Задача на переливание 3 сосуда с ответами
ТЕМА № 6 «Задачи на переливание»
Задачи на переливание — один из видов старинных задач. Они возникли много веков назад, но до сих пор вызывают интерес у любителей математики и их часто можно встретить в олимпиадных заданиях для 5–6-х классов. Однако данный вид логических задач целесообразно рассматривать и с учащимися среднего звена (7-8 классы).
Суть этих задач сводится к следующему: имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний.
В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что
– все сосуды без делений,
– нельзя переливать жидкости “на глаз”
– невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать.
Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях:
Ø знаем, что сосуд пуст,
Ø знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,
Ø в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились
Ø в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них
Ø в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде.
Чаще всего используются словесный способ решения (т. е. описание последовательности действий) и способ решения с помощью таблиц, где в первом столбце (или строке) указываются объемы данных сосудов, а в каждом следующем — результат очередного переливания. Таким образом, количество столбцов (кроме первого) показывает количество необходимых переливаний.
Рассмотрим задачи.
Задача № 1. Отмерить 3 л, имея сосуд 5 л.
Какое наименьшее число переливаний потребуется для того, чтобы в четырехлитровую кастрюлю с помощью крана и пятилитровой банки налить 3 литра воды?
Наливаем кастрюлю.
Переливаем воду из кастрюли в банку.
Наливаем кастрюлю.
Доливаем полную банку, и в кастрюле остается 3 литра.
Задача № 2. Винни-Пух и пчелы.
Однажды Винни-Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге нарвал букет цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л!» Винни-Пух долго думал, но все-таки смог решить задачку. Как он это сделал?
Как в результате можно получить 4 л? Нужно из 5-литрового сосуда отлить 1 л. А как это сделать? Нужно в 3-литровом сосуде иметь ровно 2 л. Как их получить? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л.
Решение лучше и удобнее оформить в виде таблицы:
Ходы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
5 л | 5 | 2 | 2 | – | 5 | 4 |
3 л | – | 3 | – | 2 | 2 | 3 |
Наполняем из бочки 5-литровый сосуд медом (1 шаг). Из 5-литрового сосуда отливаем 3 л в 3-литровый сосуд (2 шаг). Теперь в 5-литровом сосуде осталось 2 литра меда. Выливаем из 3-литрового сосуда мед назад в бочку (3 шаг). Теперь из 5-литрового сосуда выливаем те 2 литра меда в 3-литровый сосуд (4 шаг). Наполняем из бочки 5-литровый сосуд медом (5 шаг). И из 5-литрового сосуда дополняем медом 3-литровый сосуд. Получаем 4 литра меда в 5-литровом сосуде (6 шаг). Задача решена.
Поиск решения можно было начать с такого действия: к трем литрам добавить 1 литр. Но тогда решение будет выглядеть следующим образом:
Ходы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
5 л | – | 3 | 3 | 5 | – | 1 | 1 | 4 |
3 л | 3 | – | 3 | 1 | 1 | – | 3 | – |
Задача № 3. Бэтмен и Человек-Паук.
Бэтмен и Человек-Паук никак не могли определить, кто из них самый главный супергерой. Что только они не делали: отжимались, бегали 100 метровку, подтягивались – то один победит, то другой. Так и не разрешив свой спор, отправились они к мудрецу. Мудрец подумал и сказал: «Самый главный супергерой – это не тот, кто сильнее, а тот, кто сообразительнее! Вот, кто решит первым задачу, тот и будет самым-самым! Слушайте: имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из источника 7 л живой воды?» Помогите вашему любимому герою решить эту задачу.
Ход рассуждений таков:
Как в результате получить 7 литров? – Нужно к 5 литрам долить 2 л. А где их взять? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л. А как их получить? В 8-литровый перелить из 5-литрового 5 литров, потом еще три.
Решение задачи показано в таблице:
Ходы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
8 л | – | 5 | 5 | 8 | – | 2 | 7 |
5 л | 5 | – | 5 | 2 | 2 | 5 | – |
Задача № 4. Парное молоко.
Бидон емкостью 10 л наполнен парным молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л молока в семилитровый бидон, используя при этом трехлитровый бидон.
Решение:
Будем “шаги” переливаний записывать в виде строки из трех чисел.
