Задачи на алгоритмы с сосудами
Библиографическое описание:
Комогоров, В. М. Задачи на переливание: от головоломки к алгоритму / В. М. Комогоров, М. Ю. Сизова. – Текст : непосредственный // Юный ученый. – 2017. – № 3 (12). – С. 4-6. – URL: https://moluch.ru/young//12/897/ (дата обращения: 25.04.2021).
Однажды Винни Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге нарвал букет цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л!» Винни-Пух долго думал, но все-таки смог решить задачку. Задумались и мы…, а сможем ли мы решить эту задачу?
После изучения литературы, посвященной логическим задачам, выяснилось, что пчелки предложили нашему любимому герою известную головоломку на переливание. Практически ни один популярный сборник, связанный с математическими задачами и головоломками, не обходится без раздела «Переливания». Это один из видов старинных занимательных задач, они возникли много веков назад, но до сих пор вызывают интерес у любителей математики и их часто можно встретить в олимпиадных заданиях, что делает их актуальными и сегодня.
Суть этих задач-головоломок сводится к следующему: имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний. Понятно, что для поиска ответа можно перебрать все возможные варианты решения, но это очень долго и неудобно. Поэтому мы решили найти рациональный алгоритм решения задач на переливание.
На первом этапе работы мы, изучили математическую литературу по данной теме. Выяснилось, что можно выделить два основных типа задач на переливание:
– «Открытая система» – задачи, в которых необходимо получить некоторое количество жидкости с помощью нескольких пустых сосудов из бесконечного источника, из которого можно наливать жидкость, и в который ее можно выливать.
– «Закрытая система» – задачи, в которых необходимо разделить жидкость в большей емкости с помощью нескольких меньших по объему емкостей, жидкость можно только переливать из одной емкости в другую.
В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что все сосуды без делений и нельзя переливать жидкости «на глаз».
Существует несколько методов решения задачи: метод компьютерного моделирования, метод таблиц, метод бильярда.
Рассмотрим эти методы на примере решения задачи Винни-Пуха, которая относится к типу «открытая система».
Метод компьютерного моделирования- основан на применении для решения задач виртуальных лабораторий, позволяющих моделировать реальные ситуации переливания жидкостей. Одна из таких виртуальных лабораторий – программа «ВОДОМАТИКА» (https://www.umapalata.com/de_ru/games/UP_Pereliv.asp?file=UP_Pereliv.swf).
Также для решения задач можно использовать виртуальную лабораторию «Переливания», созданную Лабораторией знаний «Бином».
Метод таблиц- основной прием, который используется при решении задач на переливание. В первом столбце указываются объемы данных сосудов, а в каждом следующем – результат очередного переливания:
Ходы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
5 л | 5 | 2 | 2 | – | 5 | 4 |
3 л | – | 3 | – | 2 | 2 | 3 |
Таблицы позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но существенным недостатком этого способа решения является отсутствие четкого алгоритма действий, невозможность предвидеть ближайшие шаги. Составлять такие таблицы можно довольно долго, так и не придя к нужному результату.
Метод бильярда заключается в представлении последовательности переливаний аналогично движению бильярдного шарика по столу особой конструкции с размерами, соответствующими объемам первоначально пустых сосудов.
В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали – в 3-литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников. Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.
Пусть шар находится в левом нижнем углу и после удара начнет перемещаться вверх вдоль левой боковой стороны параллелограмма до тех пор, пока не достигнет верхней стороны. Это означает, что мы полностью наполнили водой малый сосуд. Отразившись, шар покатится вправо вниз и ударится о нижний борт. Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом сосуде воды нет, то есть мы перелили воду из малого сосуда в большой сосуд. Прослеживая дальнейший путь шара, мы попадаем в точку, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды.
Прорешав разные задачи типа «открытая система» на переливание различными методами, мы пришли к выводу, что задачи на переливания трудные, но их можно решать по определенному алгоритму:
- Наполнить большую емкость жидкостью из бесконечного источника.
- Перелить из большей емкости в меньшую емкость.
- Вылить жидкость из меньшей емкости.
- Повторить действия 1-3 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.
В век новых информационных технологий мы много времени тратим на бессмысленные игры на компьютере. А не лучше ли заняться решением логических задач, пусть даже и с помощью компьютера? Ведь задачи на логику развивают в человеке догадливость, сообразительность и интеллект.
Литература:
1. Ф. Ф. Нагибин, Е. С. Канин Математическая шкатулка М.: Просвещение, 1988
2. И. Ф. Шарыгин Математический винегрет М., АГЕНТСТВО «ОРИОН», 1991
3. Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи на смекалку. – М.: Дрофа, 2003.
