëåêòðè÷åñêîå E=E(x,y,z,t) è ìàãíèòíîå B=B(x,y,z,t) ïîëÿ è äð., ïðè îïèñàíèè êîòîðûõ òàêæå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå äèâåðãåíöèè: div E èëè div B è ò.ä. Õîòÿ îíà îïðåäåëÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.23), ââîäèòñÿ, îäíàêî, íåñêîëüêî èç äðóãèõ ñîîáðàæåíèé, ïîñêîëüêó â ýëåêòðîäèíàìèêå íå èäåò ðå÷ü î äâèæåíèè è äåôîðìàöèè ýëåìåíòà ìàòåðèàëüíîé ñðåäû.
Íà ïðèìåðå âåêòîðíîãî ïîëÿ ñêîðîñòåé v=v(x,y,z,t) ïîÿñíèì ôóíäàìåíòàëüíûé ñìûñë ïîíÿòèÿ äèâåðãåíöèè.
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì íåïîäâèæíûé ýëåìåíòàðíûé îáúåì ïðîñòðàíñòâà. dV=dxdydx è ïîñ÷èòàåì îáúåì æèäêîñòè, âòåêàþùèé è âûòåêàþùèé èç ýòîãî îáúåìà çà åäèíèöó âðåìåíè.
Ââåäåì ïîíÿòèå ýëåìåíòàðíîãî ïîòîêà âåêòîðà ñêîðîñòè v ÷åðåç ìàëåíüêóþ ïëîùàäêó dS:
| (3.25) |
ãäå dS=ndS – âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî íîðìàëè n ê ýëåìåíòàðíîé ïëîùàäêå. ßñíî, ÷òî ïîòîê (3.25) ðàâåí îáúåìó æèäêîñòè, ïåðåñåêàþùåé ïëîùàäêó dS çà åäèíèöó âðåìåíè (ðèñ. 3.12). Îí äîïóñêàåò òàêæå íàãëÿäíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.  ñàìîì äåëå, â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ëèíèé òîêà, äàííûì â íà÷àëå ýòîé ëåêöèè, èõ ãóñòîòà õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü òå÷åíèÿ. Ïîýòîìó âåëè÷èíå ñêîðîñòè âñåãäà ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êîëè÷åñòâî ëèíèé òîêà, ïåðåñåêàþùèõ ïëîùàäêó ñ dS=1 è n || v. Òîãäà ïîòîê dNv â (3.25) áóäåò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ ÷èñëîì ëèíèé, ïåðåñåêàþùèõ ïëîùàäêó ïðè åå ïðîèçâîëüíîé îðèåíòàöèè.
| Ðèñ. 3.12. |
Òåïåðü ëåãêî ïîñ÷èòàòü áàëàíñ ìåæäó âòåêàþùåé è âûòåêàþùåé æèäêîñòüþ äëÿ ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.12. Äëÿ ýòîãî âîññòàíîâèì âíåøíèå íîðìàëè ïî âñåì 6-òè ãðàíÿì êóáèêà è ïîñ÷èòàåì ïîòîêè æèäêîñòè ÷åðåç åãî ãðàíè. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå ïîòîêà áóäåò äëÿ âûòåêàþùåé æèäêîñòè, à îòðèöàòåëüíîå – äëÿ âòåêàþùåé. Åñëè ñêîðîñòü â öåíòðå êóáèêà v(x,y,z) èçìåíÿåòñÿ ïðè ïðèáëèæåíèè ê ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíÿì, òî ïðè âû÷èñëåíèè òàêîãî ïîòîêà ýòî íåîáõîäèìî ó÷åñòü. Ðåçóëüòèðóþùèé ïîòîê îïðåäåëèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
| (3.26) |
Ðàçäåëèâ ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè (3.26) íà dxdydz è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó, ïîëó÷àåì
| (3.27) |
Òàêèì îáðàçîì, äèâåðãåíöèÿ âåêòîðà ñêîðîñòè ÷èñëåííî ðàâíà ïîòîêó æèäêîñòè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü åäèíè÷íîãî îáúåìà. Åñëè æèäêîñòü íåñæèìàåìà, òî, åñòåñòâåííî, ýòîò ïîòîê äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ. Ãðàôè÷åñêè ïîñëåäíåå èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ðàâåíñòâî êîëè÷åñòâà âõîäÿùèõ è âûõîäÿùèõ ëèíèé òîêà äëÿ ýòîãî îáúåìà. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, îçíà÷àåò, ÷òî â îêðåñòíîñòè òî÷êè, ãäå div v=0, ëèíèè òîêà íå ïðåðûâàþòñÿ. Ïîýòîìó ðàâåíñòâî div v=0 íàçûâàþò óñëîâèåì íåðàçðûâíîñòè.
Èç øêîëüíîãî êóðñà ôèçèêè èçâåñòíî, ÷òî ñèëîâûå ëèíèè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ (àíàëîã ëèíèé òîêà) ïðåðûâàþòñÿ òîëüêî íà çàðÿäàõ. Ïîýòîìó äëÿ îáëàñòåé, íå çàíÿòûõ çàðÿäàìè, ìû òàêæå âïðàâå íàïèñàòü . Ñèëîâûå ëèíèè èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ B âñåãäà çàìêíóòû, ïîýòîìó âî âñåõ ñëó÷àÿõ div B=0.
Íàçàä | Âïåðåä
Ïîñìîòðåòü êîììåíòàðèè[3]
Источник