При этом сосуды размещены слева направо по мере убывания их вместимости:
Шаги | Бидон | ||
10 л | 7 л | 3 л | |
1-й | 3 | 7 | |
2-й | 3 | 4 | 3 |
3-й | 6 | 4 | |
4-й | 6 | 1 | 3 |
5-й | 9 | 1 | |
6-й | 9 | 1 | |
7-й | 2 | 7 | 1 |
8-й | 2 | 5 | 3 |
Задача № 5. Деление 10 л поровну, имея сосуды 3, 6 и 7 л.
Разделить на 2 равные части воду, находящуюся в 6-литровом сосуде (4 л) и в 7-литровом (6 л), пользуясь этими и 3-литровым сосудами. Какое наименьшее количество переливаний потребуется?
В скобках – второй вариант решения.
Сосуд 6 л | Сосуд 3 л | Сосуд 7 л | |
До переливания | 4 | 6 | |
Первое переливание | 1 (4) | 3 (3) | 6 (3) |
Второе переливание | 1 (6) | 2 (1) | 7 (3) |
Третье переливание | 6 (2) | 2 (1) | 2 (7) |
Четвертое переливание | 5 (2) | 3 (3) | 2 (5) |
Пятое переливание | 5 (5) | 0 (0) | 5 (5) |
Задача № 6. Молоко из Простоквашино.
Дядя Федор собрался ехать к родителям в гости и попросил у кота Матроскина 4 л простоквашинского молока. А у Матроскина только 2 пустых бидона: трехлитровый и пятилитровый. И восьмилитровое ведро, наполненное молоком. Как Матроскину отлить 4 литра молока с помощью имеющихся сосудов?
Переливаем из 8-литрового ведра 5 литров молока в 5-литровое. Переливаем из 5-литрового бидона 3 литра в 3-литровый бидон.
Переливаем их теперь в 8-литровое ведро. Итак, теперь 3-литровое ведро пусто, в 8-литровом 6 литров молока, а в 5-литровом – 2 литра молока.
Переливаем 2 литра молока из 5-литрового бидона в 3-литровый, а потом наливаем 5 литров из 8-литрового ведра в 5-литровый бидон. Теперь в 8-литровом 1 литр молока, в 5-литровом – 5, а в 3-литровом – 2 литра молока.
Доливаем дополна 3-литровый бидон из 5-литрового и переливаем эти 3 литра в 8-литровое ведро. В 8-литровом ведре стало 4 литра, так же, как и в 5-литровом бидоне. Задача решена.
сосуд 8 л | сосуд 5 л | сосуд 3 л | |
До переливания | 8 | ||
Первое переливание | 3 | 5 | |
Второе переливание | 3 | 2 | 3 |
Третье переливание | 6 | 2 | |
Четвертое переливание | 6 | 2 | |
Пятое переливание | 1 | 5 | 2 |
Шестое переливание | 1 | 4 | 3 |
Седьмое переливание | 4 | 4 |
После переливания, оказалось, по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось.
Задача № 7. Набрать 7 л воды из речки.
У подножья высокого холма, на берегу тихой речки был небольшой аул. Жили в нем два брата-охотника. Старшего брата звали Каалка, младшего Копчон. Отправляет старший брат младшего за водой и дает ему два бурдюка, вместимостью 8л и 5л и просит принести ровно 7л воды. Сможет ли Копчон выполнить просьбу старшего брата?
Ходы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
8л | – | 5 | 5 | 8 | – | 2 | 7 |
5л | 5 | – | 5 | 2 | 2 | 5 | – |
Задача № 8. Том Сойер.
Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л краски и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой – вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?
Ходы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
12 л | 12 | 4 | 4 | 9 | 9 | 1 | 1 | 6 |
8 л | – | 8 | 3 | 3 | – | 8 | 6 | 6 |
5 л | – | – | 5 | – | 3 | 3 | 5 | – |
Задача № 9. Губка Боб.
Губке Бобу срочно нужно налить из водопроводного крана 6 л воды. Но он имеет лишь два сосуда 5-литровый и 7-литровый. Как ему это сделать?