4. Сайт «Решение логических задач». Точка доступа: https://sites.google.com/site/resenielog/
5. Сайт «Дидактические игры». Точка доступа: https://www.umapalata.com/de_ru/games/UP_Pereliv.asp?file=UP_Pereliv.swf
Основные термины (генерируются автоматически): малый сосуд, литр воды, решение задач, условие задачи, жидкость, задача, сосуд, бесконечный источник, большая емкость, компьютерное моделирование, меньшая емкость, букет цветов, метод бильярда, метод таблиц, переливание.
Источник
Переливания
ПРИМЕР
Однажды Винни-Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге он нарвал цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: “У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л. Помогите Винни разобраться.
РЕШЕНИЕ
Наполняем из бочки пятилитровый сосуд медом (1 шаг). Наполняем трехлитровый сосуд, переливая мед из пятилитрового. В итоге в пятилитровом сосуде остается 2л (2 шаг). Выливаем весь мед из трехлитрового сосуда обратно в бочку (3 шаг). Теперь из пятилитрового выливаем 2 л в трехлитровый сосуд (4 шаг). Из бочки наполняем пятилитровый сосуд (5 шаг). И наполняем трехлитровый сосуд доверху из пятилитрового (6 шаг). В итоге в пятилитровом сосуде остается 4 л.
Бензин
У мастера есть большая бочка с бензином и два ведра – на 14 литров и на 6 литров.
Начало формы
Какое наименьшее количество литров бензина он сможет отмерить?
Конец формы
Решение задачи
Поскольку обе емкости вмещают четное количество бензина, то, как ни переливай, нечетное количество литров отмерить не получится. А вот два литра отмерить можно, например, так:
наполним ведро в 14 литров
перельем из большого ведра бензин в 6-тилитровое ведро, в 14-тилитровом осталось 8 литров
выльем все из шестилитрового ведра обратно в бочку
наполним шестилитровое ведро полностью бензином из 14-тилитрового – в 14-тилитровом осталось ровно 2 литра бензина
Три литра в кастрюле
У мамы есть кастрюля, вмещающая ровно 4 литра воды и пятилитровая банка, а также водопроводный кран, откуда можно наливать воду, и раковина, куда можно выливать воду. Ей нужно, чтобы в кастрюле оказалось ровно 3 литра воды. Какое наименьшее количество переливаний ей для этого потребуется сделать?
Налить воду из раковины – переливание, вылить воду из кастрюли в банку или обратно – переливание, вылить воду из чего-либо в раковину – тоже переливание.
Обратите внимание на то, что нам нужно, чтобы получилось ровно 3 литра, поэтому наливать воду “на глазок” не получится, можно ошибиться.
Решение задачи
Наполним кастрюлю (первое переливание), выльем из нее всю воду в банку (второе переливание). Опять наполним кастрюлю (третье переливание). Дольем водой из кастрюли банку до краев (четвертое переливание). В кастрюле ровно 3 литра воды.
Это решение можно проиллюстрировать такой таблицей:
Кастрюля (4 литра) | Банка (5 литров) |
4 | |
4 | |
4 | 4 |
3 | 5 |
Молоко пополам
У доярки есть 10 литров молока в десятилитровой бочке и два пустых кувшина – на 3 и на 7 литров. Ей нужно отмерить ровно 5 литров молока, сделав как можно меньшее количество переливаний. Сколько переливаний ей для этого понадобится? За одно переливание можно полностью наполнить какой-либо сосуд, либо полностью из него вылить молоко в любой другой сосуд. “На глазок” переливать нельзя.
Решение задачи
Наполним молоком кувшин на 7 литров. Дальше будем переливать молоко в маленький кувшин, наполняя его полностью, затем выливаем молоко из маленького обратно в бочку и снова наполняем большой.
3 | 7 | |
Первое переливание | 7 | |
Второе переливание | 3 | 4 |
Третье переливание | 4 | |
Четвертое переливание | 3 | 1 |
Пятое переливание | 1 | |
Шестое переливание | 1 | |
Седьмое переливание | 1 | 7 |
Восьмое переливание | 3 | 5 |
Песочные часы
У Бабы-Яги есть песочные часы на 3 и на 7 минут. А также 7 рецептов зелий, требующих варки в течение 1 минуты, 2 минут, 3 минут, 4 минут, 5 минут, 6 минут и 7 минут. Выберите те из них, время для варки которых она сможет отмерить с помощью своих часов.
Решение задачи
Баба-Яга сможет сварить все зелья.
1. Чтобы отмерить 1 минуту, нужно поставить часы одновременно. Когда из маленьких высыплется весь песок, опять их перевернуть.
От момента, когда из маленьких второй раз высыплется весь песок, до момента, когда из больших высыплется весь песок, пройдет 1 минута.