Ходы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
7 л | 7 | 2 | 2 | – | 7 | 4 | 4 | – | 7 | 6 |
5 л | – | 5 | – | 2 | 2 | 5 | – | 4 | 4 | 5 |
Существенным недостатком табличного способа решения является отсутствие четкого алгоритма действий, невозможность предвидеть ближайшие шаги. Составлять такие таблицы можно довольно долго, так и не придя к нужному результату.
Механизировать решение этих задач с помощью «умного» шарика предложил в книге «Занимательная геометрия». Для каждого случая предлагалось строить бильярдный стол особой конструкции, длины двух сторон которого численно равны объему двух меньших сосудов. Далее, из острого угла этого стола вдоль одной из сторон нужно «запустить» шарик, который по закону «угол падения равен углу отражения» будет сталкиваться с бортами стола, показывая тем самым последовательность переливаний. На бортах стола нанесена шкала, цена деления которой соответствует выбранной единице объема. В результате движения шарик либо ударяется о бортик в нужной точке (тогда задача имеет решение), либо не ударяется (тогда считается, что задача решения не имеет).
Предложим еще один способ решения задач на переливание — с помощью векторов. Построим прямоугольную систему координат хОу (для решения потребуется только первая четверть). На оси Ох отметим точки, координаты которых кратны объему а одного из двух меньших сосудов. Через отмеченные точки проведем пунктиром прямые х = а, х = 2а, …, х = kа.
Эти прямые покажут нам, что сосуд объемом а полон и его нужно опорожнить. На оси Оу отметим точку, координата которой численно равна объему второй из меньших емкостей, то есть b. Проведем через нее пунктирную прямую у = b, которая поможет нам определить точки очередного наполнения второго сосуда. Наполнение емкости, объем которой отметили на оси Оу, будем показывать векторами, направленными вертикально вниз. Переливание из этого сосуда в тот, объем которого указан на оси Ох, изобразим векторами, направленными по диагонали вниз. И, наконец, опорожнение последней емкости будет выглядеть в виде вектора, направленного вертикально вверх. Для контроля рядом с концами векторов будем записывать остаток или то, что перелили. Если искомое число получим на оси Ох, то это количество жидкости, накопленной в сосуде объема а, если оно окажется на одной из вертикальных линий, то необходимая величина находится в сосуде объема b. Начерченные векторы являются последовательными шагами решения задачи.
Для примера решим задачу:
Разделить содержимое наполненной бочки в 12 ведер пополам при помощи бочек в 9 и 7 ведер.
Построим прямоугольную систему координат так, как описано выше. Вертикальный вектор, направленный вниз к метке 9 — это первый шаг: наполнение 9-ведерной бочки. Вектор 9–2 по диагонали вниз — переливание воды из 9-ведерной в 7-ведерную бочку. Метка 2 означает, что в средней (9-ведерной) бочке осталось 2 ведра воды. Так как меньшая емкость полна (мы дошли до пунктирной линии), то ее следует опорожнить, то есть вылить содержимое в 12-ведерную бочку — вектор направлен вертикально вверх. Следующий ход — вылить оставшиеся в средней бочке 2 ведра воды в меньшую (вектор 2–2). Поскольку вектор показывает на ось Ох, то это означает, что 9-ведерная бочка пуста, ее нужно вновь наполнить (вектор направлен вертикально вниз до метки 9). Продолжаем при помощи средней бочки наполнять меньшую (вектор по диагонали), оценивая каждый раз при наполнении одной из них содержимое другой и указывая оставшееся число ведер рядом с концом вектора. Продолжая действовать таким образом, скоро обнаруживаем в средней бочке необходимые 6 ведер воды. Эту задачу можно решить иначе, поменяв местами обозначения для 7- и 9-ведерной бочек на координатных осях. Тогда решение достигается с помощью большего количества шагов.
Проанализировав решение задачи, приходим к выводу, что задачу можно решить, если выполняется равенство: с =│nа – mb│, где с — искомое количество жидкости, а и b — данные объемы двух меньших сосудов, n и m — количество наполнений сосудов с объемом соответственно а и b.
Источник
Предмет математики настолько
серьезен, что нельзя упускать случая,
сделать его немного занимательным.
Блез Паскаль
Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его
применять.
Рене Декарт
Математика – самый короткий путь к
самостоятельному мышлению.
В. Каверин
Введение
В этой работе приведены материалы одного
занятия математического кружка, проводимого для
учащихся 5-6 классов в Центре образования №1454 г.