2. Чтобы отмерить 2 минуты, нужно поставить часы одновременно. Когда из маленьких высыплется весь песок, опять их перевернуть, а когда песок высыплется второй раз, еще раз их перевернуть.
От момента, когда из больших высыплется весь песок, до момента, когда из маленьких в третий раз высыплется весь песок, пройдет 2 минуты.
3. Чтобы отмерить 3 минуты, надо поставить маленькие часы.
4. Чтобы отмерить 4 минуты, нужно поставить часы одновременно. От момента, когда из маленьких высыплется весь песок, до момента, когда из больших высыплется весь песок, как раз и пройдет 4 минуты.
5. Чтобы отмерить 5 минут, нужно поставить часы одновременно. Когда из маленьких высыплется весь песок, опять их перевернуть, а когда песок высыплется второй раз, еще раз их перевернуть.
Когда из больших высыплется весь песок, их тоже надо еще раз перевернуть.
От момента, когда из маленьких в третий раз высыплется весь песок, до момента, когда из больших во второй раз высыплется весь песок, пройдет 5 минут.
6. Надо два раза подряд поставить маленькие часы.
7. Чтобы отмерить 7 минут, надо поставить большие часы.
Минимум переливаний
Какое наименьшее число переливаний необходимо для того, чтобы с помощью семилитровой канистры, 11-литрового ведра и крана с водой отмерить 2 л?
Комментарий. Не забудьте, что в задачах на переливание “переливанием” называется любое действие с водой – наполнение любого сосуда или опустошение.
Решение задачи
Начнем с большого сосуда:
11 | 7 | |
Исходно | ||
Первое переливание | 7 | |
Второе переливание | 7 | |
Третье переливание | 7 | 7 |
Четвертое переливание | 11 | 3 |
Пятое переливание | 3 | |
Шестое переливание | 3 | |
Седьмое переливание | 3 | 7 |
Восьмое переливание | 10 | |
Девятое переливание | 10 | 7 |
Десятое переливание | 11 | 6 |
Одиннадцатое переливание | 6 | |
Двенадцатое переливание | 6 | |
Тринадцатое переливание | 6 | 7 |
Четырнадцатое переливание | 11 | 2 |
Источник
Предмет математики настолько серьезен, что нельзя упускать случая, сделать его немного занимательным.
Блез Паскаль
Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять.
Рене Декарт
Математика – самый короткий путь к самостоятельному мышлению.
В. Каверин
Введение
В этой работе приведены материалы одного занятия математического кружка, проводимого для учащихся 5-6 классов в Центре образования №1454 г. Москвы.
Цель проведения кружка: создание условий для развития творческой, познавательной активности учащихся при изучении математики, развитие и сохранение устойчивого и долговременного интереса к предмету.
Задачи:
- развивать познавательные интересы ребенка (восприятие, мышление, внимание, воображение, память и др.);
- формировать у учащихся устойчивый интерес к предмету и познавательную активность;
- формировать навыки самостоятельной работы и потребности в исследовательской деятельности;
- развивать коммуникативные качества учащихся.
Увлечение математикой часто начинается с размышлений над какой-то новой, интересной, нестандартной задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, в журнале или книге, ее можно услышать от друга или от родителей. Задачи на логику развивают сообразительность, интеллект и упорство в достижении цели. Очень часто одна решенная логическая задача пробуждает у ребенка устойчивый и долговременный интерес к изучению математики, желание искать и решать новые логические, нестандартные задачи и задачи повышенной трудности. А это, во многом, и есть главная цель учителя.
Логические задачи – это хороший способ развития умственных способностей.
Задачи на переливания
1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки. Как сделать так, чтобы, в одной из них оказался ровно один литр воды?
2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, есть только 5-литровые фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
3. Как, имея 5-литровое ведро и 9-литровую банку, набрать из реки ровно три литра воды?
4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с помощью пустых 3-литровой банки и
5-литрового бидона. (Пользоваться другими емкостями и выливать воду на землю нельзя).
5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь бидонами емкостью 17 л и 5 л.
6. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л краски и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой – вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на
8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?
7. Имеются два полных десятилитровых бидона молока и пустые кастрюли емкостью четыре литра и пять литров. Отлейте по 2 л молока в каждую кастрюлю.
Решения задач
1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки. Как сделать так, чтобы, в одной из них оказался ровно один литр воды?
Решение.