Москвы.
Цель проведения кружка: создание
условий для развития творческой, познавательной
активности учащихся при изучении математики,
развитие и сохранение устойчивого и
долговременного интереса к предмету.
Задачи:
- развивать познавательные интересы ребенка
(восприятие, мышление, внимание, воображение,
память и др.); - формировать у учащихся устойчивый интерес к
предмету и познавательную активность; - формировать навыки самостоятельной работы и
потребности в исследовательской деятельности; - развивать коммуникативные качества учащихся.
Увлечение математикой часто начинается с
размышлений над какой-то новой, интересной,
нестандартной задачей. Она может встретиться и
на школьном уроке, и на занятии математического
кружка, в журнале или книге, ее можно услышать от
друга или от родителей. Задачи на логику
развивают сообразительность, интеллект и
упорство в достижении цели. Очень часто одна
решенная логическая задача пробуждает у
ребенка устойчивый и долговременный интерес к
изучению математики, желание искать и решать
новые логические, нестандартные задачи и задачи
повышенной трудности. А это, во многом, и есть
главная цель учителя.
Логические задачи – это хороший способ развития
умственных способностей.
Задачи на переливания
1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки.
Как сделать так, чтобы, в одной из них оказался
ровно один литр воды?
2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4
литра воды. Больше он взять не может. На базе, где
имеется источник воды, есть только 5-литровые
фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной
фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
3. Как, имея 5-литровое ведро и 9-литровую банку,
набрать из реки ровно три литра воды?
4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с
помощью пустых 3-литровой банки и
5-литрового бидона. (Пользоваться другими
емкостями и выливать воду на землю нельзя).
5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь
бидонами емкостью 17 л и 5 л.
6. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л
краски и хочет отлить из этого количества
половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л.
У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой
– вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л
краски в сосуд на
8 л? Какое наименьшее число переливаний
необходимо при этом сделать?
7. Имеются два полных десятилитровых бидона
молока и пустые кастрюли емкостью четыре литра и
пять литров. Отлейте по 2 л молока в каждую
кастрюлю.
Решения задач
1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки.
Как сделать так, чтобы, в одной из них оказался
ровно один литр воды?
Решение.
Отразим результаты каждого шага переливания в
таблице.
| Банка 2 л | Набрать 2 л и вылить их в 5-литровую | Набрать 2 л и вылить их в 5-литровую | Набрать 2 л и наполнить 5-литровую | 1 |
| Банка 5 л | 2 | 4 | 5 | 5 |
2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4
литра воды. Больше он взять не может. На базе, где
имеется источник воды, есть только 5-литровые
фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной
фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
Решение.
| Фляга 4 л | 2 | 2 | 2 | 4 |
| Фляга 5 л | Набираем 5 л и 3 л выливаем | 2 | Набираем 5 л и 3 л выливаем | 2 |
| Банка 3 л | 3 | 3 |
3. Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую
банку, набрать из реки ровно три литра воды?
Решение.
Заполняем 9-литровую банку и выливаем из нее 5 л
в 5-литровое ведро. в 9-литровом ведре остается
4 литра. выливаем воду из 5-литрового в реку и
наливаем в него 4 литра из 9-литрового. В
9-литровое набираем воду из реки, выливаем
оттуда 1 литр в 5-литровое, заполняя его доверху.
Теперь в 9-литровом ведре осталось 8 л. Выливаем
воду из 5-литрового опять в реку и из
9-литрового переливаем воду в 5-литровое. В
9-литровом теперь 3 литра. Если вода в ведре не
нужна, то ее можно вылить.
4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с
помощью пустых трехлитровой банки и
пятилитрового бидона. (Пользоваться другими
емкостями и выливать воду не землю нельзя).
Решение.
| Ведро, 8л | 8 | 3 | 3 | 6 | 6 | 1 | 1 | 4 |
| Бидон, 5 л | 5 | 2 | 2 | 5 | 4 | 4 | ||
| Банка, 3 л | 3 | 2 | 2 | 3 |
5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь
бидонами емкостью 17 л и 5 л.
Решение.
| Бидон 17 л | 5 | 5 | 10 | 10 | 15 | 15 | 17 | 3 | 3 | 8 | 8 | 13 |
| Бидон 5 л | 5 | 5 | 5 | 5 | 3 | 3 | 5 | 5 |
6. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12
л краски и хочет отлить из этого количества
половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л.