Отразим результаты каждого шага переливания в таблице.
| Банка 2 л | Набрать 2 л и вылить их в 5-литровую банку | Набрать 2 л и вылить их в 5-литровую банку | Набрать 2 л и наполнить 5-литровую банку, вылив туда 1 л | 1 |
| Банка 5 л | 2 | 4 | 5 | 5 |
2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, есть только 5-литровые фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
Решение.
| Фляга 4 л | 2 | 2 | 2 | 4 |
| Фляга 5 л | Набираем 5 л и 3 л выливаем в банку | 2 Переливаем в 4-литровую флягу | Набираем 5 л и 3 л выливаем в банку | 2 Переливаем в 4-литровую флягу |
| Банка 3 л | 3 Выливаем | 3 Выливаем |
3. Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую банку, набрать из реки ровно три литра воды?
Решение.
Заполняем 9-литровую банку и выливаем из нее 5 л в 5-литровое ведро. в 9-литровом ведре остается 4 литра. выливаем воду из 5-литрового в реку и наливаем в него 4 литра из 9-литрового. В 9-литровое набираем воду из реки, выливаем оттуда 1 литр в 5-литровое, заполняя его доверху. Теперь в 9-литровом ведре осталось 8 л. Выливаем воду из 5-литрового опять в реку и из
9-литрового переливаем воду в 5-литровое. В 9-литровом теперь 3 литра. Если вода в ведре не нужна, то ее можно вылить.
4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с помощью пустых трехлитровой банки и пятилитрового бидона. (Пользоваться другими емкостями и выливать воду не землю нельзя).
Решение.
| Ведро, 8л | 8 | 3 | 3 | 6 | 6 | 1 | 1 | 4 |
| Бидон, 5 л | 5 | 2 | 2 | 5 | 4 | 4 | ||
| Банка, 3 л | 3 | 2 | 2 | 3 |
5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь бидонами емкостью 17 л и 5 л.
Решение.
| Бидон 17 л | 5 | 5 | 10 | 10 | 15 | 15 | 17 вылить в цистерну | 3 | 3 | 8 | 8 | 13 |
| Бидон 5 л | 5 | 5 | 5 | 5 | 3 | 3 | 5 | 5 |
6. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л краски и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой – вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?
Решение.
| Сосуд 12 л | 12 | 4 | 4 | 9 | 9 | 1 | 1 | 6 |
| Сосуд 5 л | 5 | 3 | 3 | 5 | ||||
| Сосуд 8 л | 8 | 3 | 3 | 8 | 6 | 6 |
7. Имеются два полных десятилитровых бидона молока и пустые четырехлитровая и пятилитровая кастрюли. Отлейте по 2 л молока в каждую кастрюлю.
Решение.
| № шага | Фляга 10 л | Фляга 10 л | Кастрюля 5 л | Кастрюля 4 л |
1 | 10 | 10 | ||
2 | 10 | 5 | 5 | |
3 | 10 | 5 | 1 | 4 |
4 | 10 | 9 | 1 | |
5 | 10 | 4 | 5 | 1 |
6 | 10 | 4 | 2 | 4 |
7 | 10 | 8 | 2 | |
8 | 10 | 8 | 2 | |
9 | 10 | 3 | 5 | 2 |
10 | 10 | 3 | 3 | 4 |
11 | 10 | 7 | 3 | |
12 | 6 | 7 | 3 | 4 |
13 | 6 | 7 | 5 | 2 |
14 | 6 | 10 | 2 | 2 |
Дополнительные задачи и задачи для самостоятельного решения
1. Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления “Зеленый великан” требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана?
2. В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот порциями по 300 г?
3. Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?
4. Взгляни на берег – там ты увидишь две банки. В одну из них помещается ровно два литра воды, а в другую – три. Как налить в двухлитровую банку точно один литр? Укажи два способа.
5. В два достаточно больших бидона как-то разлили 3 л воды. Из первого переливают половину имеющейся в нем воды во второй, затем из второго переливают половину имеющейся в нем воды в первый, затем из первого переливают половину имеющейся в нем воды во второй и т.д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет 2 л и 1 л с точностью до миллилитра.
6. Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?
7. Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину – после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки – 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?
8. Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной, и Белоснежка не знает точно, сколько гномов решатся отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и две пустых – на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой напитка?
9. Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?
10. Бидон ёмкостью 10 л наполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л в семилитровый бидон, используя при этом ещё один бидон, вмещающий 3 л. Как это сделать?
11. Можно ли отмерить 8 л воды, находясь у реки и имея два ведра: одно вместимостью 15 л, другое вместимостью 16 л?
12. Есть три бидона емкостью 14, 9 и 5 литров. В большом бидоне 14 л молока, остальные пусты. Как с помощью этих бидонов разделить молоко пополам?
13. Имеется три сосуда без делений объемами 6 л, 7 л, 8 л, кран с водой, раковина и 6 л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 12 л смеси воды с сиропом, так чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну?
Источник