У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой
– вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л
краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число
переливаний необходимо при этом сделать?
Решение.
| Сосуд 12 л | 12 | 4 | 4 | 9 | 9 | 1 | 1 | 6 |
| Сосуд 5 л | 5 | 3 | 3 | 5 | ||||
| Сосуд 8 л | 8 | 3 | 3 | 8 | 6 | 6 |
7. Имеются два полных десятилитровых бидона
молока и пустые четырехлитровая и
пятилитровая кастрюли. Отлейте по 2 л молока в
каждую кастрюлю.
Решение.
| № шага | Фляга 10 л | Фляга 10 л | Кастрюля 5 л | Кастрюля 4 л |
1 | 10 | 10 | ||
2 | 10 | 5 | 5 | |
3 | 10 | 5 | 1 | 4 |
4 | 10 | 9 | 1 | |
5 | 10 | 4 | 5 | 1 |
6 | 10 | 4 | 2 | 4 |
7 | 10 | 8 | 2 | |
8 | 10 | 8 | 2 | |
9 | 10 | 3 | 5 | 2 |
10 | 10 | 3 | 3 | 4 |
11 | 10 | 7 | 3 | |
12 | 6 | 7 | 3 | 4 |
13 | 6 | 7 | 5 | 2 |
14 | 6 | 10 | 2 | 2 |
Дополнительные задачи и задачи для
самостоятельного решения
1. Для разведения картофельного пюре быстрого
приготовления “Зеленый великан” требуется 1
л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров,
налить 1 литр воды из водопроводного крана?
2. В походе приготовили ведро компота. Как, имея
банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот
порциями по 300 г?
3. Нефтяники пробурили скважину нефти.
Необходимо доставить в лабораторию на
экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется
9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих
сосудов набрать 6 литров?
4. Взгляни на берег – там ты увидишь две
банки. В одну из них помещается ровно два литра
воды, а в другую – три. Как налить в двухлитровую
банку точно один литр? Укажи два способа.
5. В два достаточно больших бидона как-то
разлили 3 л воды. Из первого переливают
половину имеющейся в нем воды во второй, затем из
второго переливают половину имеющейся в
нем воды в первый, затем из первого
переливают половину имеющейся в нем воды во
второй и т.д. Докажите, что независимо от того,
сколько воды было сначала в каждом из сосудов,
после 100 переливаний в них будет 2 л и 1 л с
точностью до миллилитра.
6. Две группы альпинистов готовятся к
восхождению. Для приготовления еды они
используют примусы, которые заправляют бензином.
В альплагере имеется 10-литровая канистра
бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров.
Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в
каждом?
7. Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и
решил разделить его пополам, чтобы съесть
половину до Нового Года, а другую половину –
после Нового года. Весь мед находится в ведре,
которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые
банки – 5-литровая и 1-литровая. Может ли он
разделить мед так, как задумал?
8. Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась
морозной и снежной, и Белоснежка не знает точно,
сколько гномов решатся отправиться в далекое
путешествие в гости, однако знает, что их будет не
более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12
чашек, она наполнена водой, и две пустых – на 9
чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого
количества гостей, если угощать каждого одной
чашкой напитка?
9. Нефтяники пробурили скважину нефти.
Необходимо доставить в лабораторию на
экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется
9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих
сосудов набрать 6 литров?
10. Бидон ёмкостью 10 л наполнен молоком.
Требуется перелить из этого бидона 5 л в
семилитровый бидон, используя при этом ещё один
бидон, вмещающий 3 л. Как это сделать?
11. Можно ли отмерить 8 л воды, находясь у реки и
имея два ведра: одно вместимостью 15 л, другое
вместимостью 16 л?
12. Есть три бидона емкостью 14, 9 и 5 литров. В
большом бидоне 14 л молока, остальные пусты. Как с
помощью этих бидонов разделить молоко пополам?
13. Имеется три сосуда без делений объемами 6 л, 7
л, 8 л, кран с водой, раковина и 6 л сиропа в самом
маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний
получить 12 л смеси воды с сиропом, так чтобы в
каждом сосуде воды и сиропа было поровну?
Источник